2020 年人教版六年级数学下册核心知识点与典型例题解析

2020年人教版六年级数学下册核心知识点与典型例题解析第一单元负数一、核心知识点负数的意义：像-1、-2.5、-3/4这样的数叫做负数，负数表示与正数相反意义的量（如温度中的零下、海拔中的低于海平面、支出等）；0既不是正数也不是负数，是正数与负数的分界。负数的读写：写法：在正数前面加“-”（负号），如负三写作-3，负零点五写作-0.5；读法：读负数时，先读“负”，再读后面的数，如-5读作“负五”，-2/3读作“负三分之二”。负数的应用：常用于表示温度（如-5℃表示零下5摄氏度）、海拔高度（如-150米表示低于海平面150米）、收支情况（如-200元表示支出200元）、方向（如向西走50米记作-50米，向东走80米记作+80米）。数轴：规定了原点（0）、正方向和单位长度的直线叫做数轴；在数轴上，所有的负数都在0的左边，所有的正数都在0的右边，数轴上右边的数总比左边的数大。二、典型例题例题1：负数的意义与读写（1）如果向东走100米记作+100米，那么向西走60米记作（）米；如果电梯上升5层记作+5层，那么下降3层记作（）层。（2）读出下面各数：-12（）、+3.8（）、-4/5（）；写出下面各数：负七点二（）、正三分之一（）。答案：（1）-60，-3；（2）负十二，正三点八，负五分之四，-7.2，+1/3（或1/3）。解析：根据“相反意义的量用正负数表示”，向东与向西、上升与下降是相反方向，所以向西走、下降用负数表示；读写负数时，遵循“先读/写‘负’，再读/写数值”的规则，正数的“+”可省略不写。例题2：数轴与数的大小比较（1）在数轴上表示出下列各数：-3、2、-1.5、0、4/3。（2）比较下列各组数的大小：①-5（）-3②0（）-0.1③2.5（）-3④-1/2（）-2/3答案：（1）数轴表示略（-3在0左侧第3个单位，-1.5在0左侧1.5个单位，0在原点，4/3在0右侧1又1/3个单位，2在0右侧第2个单位）；（2）①＜，②＞，③＞，④＞。解析：数轴上，右边的数比左边大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小（如|-5|=5，|-3|=3，5＞3，所以-5＜-3）；正数都大于0，0大于负数。第二单元百分数（二）一、核心知识点折扣：商店有时降价出售商品，叫做打折扣销售，俗称“打折”；几折表示十分之几，也就是百分之几十（如打九折表示按原价的90%出售，打八五折表示按原价的85%出售）。计算公式：现价=原价×折扣，原价=现价÷折扣，折扣=现价÷原价×100%。成数：成数表示一个数是另一个数的十分之几，通称“几成”（如三成表示3/10，也就是30%，七成五表示7.5/10，也就是75%）；常用于表示农业收成、工业增长等。税率：应纳税额与各种收入（销售额、营业额等）的比率叫做税率；纳税是每个公民应尽的义务。计算公式：应纳税额=收入额×税率，收入额=应纳税额÷税率，税率=应纳税额÷收入额×100%。利率：单位时间（如1年、1月、1日）内的利息与本金的比率叫做利率；存入银行的钱叫做本金，取款时银行多支付的钱叫做利息。计算公式：利息=本金×利率×存期，本息和=本金+利息。二、典型例题例题1：折扣问题一件外套原价800元，春节期间打八五折出售，这件外套的现价是多少元？如果妈妈用会员卡在现价基础上再享9折优惠，最终需要支付多少元？答案：第一步，八五折=85%，现价=800×85%=680（元）；第二步，会员再享9折，最终支付=680×90%=612（元）。解析：先根据“原价×折扣=现价”算出八五折后的价格，再以现价为新的“原价”，计算9折后的最终价格，注意两次折扣的基数不同。例题2：税率与利率问题（1）某超市2020年4月的营业额是50万元，按规定要缴纳5%的营业税，这家超市4月应缴纳营业税多少万元？（2）爸爸将10000元存入银行，定期3年，年利率是2.75%，到期后爸爸能取回的本息和是多少元？答案：（1）应纳税额=50×5%=2.5（万元）；（2）利息=10000×2.75%×3=825（元），本息和=10000+825=10825（元）。解析：营业税直接用“营业额×税率”计算；利息需考虑“本金、利率、存期”三个要素，本息和是本金与利息的总和，注意利率与存期的时间单位要一致（本题年利率对应3年存期，无需转换）。第三单元圆柱与圆锥一、核心知识点圆柱的认识：圆柱由两个大小相同的圆形底面和一个曲面侧面组成；两个底面之间的距离叫做圆柱的高，圆柱有无数条高。圆柱的表面积：圆柱的表面积=侧面积+两个底面积。侧面积：圆柱侧面展开后是一个长方形（或正方形），长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高，所以侧面积=底面周长×高=2πr×h（r为底面半径，h为高）；底面积：圆的面积=πr²，两个底面积=2πr²；表面积公式：S表=2πrh+2πr²。圆柱的体积：圆柱的体积=底面积×高，公式：V柱=Sh=πr²h。圆锥的认识：圆锥由一个圆形底面和一个曲面侧面组成；从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高，圆锥只有1条高。圆锥的体积：圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的1/3，公式：V锥=1/3Sh=1/3πr²h（S为底面积，h为高）。二、典型例题例题1：圆柱的表面积计算一个圆柱形铁皮水桶（无盖），底面半径是2分米，高是5分米。