2026届天津市南开区高三上学期期中质量调查数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1天津市南开区2026届高三上学期期中质量调查数学试题一、选择题：本大题共9个小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】根据题意，，．故选：A．2.命题“，”的否定形式是（）A.， B.，C.，或 D.，或【答案】C【解析】命题“，”的否定形式是，或.故选：C.3.若（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，所以.故选：A4.“为第二象限角”是“是第一象限角”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由为第二象限角，当，得是第三象限角，不满足充分性，当时，，不满足必要性，则“为第二象限角”是“是第一象限角”的既不充分也不必要条件．故选：D．5.设，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，，，又，．故选：A．6.已知函数在定义域中满足，且在上单调递减，则可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】对于Ａ，函数的定义域是R，在上单调递增，与题目要求单调递减不符，A不是；对于Ｂ，函数的定义域是，，B不是；对于C，函数的定义域是R，.，，因，则，有，即有，因此，在上单调递减，C正确；对于D，函数的定义域是，，D不是．故选：C．7.若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数的图像向右平移个单位得，所以，所以得最小值为．故选：D．8.已知球的表面积为，，，，为球面上四点，，，与平面所成的角均为，若是正三角形，则四面体的体积为（）A. B. C. D.3【答案】C【解析】由题意三棱锥为正三棱锥，球O为该正三棱锥的外接球，设其半径为，因为球O的表面积为，所以，设，即正的边长为，取中点，连接，作，根据正三棱锥的性质可知球心O在上，如下图所示：根据线面角的定义知，则，因为，，所以，在中，，所以，解得或，即，,四面体的体积故选：C.9.若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，所以，所以即求直线的纵截距的最小值，设，所以，所以在单调递增，所以在的图象上凹，所以直线与相切，切点横坐标越大，纵截距越小，令切点横坐标为，所以直线过点，且直线斜率为所以的直线方程为，当时，，即直线与相切时，直线与无交点，设，所以，所以在时斜率为，在时斜率为，均小于直线的斜率，所以可令直线在处与相交，在处与相交，所以直线方程为，所以截距为.故选：A.二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对一个给3分，全部答对的给5分．10.已知为虚数单位，复数是纯虚数，则_____________.【答案】2【解析】因为复数是纯虚数，所以，解得．故答案为：2.11.设集合，，若，则实数的取值范围是______________．【答案】【解析】或，又，，所以.故答案为：.12.若函数的值域为[0,＋∞)，则a的取值范围是________．【答案】[3,＋∞)【解析】因为函数的值域为[0,＋∞)，所以函数f(x)＝ax2＋2ax＋3的最小值要小于等于0显然a不为0，所以，解得a≥3.故答案为：[3,＋∞)．13.已知，且，则最小值为______________．【答案】【解析】因为，又，所以.则，当且仅当即时取等号.故答案为：.14.在中，，，，为所在平面内的点，且，若，则___________；___________．【答案】①.1②.【解析】因为，所以，化简得，有，因为，所以，可知.，.故答案为：.15.已知方程有4个不同解，，，，则实数的取值范围为___________；的取值范围为___________．【答案】①.②.【解析】根据题意作图如下：方程有4个不同解，，，，所以，且，，，，即的取值范围为．故答案为：；．三、解答题：本大题共5题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在中，角，，所对的边分别为，，.已知.（1）求；（2）求；（3）求的值．解：（1）由及正弦定理得，，所以．因为，所以．（2）由余弦定理，可得，所以．（3）由（2）可得，所以，．所以．17.已知函数．（1）求的最小正周期及单调递减区间；（2）若函数的图象关于点中心对称，求在上的值域．解：（1），所以的最小正周期．令，，可得，，所以的单调递减区间为，；（2）因为的图象关于点中心对称，所以，，可得．因为，所以．所以．因为，所以，所以，．18.如图所示，在几何体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是等腰梯形，，．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：依题意，，，所以．因为，则有，所以．又，所以平面．则以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，平面内过点且垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，因为，，，所以，，所以，，平面，所以平面．（2）解：，，，设平面的一个法向量为，则即解得令，得，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．（3）解：由（1）知，平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为．19.已知函数．（1）当时，在区间上存在极值，求的取值范围；（2）若的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围；（3）设，当时，若对任意给定的，总存在唯一的，使得成立，求的取值范围．解：（1）当时，由已知，令，解得或，因为，所以要使函数在区间上存在极值，只需，解得．（2）当时，，的图象与轴没有交点；当时，令，解得或．当时，0200极大值极小值，．若函数的图象与轴有且只有一个交点，则，解得，所以；当时，0200极小值极大值，．则函数的图象与轴有且只有一个交点，所以；综上，.（3）由题意知，，因为，，所以由，解或，由，解得，故的单调递增区间为，单调递减区间为和，，，，，又因为在上单调递增，所以的值域为，依题意，对任意给定的，总存在唯一的，使得成立，可得，即，解得的取值范围是．20.已知函数，曲线的一条切线的方程为．