2025年中考数学真题分类汇编25：旋转（9大考点30题）（教师版）

专题25旋转（9大考点，精选30题）考点概览考点1旋转对称图形考点2旋转的有关性质考点3旋转与坐标问题考点4旋转中的规律探究问题考点5旋转与最值问题考点6旋转与反比例函数考点7旋转与线段及数量关系问题考点8旋转与面积综合问题考点9二次函数与旋转问题考点1旋转对称图形1．（2025·吉林·中考真题）如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角α后，能够与它本身重合，则角α的大小可以为（

）A．90° B．120° C．150° D．180°【答案】B【分析】本题主要考查了求旋转角，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，据此求解即可．【详解】解：由题意得，整个图形由三个叶片组成，则相邻叶片之间的夹角为360°÷3=120°，∴该叶片图案绕中心至少旋转120°后能与原来的图案重合，∴角α的大小可以为120°，故选：B．考点2旋转的有关性质2．（2025·天津·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，点B，C的对应点分别为B',C',A．125 B．165 C．4 D【答案】D【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接AD，交CC'于点O，先证出Rt△AC'D≌Rt△ACD，根据全等三角形的性质可得C【详解】解：如图，连接AD，交CC'于点由旋转的性质得：AC'=∴∠A在Rt△ACAD=∴Rt△∴C'∴AD垂直平分CC∴CC'=2∵∠ACB=90°，∴AD=又∵S△∴OC=∴CC故选：D．3．（2025·四川南充·中考真题）如图，AC为正方形ABCD的对角线，CE平分∠ACB，交AB于点E，把△CBE绕点B逆时针方向旋转90°得到△ABF，延长CE交AF于点M，连接DM，交AC于点N．给出下列结论：①CM⊥AF；②CF=AF；③【答案】①③④【分析】本题考查正方形性质，旋转性质，全等三角形性质与判定，角平分线定义，圆周角定理，勾股定理解三角形，等腰三角形性质与判定，三角形的三边关系等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．由旋转性质得△CBE≌△ABF，可得CE=AF，∠BCE=∠FAB，BE=BF，进而由∠BEC+∠BCE=∠FAB+∠AEM=90°即可判断①；由CF=BC+BF=AB+BF>【详解】解：由旋转可知：△CBE∴CE=AF，∠BCE∵在正方形ABCD中，∴∠ABC=90°，又∵∠AEM∴∠BEC∴∠AMC=90°，即CM⊥∵AB+BF>∴CF>AF，故如图：∵在正方形ABCD中，∴∠CAB∴∠AMC∴A、M、B、C、D在以AC为直径的圆上，∵CD=∴∠CAD=∠CMD如图：过N点作NG⊥AC，交AD于∵CE平分∠ACB，∠∴∠ACM∵AM=∴∠ACM∵∠CAD∴∠AGN=90°-∠CAD∴∠CAD=∠AGN∴AN=设AD=在Rt△ANG中，∴2A∴AN=(∵AC=∴CN=∴ANCN=(综上所述：①③④结论正确，故答案为：①③④．4．（2025·广东深圳·中考真题）如图，以矩形ABCD的B点为圆心，BC的长为半径作⊙B，交AB于点F，点E为AD上一点，连接CE，将线段CE绕点E顺时针旋转至EG，点G落在⊙B上，且点F为EG中点．若AF=1，AE=3，则【答案】6【分析】由矩形的性质得∠A=∠D=∠ABC=∠BCD=90°，根据圆周角定理，可求得∠G=12∠【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A∵∠G为FC所对的圆周角，FC所对的圆心角为∠∴∠G∵将线段CE绕点E顺时针旋转至EG，∴CE∴∠ECG∴∠GEC∴∠AEF∴∠DEC又∠D∴△EAF∴EFCE∵点F为EG中点，∴EF∵AE=3∴AE∴CD故答案为：6．【点睛】本题考查矩形的性质，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．考点3旋转与坐标问题5．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上．B0，-2．若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°．得到正方形A'A．-3,5 B．C．-2,5 D．【答案】A【分析】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，坐标与图形，由正方形与旋转可得A'B'在x轴上，A'B'∥C【详解】解：∵正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°．得到正方形A'∴AB=BC=A'B'∵B0∴B'2,0，∴D'故选：A6．（2025·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为6,0，将线段OA绕点O逆时针旋转45°，则点A对应点的坐标为．【答案】(3【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形的相关计算，将线段OA绕点O逆时针旋转45°得到OA1，过A1作A1B⊥x轴于点B，则∠A1【详解】解：如图，将线段OA绕点O逆时针旋转45°得到OA1，过A1作A1B∵点A的坐标为6,0，∴OA=6由题意得，OA=OA∴OB=OA∴点A对应点的坐标为32故答案为：327．