人教版七年级数学上册第三章第2课时销售盈亏问题复习知识清单

人教版七年级数学上册第三章第2课时销售盈亏问题复习知识清单

一、核心概念与基本原理

（一）销售问题中的基本量及其关系【基础】【必会】

在销售盈亏问题中，我们主要研究成本、售价、利润、利润率以及折扣等核心量之间的关系。这些量是构建一切方程的基础。

1、成本（进价）：指商店或经营者购进商品时的价格，它是计算盈亏的基准。通常用字母a或c表示。

2、售价（卖价）：指商店或经营者最终出售商品时的价格。需要注意的是，售价可能等于标价，也可能是标价经过打折后的实际销售价格。

3、标价（定价）：指商店或经营者标注在商品上的价格，是计算折扣的基准。

4、利润：指商店或经营者销售商品所赚得的钱。其数量关系为：利润=售价-成本。当结果为正时，表示盈利；结果为负时，表示亏损。

5、利润率：指利润占成本的百分比，它反映了盈利的水平。其数量关系为：利润率=(利润/成本)×100%。由此可推导出：利润=成本×利润率。

6、折扣：指商品按标价的百分之几出售。例如，打八折，即按标价的80%出售，售价=标价×80%或标价×0.8。打n折，即按标价的十分之n出售。

（二）核心公式体系【重要】【根基】

由上述概念可推导出一系列核心公式，这些公式及其变形是解题的直接工具。

1、基础公式链：

售价=标价×折扣率

利润=售价-进价

利润率=(利润/进价)×100%=(售价-进价)/进价×100%

售价=进价×(1+利润率)

2、公式变形：

进价=售价/(1+利润率)（用于已知售价和利润率求进价）

进价=售价-利润

标价=售价/折扣率

3、盈亏临界点：当售价=进价时，利润为零，即不盈不亏。这是判断销售盈亏性质的分界线。

二、基本题型与解题策略【高频考点】

（一）常规盈亏问题：直接运用公式

这类问题通常直接给出进价、售价、利润率或折扣中的几个量，求另一个量。解题关键在于准确识别已知量，并选择正确的公式代入。

【常见题型1】已知进价和售价，求利润和利润率。

【解题步骤】1、计算利润：利润=售价-进价。2、计算利润率：利润率=(利润/进价)×100%。

【易错点】利润率的计算分母是进价，而不是售价。部分学生会误用售价做分母。

【常见题型2】已知进价和利润率，求售价。

【解题步骤】直接代入公式：售价=进价×(1+利润率)。

【常见题型3】已知标价、折扣和进价，求利润或利润率。

【解题步骤】1、计算实际售价：售价=标价×折扣率。2、计算利润：利润=售价-进价。3、若求利润率，则用利润除以进价。

【重要提醒】务必先将折扣率转化为小数或分数进行计算。例如，打八五折，折扣率为0.85或85/100。

（二）一元一次方程模型下的盈亏问题【重中之重】【必考】

这是本课时的核心，即通过设未知数，利用销售问题中的等量关系列出方程求解。

1、等量关系的确立：

（1）以利润为等量：售价-进价=利润（或=进价×利润率）。

（2）以售价为等量：进价+利润=售价（或=标价×折扣）。

（3）以总进价与总售价的关系为等量：常见于连续销售或两种商品组合销售的问题。

2、典型模型分析：

【模型一：已知利润率求进价】

例：某商品打八折后，利润率为10%，已知标价为275元，求进价。

【分析】本题涉及标价、折扣、利润率、进价四个量。等量关系可以是：售价-进价=进价×利润率。其中售价可由标价和折扣求得。

【解答要点】设进价为x元。根据等量关系：标价×折扣-进价=进价×利润率，即275×0.8-x=10%x。解这个方程即可。

【模型二：已知盈亏情况求标价或进价】

例：某商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售，将赔25元；如果按定价的九折出售，将赚20元。求商品的定价。

