旋转的应用-课件沪科版（2012）数学九年级下册

沪科版数学九年级下册【公开课精做课件】第24章

圆24.1.3旋转的应用AB122－1－2－2xyO1－1合作探究B

如图，△AOB的顶点坐标分别是A(2，1)，O(0，0)，B(2，0).(1)分别画出△AOB以原点为旋转中心，逆时针旋转90°、180°、270°、360°

而得到的△A′OB′，并填写表格.第一页：情境导入——旋转的“魔力”在哪里？复习回顾：前面我们学习了旋转的概念、性质以及特殊旋转（中心对称），谁能概括旋转的核心性质？（请学生回答：对应点到旋转中心距离相等；对应点与中心连线夹角等于旋转角；旋转前后图形全等）非常准确，这些性质正是旋转应用的“钥匙”。生活观察：请大家看这些场景，思考旋转发挥了什么作用？-1.餐厅里的旋转餐桌，轻轻转动就能让所有食客吃到每道菜；-2.汽车的方向盘，通过旋转控制车轮转向，实现灵活行驶；-3.剪纸艺术中，将纸对折后旋转裁剪，快速做出对称图案；-4.机械手表的指针，通过齿轮旋转精准指示时间。引出课题：旋转不仅存在于生活中，更在几何解题中扮演重要角色。今天我们就从生活和数学两个维度，探索旋转的应用价值。第二页：应用一——生活中的旋转：实用与创意旋转因“全等变换”和“可调控方向”的特点，在生活中应用广泛，主要分为“功能实现”和“创意设计”两类。1.功能实现类：解决实际需求-机械传动：自行车的齿轮组，通过齿轮围绕轴心旋转，将脚蹬的动力传递给车轮，齿轮的旋转角与转速成比例关系，保证骑行稳定。核心利用旋转“对应点距离不变”的性质，确保齿轮咬合精准。-工具操作：扳手拧螺丝、螺丝刀拧螺栓，都是通过旋转改变物体的松紧状态。旋转中心是螺丝的轴心，旋转角越大，螺丝拧入或退出的深度越大，体现旋转的“角度可控性”。-交通设备：飞机的螺旋桨、轮船的推进器，通过高速旋转产生动力，推动载体前进。旋转过程中叶片的形状和大小不变，符合旋转“全等”的本质。2.创意设计类：提升美观与效率-艺术创作：剪纸、窗花中，将图案绕对称中心旋转180°（中心对称），形成对称美感；万花筒内的彩色玻璃片通过旋转，组合出千变万化的图案，利用旋转“图形重组”的特点。-建筑设计：一些旋转餐厅的整体结构绕中心柱旋转，让食客在就餐时欣赏到360°全景；北京奥林匹克公园的标志性雕塑，通过旋转造型展现动态美，传递“运动与活力”的理念。-日常用品：旋转书架、旋转拖把，通过旋转缩小占用空间，同时扩大使用范围，体现旋转在“空间优化”中的应用。核心总结：生活中旋转的应用，本质是利用“形状大小不变”“位置可调控”的特性，解决动力传递、空间利用、美观设计等问题。第三页：应用二——几何作图：用旋转画全等图形根据旋转的性质，我们可以精准画出一个图形绕定点旋转后的图形，这是几何作图的重要技能，也是后续解决几何问题的基础。基本步骤：旋转作图“三步法”1.定要素：明确原图形、旋转中心O、旋转方向（顺时针/逆时针）和旋转角θ；2.找对应点：连接原图形各关键点（如三角形的顶点）与旋转中心O，按旋转方向和角度，画出对应线段（使对应点到O的距离相等，夹角为θ），确定各关键点的对应点；3.连图形：顺次连接各对应点，得到旋转后的图形。实例演示：画△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A'B'C'-1.连接OA、OB、OC；-2.以OA为一边，逆时针画∠AOA'=90°，使OA'=OA，确定A'；-3.同理，分别画出B'、C'；-4.连接A'B'、B'C'、C'A'，△A'B'C'即为所求。即时操作：请在方格纸中，画出线段AB绕点B顺时针旋转120°后的线段A'B（教师巡视指导，强调“关键点”的选取和“距离与角度”的准确性）。易错提醒：旋转角是“对应点与旋转中心连线的夹角”，而非图形的内角；画旋转角时需使用量角器，确保角度精准。第四页：应用三——几何解题：构造旋转破难题在几何综合题中，当遇到“有公共顶点的相等线段”“特殊角度（如90°、60°）”时，通过构造旋转变换，可将分散的线段或角集中，利用全等性质解决问题，这是中考高频解题技巧。类型1：等腰直角三角形中的旋转例题1：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在BC上，点E在AC上，∠ADE=90°，求证：AD=DE。解题思路：构造旋转，证明全等-1.将△ACD绕点C顺时针旋转90°，使AC与BC重合，得到△BCF（旋转性质：△ACD≌△BCF，AD=BF，∠CAD=∠CBF）；-2.由∠ACB=90°、∠ADE=90°，可得∠CAD+∠ADC=90°，∠EDC+∠ADC=90°，故∠CAD=∠EDC；-3.因∠CAD=∠CBF，且∠ACB=90°，故∠CBF+∠CDE=90°，又∠CDE+∠DEC=90°，所以∠CBF=∠DEC，即∠F=∠DEC；-4.可证四边形DECF为矩形（或直接证△CDE≌△BCF），得DE=BF，结合AD=BF，故AD=DE。类型2：菱形中的旋转例题2：在菱形ABCD中，∠BAD=120°，E是CD上一点，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到AF，连接DF，求证：△ADF≌△ACE。解题思路：利用旋转性质，直接找全等条件-1.由旋转定义：AE=AF，∠EAF=60°（旋转角）；-2.菱形性质：AD=AC（∠BAD=120°，△ACD为等边三角形），∠DAC=60°；-3.故∠DAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，即∠DAF=∠CAE；-4.在△ADF和△ACE中，AD=AC，∠DAF=∠CAE，AF=AE，故△ADF≌△ACE（SAS）。解题技巧：当题目中出现“线段绕某点旋转固定角度”时，优先利用旋转性质得到“相等线段”和“相等角度”，为全等证明提供条件。第五页：综合应用——旋转在坐标与最值中的应用旋转与平面直角坐标系结合时，可通过坐标变换规律解决问题；同时，利用旋转的“全等性”和“轨迹特性”，还能求解线段最值问题。应用1：坐标变换规律在平面直角坐标系中，点(x,y)绕定点旋转的坐标变化有规律可循，其中绕原点旋转是最常见的类型：旋转类型坐标变化规律绕原点逆时针旋转90°(x,y)→(-y,x)绕原点顺时针旋转90°(x,y)→(y,-x)绕原点旋转180°（中心对称）(x,y)→(-x,-y)（前节课已学）例题3：点P(3,2)绕原点逆时针旋转90°后的坐标是______（答案：(-2,3)），请结合规律验证。应用2：线段最值求解例题4：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点D是BC中点，将△ACD绕点A旋转，使点C落在AB上的C'处，求线段DC'的最小值。解题思路：由旋转性质得AC'=AC=4，C'D=CD=1.5（D是BC中点），则点C'在以A为圆心、4为半径的圆上，当D、C'、A共线且C'在AD之间时，DC'最小，最小值为AD-AC'（需结合勾股定理计算AD长度）。第六页：巩固练习——分层提升基础题1：下列生活现象中，利用旋转实现功能的是（