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1)将△ABC向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到△A1B1(2)画出△A1B1C1绕原点O逆时针旋转(3)在（2）的条件下，求点C1旋转到点C2的过程中，所经过的路径长（结果保留【答案】(1)作图见解析，C(2)作图见解析，C(3)17【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，弧长公式，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．（1）分别描出平移后的点A1,B1,（2）将点A1,B1,C1分别绕原点O逆时针旋转90°（3）先由勾股定理求出OC【详解】（1）解：如图，△A∵C3,-4∴向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度得到C13+1,-4+5，即（2）解：如图，△A2B（3）解：OC∴点C1旋转到点C2考点4旋转中的规律探究问题8．（2025·四川达州·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的γa,θ变换，现将斜边为1的等腰直角三角形ABC放置在如图的平面直角坐标系中，△ABC经γ1,180°变换后得△A1B1C1为第一次变换，△A1B1【答案】-【分析】本题考查坐标旋转中的规律探究，过点C作CD⊥x轴，根据斜边上的中线，得到CD=12AB=AD=12，进而得到C12,12，根据变化规则，得到C212+1-2,12，【详解】解：过点C作CD⊥∵△ABC为斜边为1∴CD=∴C1∴C1是由C12,1∴C1同理：C212+1-2,12，C3∴C1-12-1,-∴C2∵2025=2×1013-1，∴C2025-1故答案为：-20279．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，A2,0，B0,23，点C在直线m:y=33x-233上，且AC=3，连接AB，BC，将△ABC绕点C顺时针旋转到△A1B1C1，点B的对应点B【答案】2004【分析】本题考查了解直角三角形，一次函数图象上点的坐标特征，旋转性质，勾股定理，设直线m与y轴交于点D，分别过A2、A5作A2E⊥x轴，A5F⊥x轴，垂足分别为点E、F，求出点D0,-233，由tan∠OAD=ODOA=2332=33，tan∠OAB=OB【详解】解：如图，设直线m与y轴交于点D，分别过A2、A5作A2由直线m:y=33∴点D0,-∴OD=∵A2,0，B∴OA=2，OB=23∴tan∠OAD=∴∠OAD=∠CAE∴∠BAC∴BC=由旋转性质可知：CB1=∴AA∴A2E=12同理A5A6∵A1001∴A1001在直线m∴A1001A1002故答案为：2004．考点5旋转与最值问题10．（2025·安徽·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AB=4，BC=3，AD=1，点E为边AB上的动点．将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接FB，FCA．EC-ED的最大值是25 B．C．EC+ED的最小值是42 D．【答案】A【分析】本题主要围绕四边形中的动点问题展开，解题思路是先通过旋转的性质得到相关线段和角的关系，再利用勾股定理建立线段之间的联系，最后根据点与点之间的位置关系以及几何性质来分别判断各个结论的正确性．【详解】解：∵将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，∴DE=DF，又∵∠A=∠ABC=90°，AB=4过点D作DG⊥BC于点G，在DG上取一点H，使得DH=AD=1,延长FH交AB∴∠GDA∴∠ADE∴△DHF≌△DAE∴∠∴FH⊥DG，即点F在∴四边形DAIH和四边形BGHI是矩形，∴HI=AD=BG=1∵∠A=∠ABC=90°，AB=4∴DE=1∴EC-∴BE最大时，EC-当点E与点A重合时，F与H重合时，BF最小,此时EC=42+32=5，ED=1,EC-作点D关于AB的对称点M，连接MC,则ED=EM，AD=AM=1，∠BAM=∠BAD=90°,过M作MN⊥CB于点N，此时∵MN∴四边形AMNB是矩形，∴BN=AM=1，∴EC+ED的最小值=AC=4当E与A重合时，CF=G当E与B重合时，过C作CQ⊥FH，则四边形∴CQ=IB=4-1=3∵△DHF∴FH=∴QF∴FC=综上，FC最大值为13．故D项正确，不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定及性质，勾股定理以及几何最值问题，熟练掌握旋转的性质和勾股定理，并能根据几何图形的特点准确分析线段之间的关系是解题的关键．11．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=6．将射线CA绕点C顺时针旋转90°到CA1，在射线CA1上取一点D，连结AD，使得△ACD面积为【答案】2【分析】先整理得AC×CD=48，过点C向上作线段CE⊥BC，使得CE=8，则CECA=CDCB，结合∠BCE=∠ACD=90°,整理得∠ACB=∠ECD【详解】解：∵射线CA绕点C顺时针旋转90°到CA1，在射线CA1上取一点D，连结∴∠∵△ACD面积为24∴AC∴AC×过点C向上作线段CE⊥BC，使得∵BC∴BC即AC∴CECA连接DE，∵CE⊥∴∠∵∠BCE∴∠ACB∵CECA∴△CED∴∠EDC故点D在以CE为直径的圆上，∵CE=8记圆心为直径CE的中点O，即⊙O的半径连接OB，并延长与⊙O交于一点，即为D此时BD1为故BO∴B故答案为：213【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，正确分析出点D在以CE为直径的圆上是解题的关键．考点6旋转与反比例函数12．