时域离散相似法课件

时域离散相似法

“离散相似法”

――对传递函数作离散化处理得离散传递函数，称为频域离散相似模型――频域离散相似法

――对状态方程离散化得时域离散相似模型――时域离散相似法

3.1时域离散相似法基本原理

3.1.1基本方法

系统状态方程：(1)解析解：(2)离散化处理：

信号重构TT

图3.1连续系统的离散化处理基本方法

(续)输入端：加上虚拟采样开关和虚拟信号重构器；输出端：加一个虚拟采样开关虚拟采样周期：T，两者同步。

对离散化处理后的系统，设kT及(k+1)T为两个依次相连的采样瞬时，则有：

(3)(4)

基本方法

(续)将(4)式－(3)式乘以eAT,可得：

(5)(5)式右端的积分与k无关，故可令k=0。若信号重构器使kT与(k+1)T之间的不变，积分式中的保持常数，那么，(5)式可改写为：

(6)

基本方法

(续)若令,则有：

(7)信号重构器使为一斜坡函数（梯形近似），则在原基础上增加

(8)对应，对

引起的变化量为：

(9)

令

则：(10)

基本方法

(续)(状态转移矩阵)

(输入信号采用零阶重构器引入的系数矩阵)

(输入信号采用一阶重构器后叠加的系数矩阵)

比较：离散相似法：方程系数可以一次求出,每做一步积分只要计算一次右端函数，无须迭代，速度快

.数值积分方法：每做一步积分要多次计算右端函数，迭代，速度慢3.1.2状态转移矩阵的计算

1.泰勒级数展开法

由Lion提出(12)若级数在i=L处截断

(13)要求：

或（14）其中rij和mi

j对应为R与M的元素，rmax为ri

j中最大元素。

状态转移矩阵的计算（续）(13)式中mmin是容易求出的，但rmax却无法求出，因为R仍是一个无穷项的和。估计rmax：令为矩阵R的范数，根据矩阵范数的定义，有由

(15)状态转移矩阵的计算（续）令

(16)则有如果，则因此，若（17）则满足(14)式，eAT可以按照以下迭代过程来计算：

状态转移矩阵的计算（续）(1)选择初始L；

(2)计算矩阵M及│mmin│；(3)用式(16)求ε；(4)用式(17)判别是否满足精度的要求。若满足，则用M来代替eAT，否则L＝L＋1，并重新计算。系数的计算：因为令

2.eAT加速收敛算法eAT计算：在有些情况下，泰勒级数展开法收敛性较差，即需要取很多项才能达到精度要求。然而项数增加，大量矩阵乘法计算，矩阵计算引入的舍入误差大大增加，影响计算精度。以一阶系统为例，，分别令aT等于0.1,0.5,1.0,2.0，泰勒展开式取前m项所达到的计算精度用10－b表示：

eAT加速收敛算法（续）baT123456789100.12357810121416180.5112345789111.01123456782.01122345可以看到，-aT<1才有较好的收敛性。然而，在某些情况下，全部满足该条件比较困难（比如病态系统），如何加速收敛就成为状态转移矩阵计算中一个必须解决的关键问题。

3.等效转移法

若，步长T<1，取时间比例尺，即原时间t，经等效转移后的时间为τ，则由相似定理若则

令并略加整理，可得：

等效转移法(续）得到新的状态方程：A*、B*阵的各元素ai*、bi*与原来的ai、bi相比较，分别乘以Ti+1、Ti，时间常数加大，状态矩阵计算的收敛性则大大加快。需要注意的是，仿真结果的时间比例尺也放大了1/T倍。

缩方与乘方

根据eAT的特性，若设

T＝T×2－m，m为大于零的整数，则有先利用台劳级数法来计算eA

T，那么可以取较少的级数项而能获得较高的精度；然后再将它进行2m次方相乘，即可计算出eAT。需要指出的是，m也不能太大，一般m应小于4～8，否则计算eAT时会产生很大的舍入误差。3.2增广矩阵法

对线性定常系统，离散模型：

（1）这种方法的误差来源于：

(1)eAT的计算误差；

(2)u(t)误差

尽管可归结为eAT的计算，而且eAT的计算误差可以通过缩方与乘方的方法减少，然而，虚拟采样后的信号带来的误差却无法消除。增广矩阵法（续）将输入信号也能作为系统的状态对待，那么只需要着眼于提高eAT的计算精度就能达到仿真精度的提高――增广矩阵法。广矩阵法将转化为齐次常微分方程组：（2）等价的离散模型就变成（3）

增广矩阵法（续）其中，（4）仿真只有一项误差――计算的误差。

例如，阶跃输入时，，定义第n+1个状态变量为：增广状态方程及输出方程为：初始条件：

增广矩阵法（续）考虑一般情形，设作用函数u(t)可以表示成如下形式：（5）视u(t)为上述m阶系统的自由响应。设该m阶系统的状态变量为xu，（6）（7）增广矩阵法（续）其中（8）（9）将该m阶系统增广到原n阶系统，增广状态方程如下：

（10）增广矩阵法（续）AuAXXu增广状态系统结构图3.3面向结构图的非线性系统仿真

非线性典型环节位于线性环节之间，不可能统一计算整个系统的及，而只能计算出各个线性部分的及(i＝1，2，…，N，N表示该系统共有N个线性部分)。定义仿真模型时，选择如图（3.6）所示的环节作为基本环节。该环节是在典型线性环节的前面与后面均附属了一个非线性环节，

面向结构图的非线性系统仿真（续）以被仿真的系统中的线性典型环节为基础确定系统的环节个数、参数，连接矩阵等；确定非线性环节的归属，对每类非线性环节给出其特征参数和类型参数，以及它位于某一环节孰前孰后的描述参数。计算过程分四步：①不考虑非线性，根据连接矩阵计算出各环节的输入；②根据各环节前的非线性计算出各环节中线性动态部分的输入；③