）（答案：C）-A.拉抽屉B.电梯升降C.拧水龙头D.滑雪基础题2：画出△ABC绕点A顺时针旋转60°后的图形，写出作图步骤（提示：按“定要素—找对应点—连图形”三步完成）。提升题：在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADF，连接EF，判断△AEF的形状，并说明理由（答案：等腰直角三角形，因AE=AF，∠EAF=90°）。拓展题：点A(1,2)绕点B(2,3)顺时针旋转90°，求旋转后点A'的坐标（提示：先平移坐标系，使B为原点，再用旋转规律，最后还原坐标）。第七页：课堂总结与思想升华1.应用梳理：旋转的三大应用场景-生活领域：机械传动、工具操作、艺术设计等，利用旋转的“全等性”和“可控性”；-几何作图：按“三步法”画旋转图形，核心是“找对应点”；-几何解题：构造旋转构造全等，解决线段、角度关系问题，是中考核心技巧。2.思想方法：旋转背后的数学思想-转化思想：通过旋转将分散的条件集中，将未知问题转化为已知问题（如例题1中转化线段和角）；A122－1－2－2xyO1－1B原图形上点的坐标A(2，1)O(0，0)B(2，0)按逆时针方向旋转后对应点的坐标旋转90°旋转180°旋转270°旋转360°(－1，2)(－2，－1)(1，－2)(2，1)(0，0)(0，2)(0，0)(0，0)(0，0)(－2，0)(0，－2)(2，0)(2)分别比较点A′与点A、点B′与点B、点C与点C′的坐标，能得到怎样的结论？