（2025·河南·中考真题）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，其中含30°角的三角板OAB的直角边OA落在y轴上，含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为(2,2)，反比例函数y=kx(1)求反比例函数的表达式．(2)将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°,AB边上的点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D【答案】(1)反比例函数的表达式为：y(2)D【分析】（1）把C的坐标为(2,2)代入反比例函数y=（2）求解CO2=22+22=8，证明AC=CO，求解AO=CO2+AC【详解】（1）解：∵含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为(2,2)，反比例函数y=kx∴k=2×2=4∴反比例函数的表达式为：y=（2）解：∵C2,2∴CO∵含45°角的三角板OAC为等腰直角三角形，∠ACO∴AC=CO，如图，连接OD，△OAB旋转到△∴OE=∵D的对应点G在y=∴yG∴EG=1由旋转可得：AD=∴D-【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，反比例函数的应用，理解题意是解本题的关键.考点7旋转与线段及数量关系问题13．（2025·北京·中考真题）在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，点D在射线BC上，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转180°-2α得到线段AE（点E不在直线AB上），过点E(1)如图1，α=45°，点D与点C重合，求证：BF(2)如图2，点D，F都在BC的延长线上，用等式表示DF与BC的数量关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)DF【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，平行四边形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；（1）根据α=45°，得出∠BAC=∠ABC=45°，根据旋转可得AE=AD=AC（2）在DB上取一点G，使得AG=AB，证明△DAG≌△EABSAS得出DG=BE，∠AGD=∠ABE=180°-∠AGC=180°-α【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°∴∠∵线段AD绕点A逆时针旋转180°-2×45°=90°得到线段AE，点D与点C重合∴AE=AD=∴∠EAB∴BC∵EF∥∴四边形ABFE是平行四边形，∴BF=∴BF=（2）DF=2证明：如图，在CD上取一点G，使得CG=∵∠∴AG∴∠AGB∴∠∵将线段AD绕点A逆时针旋转180°-2α得到线段AE∴DA∴∠∴∠∴△∴DG=BE又∵∠∴∠∵EF∥∴∠∴∠∴BE∴DG∵AG=AB∴GC∴DF14．（2025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形ABCD与正方形BEFG（AB>BE），点E，G分别在AB，BC上，根据图形提出问题：如图2，正方形BEFG绕点B顺时针旋转，旋转角为α0°<α<180°，直线AE与CG相交于点H，连接BH【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出AH，BH，CH之间的数量关系，并说明理由；（2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出AH，BH，CH之间的数量关系，并说明理由；【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角α的范围再扩大，正方形BEFG绕点B顺时针旋转，旋转角为α180°<α<360°，直线AE与CG相交于点H，连接BH，请直接写出AH，BH【答案】（1）AH=CH+2BH，理由见解析；（2）AH【分析】（1）利用正方形的性质求得EH=2BH，证明△ABE≌△（2）在AE上截取AM=CH，证明△MAB≌△HCBSAS，推出∠3=∠4，BM=BH，证明（3）在CG上截取CM=AH，证明△ABH≌△CBMSAS，得到BH=BM，∠3=∠4，同理，得到【详解】解：（1）AH=如图，当点G，H重合时，∵正方形ABCD与正方形BEFG，∴AB=BC，BE=BH，∴EH=2BH∴△ABE∴AE=∴AH=（2）AH=由（1）得△ABE∴∠1=∠2，在AE上截取AM=∵∠1=∠2，AB=∴△MAB∴∠3=∠4，BM=∵∠5=90°-∠4-∠EBC，∠6=90°-∠3-∠∴∠5=∠6，∴∠MBH∴△MBH∴MH=∵AH=∴AH=（3）CH=由（1）得△ABE∴AE=CG，在CG上截取CM=∵∠1=∠2，BC=∴△ABH∴BH=BM，同理，△MBH∴MH=∵CH=∴CH=【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，作出辅助线，证明三角形全等是解本题的关键．15．