湖南师大附中2025-2026学年下学期高三数学月考试卷七（含解析）

高三数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知命题p:∀x∈{x∣x>A.¬B.¬C.¬D.¬2.已知幂函数fx=a2−52a+A.12C.143.甲、乙两名学生在学校组织的课后服务活动中,准备从①②③④③这5个项目中分别随机选择其中1个项目,记事件A:甲和乙选择的项目不同,事件B:甲和乙恰好一人选择项目①,则PBA.15B.25C.94.若直线l.过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线交于A,B两点,且线段AB中点的横坐标为3,则弦A.2B.4C.6D.85.反射性元素的特征是不断发生同位素衰变,而衰变的结果是放射性同位素母体的数目不断减少，子体的数目不断增加，假设在某放射性同位素的衰变过程中，同位素含量N(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系Nt=N0e−t24(e为自然对数的底数),其中N0为t=0A.12e2贝克B.12C.24e−2贝克D.6.在x−1xnA.-126B.-70C.-56D.-287.若双曲线x24−y2=1不存在以点PA.3≤m≤2B.18.已知函数fx=x+1+x−1+2cosx,若函数gx=A.0B.1C.2D.3二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.在复数范围内关于x的实系数一元二次方程x2+px+2=0的两根为xA.p=2B.x2=110.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为A.若A>B>CB.若AB⋅AC>0,则C.若sin2A+sin2BD.若△ABC为锐角三角形,且sinA=2sinBsin11.已知logab>0a>0且a≠1A.lnb<C.ba−三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知集合A=x,y∣xcosθ+y13.在三棱锥S−ABC中,△SBC,△ABC都是等边三角形,且BC=214.某文件被切分成n个独立分片上传云端,每个分片上传成功的概率为13,且相互独立.当成功上传了m个分片时,文件可被成功恢复的概率为1−12m.为使文件最终成功恢复的概率不小于910，正整数n四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)已知函数fx(1)若ω=1,0<α(2)若偶函数y=gx与y=fx的图象关于直线x=π6对称,且fx在16.(本小题满分15分)在平面四边形ABCD中，△BCD为边长为2的正三角形，△ABD为等腰三角形且AB⊥BD，将△BCD沿BD向上翻折至△BPD(1)若AP=AD，证明:AB⊥平面(2)当直线AP与平面ABD所成角的正弦值取到最大值时，求点A到平面BPD的距离.17.(本小题满分15分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知直线l与椭圆C交于A,B两点，O为坐标原点，且OA,OB的斜率之积为−34，试判断△18.(本小题满分17分)已知函数y=fx的定义域为D,区间I⊆D,∀x1,x2,x3∈I,当x1<x2<x3时,如果fx2−fx1x2−x1≤f(1)证明:函数fx=(2)若函数y=fx是I上的凹函数，证明:对于任意的x1,x2∈I(3)求证:(ab)=十]≤aa19.(本小题满分17分)已知数列an,bn满足an+bn是公差为2的等差数列，(1)求数列an，bn(2)记cn=an+bn2an(3)是否存在两个不同的正整数s,t，使得as,as+1高三数学参考答案题弓12345678910II答案CDBDCCACBDACDACD一、选择题:本题共8小题、每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C在¬p中，符号“∀”改为“∃”,结论“x2+16>2.D由幂函数的概念可得a2−52a+2=1,解得a=2或a=12.当a=12时,fx=x.定义域为[03.B由题意知,nA=A124.D因为抛物线为y2=4x,所以p=2,设A.B两点的横坐标分别为x1,x2,因为线段AB中点的横坐标为3,则5.C因为Nt=N0e−tn,所以N′t=−124N0e−6.C下只有第5项的二项式系数最大,∴n=8,x−1x5的展开式的通项为T4−1=C64x7.A假设以P4,m为中点的弦存在且与双曲线交于Ax1,y1,Bx2,y2，则x1+x22=当点P在双曲线上时,不存在以P为中点的弦,此时m=当点P在双曲线焦点所在的内部区域时,424−m2>1,得0<m则该直线与双曲线右支必有两个交点,且P为中点,所求弦存在;当点P在双曲线外部(无焦点区域)时,422−m2<1,得m>3,此时直线AB的斜率k=1m∈0,33,当0<1m<128.Cf当x<−1时，f∴fx在−∞,−∴f当−1≤x≤1时，fx=2+2∴fx∈f−易得函数fx为偶函数，由此作出函数fx的大致图象如图由函数gx=fx−由hx=2lnx所以将函数y=hx的零点个数问题转化为函数y=lnx的图象与直线y=−4x+52的交点个数问题。