制作这个水桶至少需要多少平方分米的铁皮？（π取3.14）答案：水桶无盖，所以表面积=侧面积+1个底面积。侧面积=2×3.14×2×5=62.8（平方分米），底面积=3.14×2²=12.56（平方分米），总面积=62.8+12.56=75.36（平方分米）。解析：“无盖水桶”说明只需计算侧面积和一个底面积，不能直接用完整的圆柱表面积公式，需结合实际场景调整，避免多算一个底面积。例题2：圆柱与圆锥的体积计算（1）一个圆柱形钢材，底面积是20平方厘米，高是1.5米，这块钢材的体积是多少立方厘米？（注意单位统一）（2）一个圆锥的底面直径是6厘米，高是10厘米，这个圆锥的体积是多少立方厘米？（π取3.14）答案：（1）1.5米=150厘米，体积=20×150=3000（立方厘米）；（2）半径=6÷2=3厘米，体积=1/3×3.14×3²×10=94.2（立方厘米）。解析：第（1）题需先统一单位（米换算成厘米），再用“底面积×高”计算圆柱体积；第（2）题先根据直径求半径，再代入圆锥体积公式，注意“1/3”不能遗漏，这是圆锥与圆柱体积计算的关键区别。第四单元比例一、核心知识点比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例（如6:4=3:2，因为6:4=3/2，3:2=3/2，两个比的比值相等）；组成比例的四个数叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积（如在6:4=3:2中，6×2=4×3=12）；利用此性质可判断两个比是否能组成比例，或求解比例中的未知项（解比例）。解比例：求比例中的未知项，叫做解比例；解比例的依据是比例的基本性质，步骤为：先根据比例性质列出等式，再求解方程。正比例与反比例：正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系（如路程÷时间=速度（一定），路程和时间成正比例）；反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系（如单价×数量=总价（一定），单价和数量成反比例）。比例的应用：包括比例尺（图上距离：实际距离=比例尺）、按比例分配（把一个数量按照一定的比来进行分配）等。二、典型例题例题1：比例的基本性质与解比例（1）判断下面两个比是否能组成比例：12:18和2:3；0.5:0.2和5:2。（2）解比例：3:x=9:15；x/4=3/6。答案：（1）①12×3=36，18×2=36，外项积=内项积，能组成比例；②0.5×2=1，0.2×5=1，外项积=内项积，能组成比例；（2）①9x=3×15，x=45÷9=5；②6x=4×3，x=12÷6=2。解析：判断比例时，计算“外项积”与“内项积”，若相等则能组成比例；解比例时，先根据比例性质将比例转化为方程（外项积=内项积），再用等式性质求解未知项。例题2：正比例、反比例的判断与应用（1）判断下列两种量是否成比例，成正比例还是反比例：①工作总量一定，工作效率和工作时间；②圆的周长和它的直径（π一定）。（2）某地图的比例尺是1:500000，量得A、B两地的图上距离是3厘米，A、B两地的实际距离是多少千米？答案：（1）①工作效率×工作时间=工作总量（一定），积一定，成反比例；②圆的周长÷直径=π（一定），比值一定，成正比例；（2）实际距离=图上距离÷比例尺=3÷(1/500000)=1500000厘米=15千米。解析：判断正反比例的关键是看“比值一定”还是“积一定”；比例尺应用中，注意单位换算（厘米换算成千米，需除以100000），确保结果单位符合题目要求。第五单元数学广角——鸽巢问题一、核心知识点鸽巢原理（一）：把m个物体任意放进n个抽屉里（m＞n，n是非0自然数），那么总有一个抽屉里至少放进2个物体（如把5个苹果放进4个抽屉，总有一个抽屉至少放2个苹果）。鸽巢原理（二）：把多于kn个物体任意放进n个抽屉里（k是正整数），那么总有一个抽屉里至少放进（k+1）个物体（如把13个苹果放进3个抽屉，13＞3×4，总有一个抽屉至少放5个苹果）。鸽巢问题的应用：常用于解决“至少”“保证”类的问题，解题关键是确定“物体数”和“抽屉数”，再根据鸽巢原理分析结果。二、典型例题例题1：基础鸽巢问题（1）把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进几本书？（2）六年级有49名学生，至少有几名学生的生日在同一个月？答案：（1）7÷3=2（本）……1（本），2+1=3（本），总有一个抽屉至少放进3本书；（2）一年有12个月，49÷12=4（名）……1（名），4+1=5（名），至少有5名学生生日在同一个月。解析：用“物体数÷抽屉数”，若有余数，“至少数=商+1”；若没有余数，“至少数=商”。第（1）题“书”是物体，“抽屉”是抽屉；第（2）题“学生”是物体，“月份”是抽屉，先确定抽屉数，再代入计算。例题2：鸽巢问题的实际应用盒子里有同样大小的红球、黄球、蓝球各5个，要想摸出的球一定有2个是同色的，至少要摸出几个球？要想摸出的球一定有3个是同色的，至少要摸出几个球？答案：（1）有3种颜色（3个抽屉），要保证2个同色，至少摸出3+1=4（个）；（2）要保证3个同色，至少摸出3×2+1=7（个）。解析：“颜色种类”是抽屉数，第（1）题“保证2个同色”，最坏情况是先摸出3种不同颜色的球各1个，再摸1个就一定同色；第（2）题“保证3个同色”，最坏情况是先摸出每种颜色各2个，再摸1个就一