（2025·贵州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P为线段AC上一动点，点E为射线BP上的一点（点E与点【问题解决】（1）如图①，若点P与线段AC的中点O重合，则∠PBC=度，线段BP与线段AC的位置关系是【问题探究】（2）如图②，在点P运动过程中，点E在线段BP上，且∠AEP=30°,∠PEC=60°，探究线段【拓展延伸】（3）在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆时针旋转120°得到EF，射线EF交射线BC于点G，若BE=2FG,【答案】（1）30，BP⊥AC；（2）CE=2BE，理由见解析；（3）AP的长为【分析】（1）根据菱形的性质证明△ABC（2）如图，把△ABE绕B顺时针旋转60°得到△CBQ，证明△BEQ为等边三角形，可得∠BEQ=60°=∠BQE，BE=EQ，求解（3）如图，当P在线段OA上，记BP与AD交于点H，证明△HAB∽△BEG，可得AHAB=BEEG，设FG=x，则EF=BE=2x，可得AH=103，证明△APH∽△CPB，再进一步解答即可；如图，当P在线段OC上时，延长AD【详解】解：（1）∵在菱形ABCD中，∴AB=∵∠ABC∴△ABC∵点P与线段AC的中点O重合，∴∠PBC=1（2）如图，把△ABE绕B顺时针旋转60°得到△∴BE=BQ，∠EBQ∴△BEQ∴∠BEQ=60°=∠BQE∵点E在线段BP上，且∠AEP∴∠AEB=150°，∴∠BEQ=∠CEQ∴∠EQC∴∠ECQ∴CE=2（3）如图，当P在线段OA上，记BP与AD交于点H，∵AH∥∴∠AHB∵∠ABC∴∠BAD∴△HAB∴AHAB设FG=x，则∴EG=3∴2x∴AH=∵AD∥∴△APH∴AHBC∴APPC∵△ABC∴AC=∴AP=5×如图，当P在线段OC上时，延长AD交BP于H，同理可得：∠H=∠PBC∴△BAH设BE=EF=2m，而∴ABAH∴AH=10同理：△APH∴APCP∴AP=5×综上：AP的长为2或103【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，菱形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，含30角的直角三角形的性质，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键.16．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D为边AC的中点，点E为边AB上一动点，连接DE．将线段DE绕点(1)线段AB的长为；(2)当EF∥AC时，求(3)当点F在边BC上时，求证：△ADE(4)当点E到BC的距离是点F到BC距离的2倍时，直接写出AE的长．【答案】(1)4(2)2(3)证明见解析(4)AE的长为42-4【分析】（1）利用勾股定理计算即可；（2）如图，求解∠A=∠B=45°，AD=CD=2（3）证明∠BEF=∠ADE，结合∠（4）如图，当F在BC的左边时，结合题意可得：EG⊥BC，FQ⊥BC，EG=2FQ，过D作DH⊥AB于H，过F作FK⊥EG于K，可得FQ=GK=GE，结合（1）可得：DH=AH=2，证明△DHE≌△【详解】（1）解：∵在△ABC中，∠C=90°∴AB=（2）解：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC∴∠A=∠B∵EF∥∴∠FEB=∠A∴∠DEB∴AE=（3）证明：∵旋转，∴DE=如图，∵∠DEF+∠BEF∴∠BEF∵∠A=∠B∴△ADE（4）解：如图，当F在BC的左边时，结合题意可得：EG⊥BC，FQ⊥过D作DH⊥AB于H，过F作FK⊥∴四边形FKGQ为矩形，∴FQ=结合（1）可得：DH=∵EG⊥BC，∴∠GEB∴GB=∵∠DEF∴∠DEF∴∠DEH∵∠DHE∴∠HDE∵DE=∴△DHE∴EK=∴EG=∴BE=∴AE=4如图，当F在BC的右边时，过D作DH⊥AB于H，过F作FK⊥同理：EK=四边形四边形FKGQ为矩形，∴FQ=∵GE=2∴GE=2∴EG=22同理可得：EG=BG=∴AE=4综上：AE的长为42-4【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.17．（2025·广东深圳·中考真题）综合与探究【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形．【抽象定义】以等腰三角形为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在△ABC中，AB=AC，AC=AD，∠D=∠BAC．此时，四边形ABCD是“双等四边形【问题解决】如图3，在四边形ABCD中，AB=AC，AD=①AD与BC的位置关系为：__________：②AC2_____AD⋅BC．（填“>”，“<”或【方法应用】①如图4，若AC=BC，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE，点D恰好落在②如图5，在等腰三角形ABC中，AC=BC，cosB=35，AB=5，在平面内找一点D【答案】问题解决：①互相平行；②=；【方法应用】①见解析；②CD=256或【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．问题解决：①根据等腰三角形的性质得出∠DAC=∠ACB②证明△ABC∽△DAC得出ACCD=方法应用：①根据双等四边形的定义进行证明；②分∠ACB=∠D=∠ACD，AD=AC或∠【详解】解：[问题解决]①∵AB=∴∠ACB∴∠DAC∴AD∥②∵∠DAC=∠ACB∴△ABC∴AC∴A∵CD∴A故答案为：①平行；②＝；方法应用：①∵△ADE为△∴AB令∠B=α，则∠∴∠ADE由旋转得，DE=又∵AC∴EA=∴∠DAE∴∠E∴∠E∴四边形ABDE为双等四边形；②作AH⊥BC于点∵cosB=3∴BH=3，设CH=x，则：AC=在Rt△AHC中，CH解得：x=∴CH=7若∠B=∠D=∠CAD若∠ACB=∠D∴AD作AM⊥CD于点∴CM=∴CM∴CM∴若∠D=∠ACB∴∠DAC=∠∴△CAB∴CD∴CD∴CD综上所述：满足条件时，CD=256或718．（2025·上海·中考真题）小明正在进行探究活动：分割梯形并将其拼成等腰三角形，请你帮他一起探究．(1)如图（1）所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC．