数学物理方法

PAGE24PAGE25数学物理方法第一篇知识总结张艾佳（学号：20091103559）（物理与电子信息学院物理学专业2009级汉班，内蒙古呼和浩特010022）指导教师：孙咏萍摘要：整理、总结了《数学物理方法》前一章的知识要点，并介绍了在前一章中的定理规则提出者的平生的其他贡献。关键词：数学物理方法；知识总结；中图分类号：O471第一章复变函数1复数1.1复数的形式代数式：z=x+yi向量表达式：（虚轴）(x,y)（实轴）复数平面三角式：z指数式：e对数式：Inz=In|z|eiArgz1.2复数的计算共轭：|z|乘法：z除法：zz大小比较：|z|z2复变函数2.1基本性质(1)定义：若在复数平面（或球面）上存在一个点集E（复数的集合），对于E的没一点（每一个Z值），按照一定的规律，有一个或多个复数值ω与之相对应，则称ω为Z的函数——复变函数。(2)表达式：指数函数：ez=eiyex对数函数：Inz=In(x+iy)=In|z|eiArgz=In|z|+iArgz—周期为2π三角函数：sinz=cosz=12(eiz双曲正弦：shz=chz=12.2导数(1)定义：设函数ω=f(z)是区域B上定义的单值函数，即对于B上的每一个z的值，有且只有一个ω值与之相对应，若再B伤得某点z，极限limΔz→0ΔωΔz=limΔz→0f(z+Δz)-f(z)Δz存在，并且与Δz→0的方式无关，则称函数(2)与实函数导数的区别：复变函数和实变函数导数定于，形式上相同，但实质上有很大不同。Δx只是一个变量，而Δz可以沿着复平面上任意曲线逼近于0。(3)可导的必要条件：满足柯西-黎曼方程（简称C-R条件）∂μ(4)可导的充分必要条件：函数f(z)的偏导数∂μ∂x、∂v2.3解析函数定义：若函数f(z)在点z0及其领域上处处可导，则称f(z)在z性质：正交性μ=c1，v=c2为互相正交的两曲线族∂μ∂x调和性若函数f(z)=u+iv在区域B上解析，则u、v均为B上的天和函数（满足拉普拉斯方程∇2计算：曲线积分法凑全全微分显式不定积分等价命题：F(z)在B任意一点的领域上都可展成幂级数F(z)在B任意一点的领域中的z0F(z)在B任意一点的领域上，实部与虚部都有连续偏导数，并满足柯西F(z)在z0点上连续且沿领域内任意一条正向封闭路线积分为F(z)在B任意一点的领域上可展开成幂级数第二章复变函数积分1柯西定理1.1单通区域情况(1)单通区域定义：在其中任何简单的闭合围线，围线内的点都属于该区域内的点。(2)柯西定理：如果函数f(z)在闭单通区域B上解析，则沿着B上任一分段光滑闭合曲线L（也可以是B的边界），有L1.2复通区域情况(1)复通区域定义：为了将这些奇点排除在区域之外，就需要作一些适当的闭合曲线把这些奇点分割出去，或者形象地说把这些奇点挖掉而形成某种带“孔”的区域，即所谓的复通区域。(2)区域的方向问题：对于区域（单通区域及复通区域）的境界线，通常这样来规定其（内、外）正方向：当观察者沿着这个方向前进时，区域总是在观察者的左边。(3)柯西定理：L2柯西公式若f(z)在闭单通区域上解析，L为B的境界线，z为B内的任一一点，则有柯西公式：fα柯西公式推论：可求导任意多次，即：f(z)3.不定积分定义：F重要结论：11第三章幂级数展开1复数项级数1.1表达式k=1由于ωk=uk1.2柯西收敛判据定义：复数级数收敛的充分必要条件是：对于任一给定的小正数ε必有N存在，使得n>N满足：|1.3复函数级数收敛：如果在某个区域B（或某根曲线L）上所有的点级数都收敛，就叫做在B上或L上收敛。1.4绝对收敛：定义：如果|k=1性质：绝对收敛的复数项级数必是收敛绝对收敛级数各项先后次序可以改变，但和并不因此改变。1.5一致收敛：定义：在B（或L）上各点z，对于任一给定的小正数ε，必有N(z)存在，使得n>N(z)时|k=n+1n+pωk|<性质：连续性、可积性、解析性。1.6绝对且一致收敛如果对于某个区域B（或曲线L）上所有各点z，复变项级数的各项的模|ωk(z）|≤mk，而正的常数项级数k=1∞ωk收敛，则复变项级数在2幂级数2.1幂级数定义k=1其中z0、a0、a1、a2.2幂级数的相关概念收敛园：以z0为圆心作一个半径为R的圆周cg，幂级数在圆的内部绝对收敛，在圆外发散，这个圆因而收敛半径：R2.3幂级数收敛判据比值判别法limk=∞ak+1(z-z0)k+1根值判别法limk=∞k|ak|(z-z03泰勒级数展开3,1定理设f(z)在以z0为圆心的圆cg内解析，则对园内的任意z点f3.2求复杂函数展开方法e11sincos4洛朗展开4.1定理设f(z)在环形区域R0<|z-z0|<R1的内部单值解析，则对环形区域上任一一点z，f(z)课站来为幂级数，即4.2性质（1）z0不一定为f(z)（2）ak≠f(z)kk!:如果为奇点，则f(z0（3）z0为孤立奇点，即0<|z-z5泰勒与洛朗展开的联系与区别5.1联系都为单值的解析函数展开式均以z05.2区别z0是泰勒展开的f(z)的姐系点，但是洛朗中泰勒站看的区域为圆形|z-z0|>R洛朗中可以有也可以没有负幂次项，泰勒中没有。