2026届山西省太原市高三上学期期中学业诊断数学试题

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山西省太原市2026届高三上学期期中学业诊断数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，则（）A. B.C. D.2.已知，且，则实数（）A.-3 B.6C.-1或-2 D.1或23.已知，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.4.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（）A. B.C.1 D.56.如图是函数的图象，则实数（）A. B.C. D.7.如图，三棱柱中，为中点，为棱上一点，为侧面上一动点，且满足平面，则点的轨迹的长度为（）A.1 B.C. D.28.设，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知数列的前项和，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.单调递减10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.当时，的单调递减区间为B.当时，有两个零点C.若有三个零点，则的取值范围是D.4是的极大值11.台塔，又叫平顶塔，是指在两个平行的多边形（其中一个多边形的边数是另一个的两倍）之间加入三角形和四边形所组成的多面体．各个面为正多边形的台塔，包括正三、四、五角台塔．如图是所有棱长均为1的正三角台塔，则下列结论正确的是（）A.平面B.该台塔外接球的表面积为C.直线与平面所成角的正切值为D.二面角的正切值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数，则__________．13.八卦是中国文化的重要哲学概念．如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，点是其中心，且，则_____________．14.欧拉函数的函数值等于所有不超过，且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个整数称为互质整数）．例如：．记，则数列的前项和___________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知全集为．（1）求；（2）设是奇函数，当时，，求的解析式，并求当时的值域．

16.如图，平面四边形中，．（1）当时，求（2）求当为何值时，的面积最大？并求出其最大值．17.已知数列满足．（1）求证：是等比数列；（2）设求数列的前项和；

18.在图（1）五边形中，是等边三角形，，将沿折起到的位置，得到如图（2）所示的四棱锥，点为的中点．（1）求证：；（2）若，求证：平面；（3）求直线与平面所成角正弦值的最大值．

19.定义运算：，已知函数．（1）当时，①求在处的切线方程；②证明：在内存在唯一的极小值点，且；（2）若对任意（），都有，求实数的取值范围．山西省太原市2026届高三上学期期中学业诊断数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，则（）A. B.C. D.2.已知，且，则实数（）A.-3 B.6C.-1或-2 D.1或23.已知，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.4.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（）A. B.C.1 D.56.如图是函数的图象，则实数（）A. B.C. D.7.如图，三棱柱中，为中点，为棱上一点，为侧面上一动点，且满足平面，则点的轨迹的长度为（）A.1 B.C. D.28.设，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知数列的前项和，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.单调递减10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.当时，的单调递减区间为B.当时，有两个零点C.若有三个零点，则的取值范围是D.4是的极大值11.台塔，又叫平顶塔，是指在两个平行的多边形（其中一个多边形的边数是另一个的两倍）之间加入三角形和四边形所组成的多面体．各个面为正多边形的台塔，包括正三、四、五角台塔．如图是所有棱长均为1的正三角台塔，则下列结论正确的是（）A.平面B.该台塔外接球的表面积为C.直线与平面所成角的正切值为D.二面角的正切值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数，则__________．13.八卦是中国文化的重要哲学概念．如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，点是其中心，且，则_____________．14.欧拉函数的函数值等于所有不超过，且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个整数称为互质整数）．例如：．记，则数列的前项和___________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知全集为．（1）求；（2）设是奇函数，当时，，求的解析式，并求当时的值域．

16.如图，平面四边形中，．（1）当时，求（2）求当为何值时，的面积最大？并求出其最大值．17.已知数列满足．（1）求证：是等比数列；（2）设求数列的前项和；

18.在图（1）五边形中，是等边三角形，，将沿折起到的位置，得