设E为边AB中点，将△ADE绕点E旋转180°，点D旋转至点F的位置，得到的△DFC是等腰三角形，其中DF=(2)如图（2）所示，已知梯形MQPN中，MN∥QP，且MN<PQ，MQ=NP．请设计一种方案，用一条或两条直线将梯形MQPN分割，并使得分割成的几个部分可以通过图形运动拼成与剩余部分不重叠无缝隙的等腰三角形．请写出两腰的线段，以及这两条或一条直线与梯形的交点的位置．（模仿（1）中的论述语言：E为边【答案】(1)BC(2)见解析【分析】本题考查了变换：旋转、平移与轴对称，等腰三角形的性质等知识；（1）过点D作DH⊥BC于H，则由等腰三角形的性质得FC=2FH；证明四边形ABHD是矩形，则有BH=（2）连接QN，把△MNQ通过平移变换，再轴对称变换得到△NPG，则【详解】（1）解：如图，过点D作DH⊥BC于∵DF=∴FC=2∵AD∥BC，∴∠A∴∠A∴四边形ABHD是矩形，∴BH=由旋转知BF=∴FH=∴FC=2∴BC=（2）解：如图（2），连接QN，MP，把△MNQ沿MP平移使M与P对应，得到△PGH；再把△PGH沿QG对折，得到△NPG，H与N是对应点，则△NQG19．（2025·江西·中考真题）综合与实践从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究．特例研究在正方形ABCD中，AC，BD相交于点（1）如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为（2）如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上，求类比探究（3）如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上．猜想（4）若（3）中∠ABC=β，其余条件不变，探究BA【答案】（1）45°；2；（2）BFOE=2；（3）BFOE的值与α无关，理由见解析；（【分析】（1）利用正方形的性质结合旋转的性质求解即可；（2）由题意得△AEF∽△AOB，推出∠EAB=∠EAO，（3）同理可证△AFB∽△AEO，得到BF（4）同理可证，∠BAO=β2，【详解】解：（1）∵正方形ABCD，∴∠OAB=∠DAC∴旋转角为45°，k=故答案为：45°；2；（2）如图，根据题意得△AEF∴∠EAF=∠OAB∴∠FAB=∠EAO∴△AFB∴BFOE∵∠OAB=45°，∴ABAO∴BFOE（3）BFOE的值与α如图，同理可证△AFB∴BFOE∵菱形ABCD中，∠ABC∴∠ABO∵O是AB的垂直平分线与BD的交点，∴AO=∴∠BAO过点O作OG⊥AB于点∴AB=2BG，∴ABOA∴BFOE∴BFOE的值与α（3）同理可证，∠BAO=β∴BF=OE⋅∵BE=∴BF=2OE即BF+【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，正方形和菱形的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．20．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”．(1)【几何直观】如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在△ABC内部取一点D，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AD'，连接BD，CD'，则CD'与BD(2)【类比推理】如图2，在正方形ABCD内部取一点E，使∠CED=90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE'，连接E'B，延长E'B(3)【深度探究】如图3，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，在其内部取一点E，使∠CED=90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE'，延长CE'至点G，使CGCE'=43，连接GB，延长GB交(4)【拓展延伸】在矩形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AE'，连接DE'，若AD=32，AB=【答案】(1)相等（或CD'=BD）；相等（或(2)见解析(3)3(4)6【分析】（1）根据旋转的性质可得∠DAD'=90°，AD=（2）根据正方形的性质，旋转的性质，同（1）证明△BCE'≌△DCE（3）同（2）的方法证明△BCG∽△DCE，得出四边形CEFG是矩形，连接AC,BD交于点O，连接OF，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出A,F,B,C,D（4）连接AC,BD交于点O，证明△E'AO≌△EABSAS得出【详解】（1）CD'=BD∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AD'∴∠DAD∵∠BAC=90°∴∠BAC-∠又∵AB=∴△∴CD'故答案为：相等（或CD'=（2）证明：∵四边形ABCD是正方形∴∠DCB=90°∵CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE∴∠∵∠DCB∴∠DCB-∠∴△∴∠B∵∠∴∠∴∠∴四边形CEFE又∵CE∴四边形CEFE（3）解：∵CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE∴∠∵CGCE∴CG∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC∴CD=∴BC∴CG∵∠DCB∴∠DCB-∠∴△∴∠∵∠∴∠∴∠∴四边