易得直线y=−4x+又y=lnx=lnx,x>1,因为1+2ln2<52,所以y=lnx即hx的零点有2图1图2二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中.有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分.有选错的得0分.9.BD由题意得x1+x2=−p,x1x2=2.又x1=1+i,故x2=21+i=21−i1+i1−i=110.ACD对于A，结合大角对大边得A>B由正弦定理可得a>b>c⇒2R对于B，在△ABC中.若AC⋅AB>0所以cosA>0,只能得到角A为锐角,不能判断角B和角C是否也为锐角,所以对于C.因为sin2A+sin2由正弦定理有a2+b2<则C为钝角，所以△ABC为钝角三角形，所以C对于D.因为A+B+C=已知sinΛ=2sinBsinC因为△ABC为锐角三角形.cosBcosC≠0。两边同时除以cos又因为tanA=−tanB+C则tanAtanBtanC=2所以tanBtanC−1>0,令tanA根据基本不等式得t+1t≥2t所以2t+1t+2≥2×211.ACD由logab>0,可知a又ac6<bcx⇒ex所以当x∈0,1时,f′x当x∈1,+∞时.f′x>当0<a<1,0<b<1当a>1.b>1.且a>b由fa>fb>所以aca<bcb<1c,又a>b>1令gx=lnxx所以当x∈0,e时,g′x当x∈c,+∞时,g′x<因为a+1>b+1>2即lna+1a+1>ln令hx=x−1记φx=xlnx所以φx>φ1=0,则h′x>0所以ha>hb,即a−1lna>b−1lnb,即a令tx=lnxln所以lx在1,+∞所以lnalna+1>lnb三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.0<r<1因ω0,0到直线xcosθ+ysinθ又r>0,故r的取值范围为13.4+23如图,取BC的中点D,连接∵△ABC,△∴SB因此有AD⊥又因为BC=2,所以=3所以三棱锥S−ABC表面积为当且仅当∠ABS=∠ACS=90∘综上,三棱锥S−ABC表面积的最大值为14.13记文件最终成功恢复为事件A，则由全概率公式:PA令PA≥910所以n的最小值为13.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.fx=(1)∵ω=1,∴fα又∵0<∴=2sin(2)∵fx=2sin2ωx−π6.当x∈∴2ωπ3在y=gx的图象上任取一点x,gx,它关于直线由题设条件,点π3−x,gx从而gx=又y=gx为偶函数,则又∵0<16.(1)因为AP=AD所以AB2+PB2又因为AB⊥BD.且BP∩BD=​​B.BP,BD⊂平面(2)如图，建立以B为原点的空间直角坐标系。设二面角P−BD−则A2.0所以AP=3cosθ−2.13sinθ设直线AP与平面ABD所成角为a.则sina=设y=设8−所以y=当且仅当t=4,即cosθ=33时取等号,直线AP与平面此时BP=设点A到平面BPD的距离为d,点P.到平面ABD的距离为h−因为VP−ΛBU=VΛ−PBU,即17.(1)因为△PQF2的周长为8,所以4a=8由F1F2=2,得2因此椭圆C的标准方程为x24(2)法一:设Ax1,y1,Bx2,y2.则y1x所以x1直线OA的方程为y1x−x1y=0，点B到直线所以S=12OA法二:依题可设Ax1,y1,Bx2若直线AB不垂直于l轴,设直线AB的方程为y=联立y=kx+m,所以Δ=484k2所以y1y由3x1x2+4又因为AB=原点O到直线AB的距离为d=m所以S=若直线AB垂直于x轴,易知x1综上可知,△OAB的面积S为定值.15法三:设直线OA,OB的方程分别为联立y=k1x,x24+y点Bx2,k2x2到直线所以S=所以△OAB的面积S为定值.1518.(1)f′x=1+lnx,所以f′′x=1x>(2)证明:不妨设x1<x2令λx1+1−λx2=x3,因为函数所以fxfx2化简得fx∵x∴f∴λf∴f∴fλ(3)因为当a>0,b>0时,a所以要证abc−bd≤a同时取自然对数得lna+b2a+也即证a+b2ln由(1)知fx=由(2),取λ=12,即所以a+b因此当a,b均为正数时,ab19.(1)因为a2−2a1=b2−所以a1−