【分析】本题中，无论按何种折扣出售，商品的进价（成本）是不变的。因此，可以以进价为等量关系建立方程。

【解答要点】设商品的定价为x元。根据第一种销售方式：售价为0.75x，此时赔25元，意味着售价=进价-25，所以进价=0.75x+25。根据第二种销售方式：售价为0.9x，此时赚20元，意味着售价=进价+20，所以进价=0.9x-20。因为进价不变，所以有方程0.75x+25=0.9x-20。

【模型三：两种商品盈亏相抵问题】【难点】

例：某商店卖出两件衣服，每件均售价60元，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，求卖出这两件衣服总的盈亏情况。

【分析】此类问题不能直接看售价相同就认为不亏不盈。必须先分别求出两件衣服各自的进价，再计算总利润（或亏损）。

【解答要点】设盈利25%的那件衣服进价为x元，则其利润为25%x，根据售价=进价+利润，得方程x+25%x=60，解得x=48。设亏损25%的那件衣服进价为y元，则其亏损为25%y，意味着售价=进价-亏损，即售价=y-25%y=75%y，得方程75%y=60，解得y=80。总进价为48+80=128元，总售价为60+60=120元，128-120=8元，所以总体亏损了8元。

【重要结论】在类似“两件商品售价相同，一件盈利a%，一件亏损a%”的问题中，最终结果通常是亏损的。其亏损额与售价和a%的具体数值有关。

（三）方案选择与最优策略问题【拓展】【热点】

此类问题往往给出多种销售方案（如打折、返券、满减、赠送等），要求学生通过计算比较，选择最优惠或利润最大的方案。

【考查方式】通常以文字阅读题的形式出现，信息量较大，需要学生具备提取关键信息和建模的能力。

【解题步骤】

1、理解题意：仔细阅读每种方案的规则，明确其计算方法。

2、分类计算：根据规则，分别计算出每种方案下，消费者需要实际支付的金额，或商家实际获得的利润。

3、比较决策：将计算结果进行比较，根据问题要求（如“最省钱”、“获利最多”）做出选择。

【易错点】对方案规则的理解偏差。例如，“满100减30”与“满100送30元券”的含义完全不同，前者是直接减少支付，后者是获得代金券，需要二次消费才能享受优惠。

【思维进阶】有时最优方案不是唯一的，可能与消费者的购买金额有关。这时需要建立函数模型，讨论在不同消费区间下的最优选择。

三、高频考点与命题趋势分析

（一）考向预测

1、基础概念辨析题：以选择题或填空题形式出现，考查对进价、售价、利润、利润率等概念的准确理解。例如，给出利润率，让学生选择正确的利润表达式。

2、简单计算题：直接套用公式，求利润、利润率或售价。此类题难度较低，属于送分题，但要求学生计算准确。

3、方程应用题：是考查的重点，通常以解答题形式出现。题目背景贴近生活实际，如打折促销、季节调价、批发零售等。要求学生能够从实际问题中抽象出数学模型，并正确列出方程。

4、综合拓展题：将销售盈亏问题与其它知识点结合，如与分段计费问题、最优方案问题、图表信息题结合，考查学生的综合分析能力和信息处理能力。

（二）核心考点梳理

【考点一】利润率概念的深度理解【非常重要】

利润率是相对于成本而言的。一个常见的变形考法是：已知售价和利润率，反求进价。如“某商品售价为a元，盈利b%，则进价为多少？”答案应为a/(1+b%)。学生容易犯的错误是用a×(1-b%)来计算。

【考点二】折扣销售的实际意义【高频】

打几折，就是按标价的十分之几出售。例如“打八折”即售价为标价的80%。题目中可能出现“让利销售”、“降价销售”等说法，需要转化为折扣。例如“降价20%出售”，即按原价的80%出售，也就是打八折。

【考点三】盈亏平衡点的计算【基础】

求当商品打几折时可以保证不亏本，即售价等于进价。设打x折，则标价×(x/10)=进价，解出x即可。这是将利润率问题与折扣问题结合起来的典型。

【考点四】“含利润（率）的方程”的构建【核心能力】

这是列方程解应用题的关键。必须准确理解语句“盈利/亏损了百分之几”的含义，它永远是指相对于成本（进价）的百分比。在设出未知数后，要能用含未知数的式子正确表示出利润或售价。