形CEFG是矩形，如图，连接AC,BD交于点O∵O是AC,在Rt△OBF∴OF∴A,∴∠AFC∵AD∴AD∴∠GFC在Rt△ABC∴cos∵AF=2在Rt△AFC∴FG=∵BC∴∠又∠∴∠∴∠ACB-∠∴sin∴2∴BG∴BF故答案为：321（4）解：如图，连接AC,BD交于点∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°∵AD=32，∴AC∴AO∴△AOB是等边三角形，则∵线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AE'∴AE=A∴∠∴∠OAB-∠又OA∴△E∴∠∴E'在OE∴当DE'⊥∵∠∴∠又∵∠∴∠∴当DE'故答案为：62【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质以及直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，同弧所对的圆周角相等，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键．21．（2025·黑龙江·中考真题）已知：如图，△ABC中，AB=AC，设∠BAC=α，点D是直线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转α至AE，连接DE、BE，过点E作(1)若α=60°如图①，点D在CB延长线上时，易证：BF=如图②，点D在BC延长线上时，试探究线段BF、DF、BC之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由．(2)若α=120°，点D在CB延长线上时，如图③，猜想线段BF、DF、BC【答案】(1)①证明见解析；②BF=(2)3【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，综合运用相关知识是解题的关键．（1）①由AB=AC，∠BAC=α=60°，得到△ABC是等边三角形，从而∴∠ABC=∠BCA=∠ACB=60°，进而推出∠BAE=∠CAD，因此可证明△ABE≌△ACDSAS，得到BE=CD，∠ABE=∠ACD=60°，求得∠EBF=60°，因此BE=2BF，由（2）同（1）思路即可求解．【详解】（1）①证明：∵AB=AC，∴△ABC∴∠ABC∵∠BAC∴∠BAC即∠BAE∴在△ABE和△AB=∴△ABE∴BE=CD，∴∠EBF∵EF⊥∴在Rt△BEF中，∵CD=CD=∴2BF∴BF=②解：BF=∵AB=AC，∴△ABC∴∠ABC∴∠ACD∵∠BAC∴∠BAC即∠BAE∴在△ABE和△AB=∴△ABE∴BE=CD，∴∠EBF∵EF⊥∴在Rt△BEF中，∵CD=CD=∴2BF∴BF=（2）解：∵AB=AC，∴∠ABC∵∠BAC∴∠BAC即∠DAC∴在△ABE和△AB=∴△ABE∴BE=CD，∴∠EBC∵EF⊥∴在Rt△BEF中，∵CD=CD=∴2BF∴3BF22．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD，BC上，且∠MAN=45°，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型(1)【初步尝试】如图1，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，连接MN．用等式写出线段DM，BN，MN的数量关系(2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形ABCD的边CD，BC的延长线上，∠MAN=45°，连接MN，用等式写出线段MN，DM，(3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B+∠D=180°，点N，M分别在边BC，CD上，【答案】(1)DM(2)BN-(3)DM【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握利用图形的旋转来构造全等三角形是解题的关键．（1）根据图形旋转的性质，可得DM=BE，AM=AE，∠DAM=∠BAE，∠ADM=∠ABE，然后证明（2）将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，根据旋转的性质及全等三角形的判定与性质，可逐步证明（3）将△ADM绕点A顺时针旋转120°，点D与点B重合，得到△ABE，根据图形旋转的性质，可得DM=BE，AM=AE，∠DAM=∠BAE，∠ADM=∠【详解】（1）解：∵△ADM绕点A顺时针旋转90°，得到△∴DM=BE，AM=AE∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD∴∠ABE∴E、B、N三点共线，∵∠MAN∴∠DAM∴∠BAE∴∠EAN∴∠EAN∵AN∴△EAN∴EN∴EB∴DM故答案为：DM+（2）解：BN-将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△∴DM=BE，AM=AE∴E在BC上，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD∴∠DAM∵∠MAN∴∠EAN∵AN∴△EAN∴EN∴BN∴BN（3）解：DM+将△ADM绕点A顺时针旋转120°，点D与点B重合，得到△∴DM=BE，AM=AE∵∠BAD=120°∴∠DAM∴∠∴∠∵∠∴∠∴E、B、N三点共线，∵AN∴△EAN∴EN∴EB∴DM23．（2025·湖北·中考真题）在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点A的对应点D(1)如图1，求证：△BCE(2)如图2，当BC=2,AC=1(3)如图3，过点E作AB的平行线交AC的延长线于点F，过点B作AC的平行线交EF于点G，DE与BC交于点K．