（1）求实数的值；（2）设，求函数的最小值；（3）若对任意，恒成立，求实数的最大值．解：（1）设直线与曲线相切的切点为，由函数求导得，则，即，又，因此.（2）由（1）知，，函数的定义域为，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数取得最小值为．（3），由（2）知，因此，依题意，，解得，所以的最大值为.天津市南开区2026届高三上学期期中质量调查数学试题一、选择题：本大题共9个小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】根据题意，，．故选：A．2.命题“，”的否定形式是（）A.， B.，C.，或 D.，或【答案】C【解析】命题“，”的否定形式是，或.故选：C.3.若（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，所以.故选：A4.“为第二象限角”是“是第一象限角”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由为第二象限角，当，得是第三象限角，不满足充分性，当时，，不满足必要性，则“为第二象限角”是“是第一象限角”的既不充分也不必要条件．故选：D．5.设，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，，，又，．故选：A．6.已知函数在定义域中满足，且在上单调递减，则可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】对于Ａ，函数的定义域是R，在上单调递增，与题目要求单调递减不符，A不是；对于Ｂ，函数的定义域是，，B不是；对于C，函数的定义域是R，.，，因，则，有，即有，因此，在上单调递减，C正确；对于D，函数的定义域是，，D不是．故选：C．7.若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数的图像向右平移个单位得，所以，所以得最小值为．故选：D．8.已知球的表面积为，，，，为球面上四点，，，与平面所成的角均为，若是正三角形，则四面体的体积为（）A. B. C. D.3【答案】C【解析】由题意三棱锥为正三棱锥，球O为该正三棱锥的外接球，设其半径为，因为球O的表面积为，所以，设，即正的边长为，取中点，连接，作，根据正三棱锥的性质可知球心O在上，如下图所示：根据线面角的定义知，则，因为，，所以，在中，，所以，解得或，即，,四面体的体积故选：C.9.若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，所以，所以即求直线的纵截距的最小值，设，所以，所以在单调递增，所以在的图象上凹，所以直线与相切，切点横坐标越大，纵截距越小，令切点横坐标为，所以直线过点，且直线斜率为所以的直线方程为，当时，，即直线与相切时，直线与无交点，设，所以，所以在时斜率为，在时斜率为，均小于直线的斜率，所以可令直线在处与相交，在处与相交，所以直线方程为，所以截距为.故选：A.二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对一个给3分，全部答对的给5分．10.已知为虚数单位，复数是纯虚数，则_____________.【答案】2【解析】因为复数是纯虚数，所以，解得．故答案为：2.11.设集合，，若，则实数的取值范围是______________．【答案】【解析】或，又，，所以.故答案为：.12.若函数的值域为[0,＋∞)，则a的取值范围是________．【答案】[3,＋∞)【解析】因为函数的值域为[0,＋∞)，所以函数f(x)＝ax2＋2ax＋3的最小值要小于等于0显然a不为0，所以，解得a≥3.故答案为：[3,＋∞)．13.已知，且，则最小值为______________．【答案】【解析】因为，又，所以.则，当且仅当即时取等号.故答案为：.14.在中，，，，为所在平面内的点，且，若，则___________；___________．【答案】①.1②.【解析】因为，所以，化简得，有，因为，所以，可知.，.故答案为：.15.已知方程有4个不同解，，，，则实数的取值范围为___________；的取值范围为___________．【答案】①.②.【解析】根据题意作图如下：方程有4个不同解，，，，所以，且，，，，即的取值范围为．故答案为：；．三、解答题：本大题共5题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在中，角，，所对的边分别为，，.已知.（1）求；（2）求；（3）求的值．解：（1）由及正弦定理得，，所以．因为，所以．（2）由余弦定理，可得，所以．（3）由（2）可得，所以，．所以．17.已知函数．（1）求的最小正周期及单调递减区间；（2）若函数的图象关于点中心对称，求在上的值域．解：（1），所以的最小正周期．令，，可得，，所以的单调递减区间为，；（2）因为的图象关于点中心对称，所以，，可得．因为，所以．所以．因为，所以，所以，．18.如图所示，在几何体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是等腰梯形，，．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：依题意，，，所以．因为，则有，所以．又，所以平面．则以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，平面内过点且垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，因为，，，所以，，所以，，平面，所以平面．（2）解：，，，设平面的一个法向量为，则即解得令，得，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．（3）解：由（1）知，平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为．19.已知函数．（1）当时，在区间上存在极值，求的取值范围；（2）若的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围；（3）设，当时，若对任意给定的，总存在唯一的，使得成立，求的取值范围．解：（1）当时，由已知，令，解得或，因为，所以要使函数在区间上存在极值，只需，解得．（2）当时，，的图象与轴没有交点；当时，令，解得或．当时，0200极大值极小值，．若函数的图象与轴有且只有一个交点，则，解得，所以；当时，0200极小值极大值，．则函数的图象与轴有且只有一个交点，所以；综上，.（3）由题意