通过作图、分析能看到，把一个图形以坐标原点为旋转中心作几个特殊角度的旋转，可得如下结果：原图形上任一点的坐标以点

O为旋转中心按逆时针方向旋转后对应点的坐标(x，y)(－y，x)(－x，－y)(y，－x)(x，y)旋转90°旋转180°旋转270°旋转360°练一练1.如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO

绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O，则点A′

的坐标为

.

解析：根据网格结构找出点

A、B

旋转后的对应点

A′、B′

的位置，然后与点

O

顺次连接即可.如图，点

A′

的坐标为

(1，3).(1，3)2.填空：(1)在平面直角坐标系中，点P(2，－3)关于原点对称的点P′的坐标是________．(2)点M(3，－5)绕原点旋转180°后到达的位置是

________．(3)点

P(2，n)与点

Q(m，－3)关于原点对称，则

(m＋n)2023＝______．解析：因为点P(2，n)与点Q(m，－3)关于原点对称，所以

m＝－2，n＝3．则(m＋n)2023＝(－2＋3)2023＝1.(－2，3)1(－3，5)例1

如图，在平面直角坐标系中，点

B

的坐标是(1，0)，若点A的坐标为(a，b)，将线段

BA

绕点

B

顺时针旋转

90°

得到线段

BA′，则点

A′

的坐标是

．典例精析解析：过点A作AC⊥x轴，过点A′作A′D⊥x轴，垂足分别为C、D，显然Rt△ABC≌Rt△BA′D.∵点A(a，b)，点B(1，0)，∴

OD＝OB＋BD＝OB＋AC＝1＋b，A′D＝BC＝OC－OB＝a－1.

∵

点A′在第四象限，∴

点

A′

的坐标是

(b＋1，－a＋1)．动态图形的操作与图案设计试说出构成下列图形的基本图形．观察与思考（1）（2）（3）（4）基本图案图案的形成过程分析图案的形成过程基本图案图案的形成过程分析图案的形成过程归纳：图形的变换可以通过选择不同的变换方式得到，可能需要旋转、轴对称、平移等多种变换组合才能得到完美的图案.例2用四块如图(1)的正方形卡片拼成一个新的正方形，使拼成的图案是一个轴对称图形，请你在图(2)、图(3)、图(4)中各画出一种拼法(要求三种画法各不相同，且其中至少有一个既是轴对称图形，又是中心对称图形)．解：如图所示.（答案不唯一）例3如图是一个

4×4

的正方形网格，每个小正方形的边长为1.请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、轴对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足：①既是轴对称图形，又是以点

O

为对称中心的中心对称图形；②所作图案用阴影标识，且阴影部分面积为

4.分析：所给左上角的三角形的面积为1×1÷2＝0.5，故设计图案总共需要阴影三角形4÷0.5＝8(个).解：答案不唯一，以下图案供参考.返回A2.如图，点A的坐标是(－4，6)，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，则点A的对应点A′的坐标是(

)A．(4，6)

B．(6，4)

C．(－6，－4)

D．(－4，－6)B返回3．[2025自贡]如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上．B(0，－2)．若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°.得到正方形A′B′C′D′.则点D′的坐标为(

)A．(－3，5)

B．(5，－3)

C．(－2，5)

D．(5，－2)返回A4．

如图，在平面直角坐标系中，点A(3，0)，点B(0，4)，连接AB，将线段AB绕点A顺时针旋转