①求证：AC=②当GFGB=56【答案】(1)见解析(2)BE(3)①见解析；②7【分析】（1）根据旋转可得AC=CD,CB=（2）根据BC=2,AC=1，∠ACB=90°，可得AC=CD=1,AB=5，即可得出tan∠A=BCAC=2，过D作DH⊥AC，则tan（3）①设旋转角为α，则∠ACD=∠BCE=α,AC=CD,CB=CE，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出∠CDA=∠A=90°-12α，∠CEB=∠CBE②根据GFGB=56，设GF=5k,GB=6k，证明四边形ABGF是平行四边形，得出AB=GF=5k,AF=BG=6k,∠G=∠A，由①得CD=AC=CF=3k，在Rt△ABC中，勾股定理得出BC=4k，则sin∠A=BCAB=4k5k=45【详解】（1）证明：∵将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点A的对应点D落在边∴AC=∴ACCB∴△BCE（2）解：∵BC=2,AC=1∴AC=∴tan∠过D作DH⊥∴tan∠∴DH=2在△CDH中C即1-AH解得：AH=25∴DH=在△ADH中A∴AD=∵△BCE∴BEAD即BE2∴BE=（3）①证明：设旋转角为α，则∠ACD∴∠CDA=∠A∵∠ACB∴∠BCF∴∠ECF∴∠DCB∵GF∥∴∠F∴∠CDA∴∠CDB∵∠DCB∴△BCD∴CD=∵CD=∴AC=②解：∵GFGB∴设GF=5∵GF∥∴四边形ABGF是平行四边形，∴AB=由①得CD=在Rt△ABC中，∴BC=∴sin∠∴sin∠∵△CBD∴∠CBD∵GF∥∴∠FEB即∠CEF即2∠∴∠FEB∴∠BEG∴sin∠即BE6∴BE=由①可得∠ADC∴∠CEB∴点C,∴∠BED∵∠BEK∴△BEK∴DKBK设DK=5则BC=根据旋转可得DE=∴DE=联立①②可得x=∴KDKE【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，圆周角定理，圆内接四边形，解直角三角形，平行四边形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，证明三角形相似．24．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD,BC上，且∠MAN=45°，我们称之为“半角模型”，在解决(1)【初步尝试】如图1，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，连接MN．用等式写出线段DM,(2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形ABCD的边CD,BC的延长线上，∠MAN=45°，连接(3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B+∠D=180°，点N，【答案】(1)MN=(2)MN=(3)MN=【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用“半角模型”，正确作出辅助线是解题的关键．（1）由旋转的性质和正方形的性质，先证E，B，C三线共线．再证∠EAN=∠MAN，进而证明△EAN≌△（2）在BC上取BE=MD，连接AE．依次证明△ABE≌△ADM（3）将△ABN绕点A逆时针旋转120°得△ADE，先证E，D，C三点共线，由（1）同理可得△EAN【详解】（1）解：MN=由旋转的性质，可知AE=AM，BE=DM，∴∠ABE∴E，B，C三线共线．∵∠MAN∴∠EAN在△EAN和△MAN中，AE=∴△EAN∴EN=∵EN=∴MN=（2）解：MN=如图，在BC上取BE=MD，连接∵AB=AD，∴△ABE∴AE=∵∠DAM∴∠BAE∴∠EAN在△EAN和△MAN中，AE=∴△EAN∴EN=∵EN=∴MN=（3）解：MN=DM如图，将△ABN绕点A逆时针旋转120°得△∴∠B∵∠B∴∠ADE∴E，D，C三点共线．由（1）同理可得△EAN∴MN=考点8旋转与面积综合问题25．（2025·辽宁·中考真题）（1）如图1，在△ABC与△DCB中，∠BAC=∠CDB，AC与DB（2）如图2，将图1中的△DCB绕点B逆时针旋转得到△D'C'B，当点D的对应点D'在线段BA的延长线上时，BC'（3）如图3，在（2）的条件下，连接CC'并延长，与BD'的延长线相交于点N，连接【答案】（1）见解析；（2）CM=377；（【分析】（1）利用等边对等角求得∠DBC=∠ACB，再利用AAS（2）由题意得△ABC≌△D'C'B，得到∠BAC=∠C'D'B，AB=（3）设∠BC'C=α，由旋转的性质得BC'=BC，则∠BC'C=∠BCC【详解】解：（1）∵PB=∴∠PBC=∠PCB∵∠BAC=∠CDB∴△ABC（2）∵△ABC≌△DCB∴∠BAC=∠C'D作AE⊥BC于点∵∠ABC∴∠BAE∴BE=12∴CE=∴AC=∴BD∵∠BAC∴AM∥∴△BAM∴BABD'∴AM=∴CM=（3）设∠B由旋转的性质得BC'=∵∠ABC=∠D'C∴∠BNC=120°-α∴∠BNC∵AM∥∴∠ANC∴AN=作CF⊥BN于点∵∠ABC∴∠BCF∵BC=3∴BF=∴CF=∴S△∵AM=477，∴S△26．（2025·四川达州·中考真题）综合与实践问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系．探究发现：如图1，在△ABC中，AC=BC，P是AB边上一点，过点P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，过点A作AF⊥BC于F．连结CP实践应用：如图2，△ABC是等边三角形，AC=3，点G是AB边上一点，连结CG．