四、解题步骤与规范要求【应试技巧】

（一）一般解题步骤（针对方程应用题）

1、审题：圈画关键词，如“盈利”、“亏损”、“打折”、“利润率”、“进价”、“标价”等，明确已知量和所求量。

2、设元：一般情况下，直接设所求未知量为x。若问题复杂，可设关键量为x，如进价或标价。设元要完整、规范，如“设这件商品的进价为x元”。

3、找等量关系：这是最关键的一步。在销售问题中，最常用的等量关系是“售价-进价=进价×利润率”。或者利用在不同销售方式下，“进价不变”作为等量关系。将文字等量关系用数学符号表示出来。

4、列方程：根据等量关系，将涉及的量用已知数或含x的代数式表示，代入等量关系，列出方程。

5、解方程：按照解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求解。

6、检验：检验所求的解是否符合方程，更要检验是否符合实际意义。例如，进价、售价不能为负数，折扣在0到10之间等。

7、作答：完整、清晰地写出答案，包括单位。

（二）易错点与避坑指南【重要】

1、单位问题：在计算利润率时，百分数要统一。例如，10%要写成0.1或10/100参与运算，不要直接写10。

2、混淆概念：利润与利润率是两个不同的概念。利润是一个具体数值，有单位；利润率是一个百分比，无单位。

3、折扣的表示：题目中说“打x折”，列式时应乘以x/10，而不是x%。例如，打7折，应乘以0.7或7/10。

4、盈亏的理解：“盈利”意味着利润为正，“亏损”意味着利润为负。当说“亏损20元”时，意味着利润=-20元；当说“亏损20%”时，意味着利润率=-20%，即利润=-20%×进价。

5、方程两边的量纲一致：确保方程两边的代数式表示的是同一个类型的量，且单位一致。例如，不能左边是利润（元），右边是利润率（%），必须将利润率转化为利润（元）才行。

6、遗漏未知数范围的实际检验：例如，求出的折扣如果是11折，即110%，这在现实生活中几乎不存在（除非是涨价），需要检查方程的合理性。

五、思维拓展与跨学科视野

（一）与函数思想的结合

对于方案选择问题，可以引入变量，建立一次函数模型。例如，在A超市购物打八折，在B超市购物满200减40。设购物总额为x元，则实际付款金额y与x的关系可以分别表示为yA=0.8x，yB=x(x<200时)或yB=x-40×[x/200]（取整函数，简化处理为分段函数）。通过解不等式或观察函数图像，可以找到在不同消费额度下的最优选择。这种思想为高中学习函数应用打下基础。

（二）与统计概率的初步联系

在大型商场的促销活动中，如“抽奖”、“砸金蛋”等，其背后涉及的是概率问题。虽然七年级不要求计算概率，但可以引导学生思考：为什么商场更倾向于采用“打折”而不是直接降价？为什么“满减”活动常常设置一个难以刚好达到的门槛？这背后其实是对消费者心理和概率模型的运用，目的是为了最大化商家的平均利润。

（三）经济生活中的德育渗透

销售盈亏问题不仅仅是数学计算，更是真实经济生活的缩影。通过对利润、成本的分析，可以帮助学生建立初步的理财意识和商业常识。例如，理解“薄利多销”的原理（降低利润率，提高周转率，从而增加总利润）；认识“打折促销”背后的商业策略（清库存、回笼资金、吸引客流）。同时，也要引导学生树立正确的消费观，不盲目追求打折，要按需消费，理解“买的没有卖的精”背后的数学逻辑。

（四）与语文学科的融合

很多销售应用题以大段文字描述为背景，这要求学生具备良好的阅读理解能力，能够快速从繁杂的信息中剥离出数量关系，剔除无关信息。这与语文学科中的“提取关键信息”、“概括段落大意”的能力是相通的。同时，准确理解“让利”、“酬宾”、“惊爆价”等商业用语的真实含义，也依赖于语言理解能力。