将线段CG绕点C逆时针旋转60°得CF，连结GF交BC于P，过点P作PD⊥GC于D，PE⊥CF于拓展延伸：如图3，已知AB是半圆O的直径，AC，BE是弦，AC=BE，P是AB上一点，PD⊥AC，垂足为D，【答案】探究发现：S△APB，DP，EP【分析】探究发现：图形面积分割法得出S△ABC=S△APC+实践应用：过点C,F分别作AB,CG的垂线，垂足分别为M,N，根据等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理分别求得AM，拓展延伸：延长AC,BE交于点T，过点P作PS⊥BE于点S，设CD=x，根据圆周角定理，得出∠ACB=90°，在【详解】解：探究发现：∵PD⊥AC，PE∴S△ABC=∴12∵AC=∴AF=故答案为：S△APB，DP，实践应用：如图，过点C,F分别作AB,∵△ABC是等边三角形，AC∴AB=∵CM⊥∴AM=BM=∴CM=∵AG=1，则BG∴MG=在Rt△CMG中，∵将线段CG绕点C逆时针旋转60°得CF，∴CG∴△CGF∴CN=GN=∴由探究发现可得：PD+拓展延伸：如图，延长AC,BE交于点T，过点P作PS⊥BE于点设CD=∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB∵AB=10在Rt△ABC中，在Rt△BCD中，∴45解得：x=4∴BE=∴AC=∴AE=∴∠ABT∴TA=∴由探究发现可得：BC=∵BC=∴PD+∵AC=∴S△PAC==1【点睛】本题考查了勾股定理，点到直线的距离，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，弧与圆周角的关系，熟练掌握等面积法求线段长是解题的关键．考点9二次函数与旋转问题27．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c关于直线x=-3对称，与x轴交于(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线对称轴上一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转90°，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标；(3)在线段OC上是否存在点Q，使2AQ+2【答案】(1)y(2)P-3,2(3)存在，Q0,1，2AQ【分析】（1）对称性求出B点坐标，两点式写出函数解析式即可；（2）设对称轴与x轴交于点E，设P-3,p，E-3,0，分点P在x（3）在x轴上取点M5,0，连接AC,CM，过点A作AH⊥CM于点H，交y轴于Q'，过点Q作QG⊥CM于点G，易得△QGC为等腰直角三角形，进而得到QG=CG=22CQ，推出2【详解】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c关于直线x∴B-∴抛物线的解析式为：y=（2）∵点P在对称轴上，设对称轴与x轴交于点E∴设P-3,p∵旋转，∴PB=当点P在x轴上方时，∵A,∴PA=∴当∠APB=90°时，满足题意，此时点D与点A重合，∵A-1,0，∴AB=4∴PE=2∴P-当点P在x轴下方时，如图，作DF⊥对称轴于点F，则：∠∴∠BPE又∵BP=∴△BPE∴DF=∵B-∴DF=PE=-∴EF=-∴Dp把Dp-3,p-解得：x=-1或x∴P-综上：P-3,2或（3）存在；在x轴上取点M5,0，连接AC,CM，过点A作AH⊥CM于点H，交y轴于Q'，过点Q作QG⊥∵y=∴当x=0时，y∴C0,5∴OC=∴CM=∴△QGC∴QG=∴2AQ∴当点Q与点Q'重合时，2AQ+∵A-∴OA=1，AM∵S△∴6×5=52∴AH=3∴2AQ+2在Rt△AHM中，∴∠MAH∴△OA∴OQ∴Q0,1综上：Q0,1，2AQ+【点睛】本题考查二次函数的综合应用，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．28．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，OA=2，OB=6，D是直线BC上方抛物线上一动点，作DF(1)求抛物线的表达式；(2)设点D的横坐标为t，①用含有t的代数式表示线段DE的长度；②是否存在点D，使△CDE是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D(3)连接OE，将线段OE绕点O按顺时针方向旋转90°得到线段OG，连接AG，请直接写出线段AG长度的最小值．【答案】(1)y(2)①DE=-14t2+32(3)2【分析】（1）运用待定系数法即可求解；（2）①求出直线BC：y=-12x+3，则Dt,-14（3）在y轴负半轴取点N0,-6，连接NG并延长交x轴于点M，连接AN，证明△BOE≌△NOGSAS，则∠CBO=∠MNO，确定点G在线段MN上运动（不包括端点），故当AG⊥MN时，【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y∴A-∴4解得：a=-∴抛物线表达式为y=-（2）解：①对于抛物线表达式y=-当x=0,∴C0,3设直线BC表达式为：y=则6k解得：k=-∴直线BC：y=-∵DE⊥∴Dt,-1∴DE=-∴DE=-②存在，CD=t当DE=CE时，解得：t=6-25或∴-1∴D6-2当CD=DE整理得：t2解得：t=1或t∴-1∴D1,当CD=CE整理得：t2解得：t=2或t=6（舍）或∴-1∴D2,4综上：△CDE是等腰三角形时，D2,4或D1,（3）解：在y轴负半轴取点N0,-6，连接NG并延长交x轴于点M，连接AN由旋转得：OE=∵B6,0∴OB=∵∠BON∴∠1=∠2=90°-∠MOG∴△BOE∴∠CBO∴点G在线段MN上运动（不包括端点），∴当AG⊥MN时，∵∠CBO=∠MNO，OB∴△COB∴OM