六、典型例题精析与变式训练

【例题1】（基础概念题）【基础】

一件衣服的进价为100元，标价为150元，商店以8折的价格出售。

求：（1）这件衣服的实际售价是多少元？

（2）这件衣服的利润是多少元？

（3）这件衣服的利润率是多少？

【解析】

（1）售价=标价×折扣=150×0.8=120（元）

（2）利润=售价-进价=120-100=20（元）

（3）利润率=利润/进价×100%=20/100×100%=20%

【变式】若进价未知，只知道标价为150元，打8折后仍可获利20%，求进价。

【解析】设进价为x元。根据获利20%，即利润率为20%，得利润=20%x。又利润=售价-进价=150×0.8-x=120-x。所以有120-x=20%x，即120=1.2x，解得x=100元。

【例题2】（方程应用题）【重要】

一家文具店将某种型号的铅笔按标价的八折出售，此时每支铅笔的利润率是10%。已知这种铅笔的进价是1.8元，求它的标价。

【思路分析】本题涉及进价、利润率、折扣和标价。核心等量关系为：售价=进价×(1+利润率)。同时，售价也等于标价乘以折扣率。由此可建立方程。

【规范解答】

解：设这种铅笔的标价为x元。

根据题意，实际售价为80%x元。

按利润率计算，售价应为1.8×(1+10%)元。

因为两种方式表示的是同一个售价，所以有：

80%x=1.8×(1+10%)

80%x=1.8×1.1

80%x=1.98

x=1.98÷0.8

x=2.475

答：这种铅笔的标价为2.475元。

【易错点提醒】要养成将百分数转化为小数或分数进行计算的习惯，避免计算错误。此处1.8×1.1的计算要准确。

【例题3】（两种商品盈亏综合）【高频】【难点】

某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以135元出售。按成本计算，其中一件盈利25%，另一件亏本25%。试问：

（1）在这次买卖中，商贩是赚了还是赔了？赚或赔了多少？

（2）若他将这两件上衣都降价销售，但仍保证总的不亏本，那么每件上衣最多可以降价多少元？（精确到0.1元）

【深度解析】

第（1）问是经典题型。

解：设盈利25%的上衣进价为x元，则其售价为(1+25%)x=1.25x，得方程1.25x=135，解得x=108。

设亏本25%的上衣进价为y元，则其售价为(1-25%)y=0.75y，得方程0.75y=135，解得y=180。

两件上衣的总进价为：108+180=288元。

两件上衣的总售价为：135+135=270元。

因为270<288，所以商贩赔了，赔了288-270=18元。

第（2）问是在第（1）问基础上的深化，考查了在动态变化中把握盈亏平衡的能力。

解：由（1）知，两件上衣的总进价为288元。为保证总的不亏本，两件上衣的总售价应不低于总进价，即总售价≥288元。原来的总售价为270元。

设每件上衣降价m元，则降价后的总售价为(135-m)+(135-m)=270-2m。

要保证不亏本，需满足270-2m≥288。

移项得：-2m≥288-270，即-2m≥18。

系数化为1，得m≤-9。这个结果m≤-9意味着m是一个负数？这显然与实际降价（降价m为正数）不符。问题出在哪里？

重新审题：“若他将这两件上衣都降价销售”，这里的降价应该是在原售价135元的基础上降价。但根据第（1）问的结论，他已经亏损了，如果再降价，会亏得更多，永远无法保证总的不亏本。因此，题目可能意指：他将两件上衣在“新的价格”下销售，使得总不亏本。但“降价”一词容易引起歧义。

更合理的解释是：商贩发现按135元出售会亏本，因此他需要调整价格。为了吸引顾客，他决定降价销售，但又不能亏本。那么，他最多能降多少呢？此时，我们应该以保证总售价不低于总进价288元为条件，设新的统一售价为每件n元，则总售价为2n，需满足2n≥288，解得n≥144。也就是说，他每件的售价至少应为144元才能保本。原来他卖135元，现在如果要卖144元，实际上是涨价了，而不是降价。

这道题的矛盾点恰好揭示了一个重要的商业道理：当一笔买卖已经出现亏损时，如果还想通过降价促销来扭亏，往往是行不通的，除非能大幅提升销量（薄利多销）。此处的第（