6孤立奇点的分类6.1可去奇点定义：洛朗展开中没有负幂次项。性质：lim6.2极点定义：洛朗展开中有有限多个负幂次项。性质：limz→z6.3本性奇点定义：洛朗展开中有无限多个负幂次项性质：limz→z7解析延拓实质：是解析函数定义域的扩大性质：唯一性第四章留数定理1定义：洛朗级数(z-z0)-1项系数a-1叫做函数f(z)在z0且L2留数定理设函数f(z)在回路积分L所围区域B上除有限个孤立奇点b1、b2、⋯外解析，在闭区域B上除b1、b23计算留数3.1可去奇点Resf(z03.2本性奇点没有简便方法，只能展开3.3极点（1）单极点limlim(2)m级极点Resf4应用留数积分类型一被积函数是三角函数的有理式，则0类型二F(x)是有理分式φ（x）ϑ（x）-∞类型三F（x）为偶函数，当x在上班平面或实轴上→∞时，f（x）也一致地→∞-∞第五章傅里叶级数1傅里叶级数的表达形式普通形式：faab奇、偶形式：fx=n=1∞bfx=n=1复数形式：fc2傅里叶积分与变换2.1傅里叶变换定义：试将非周期函数fx看做是某个周期函数g(x)于周期2L→∞2.2傅里叶积分和变换形式普通形式：fx=0————————————————傅里叶变换————————————————傅里叶变换Bω=f偶函数形式：f复数形式：f2.3傅里叶变换的基本性质导数性质：Ḟ积分定理：Ḟ相似性定理：Ḟ延迟定理：Ḟ位移定理：Ḟ卷积定理：设Ḟf(x)1=F(ω3δ3.1定义δa3.2性质(1)δ(2)设H(x)=-∞x(3)挑选性：-∞(4)如果ϑx=0的实根xk(k=1,2,3⋯3.3δδc数学家介绍傅里叶1简介：让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅立叶（法文：JeanBaptisteJosephFourier,1768年3月21日－1830年5月16日），也译作傅里叶，法国数学家、物理学家。履历：1768年3月21日生于欧塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。9岁父母双亡，被当地教堂收养。12岁由一主教送入地方军事学校读书。17岁（1785）回乡教数学，1794到巴黎，成为高等师范学校的首批学员，次年到巴黎综合工科学校执教。1798年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘书，1801年回国后任伊泽尔省地方长官。1817年当选为科学院院士，1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席。2主要贡献2.1数学方面：主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论均由此创始。其他贡献有：最早使用定积分符号，改进了代数方程符号法则的证法和实根个数的判别法等。傅立叶变换的基本思想首先由傅立叶提出，所以以其名字来命名以示纪念。从现代数学的眼光来看，傅立叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。傅立叶变换属于调和分析的内容。“分析”，就是"条分缕析"。通过对函数的"条分缕析"来达到对复杂函数的深入理解和研究。从哲学上看，"分析主义"和"还原主义"，就是通过对事物内部适当的分析达到增进对其本质理解的目的。比如近代原子论试图把世界上所有物质的本源分析为原子，而原子不过数百种而已，相对物质世界的无限丰富，这种分析和分类无疑为认识事物的各种性质提供了很好的手段。在数学领域，也是这样，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！奇妙的是，现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质,使得它如此的好用和有用，让人不得不感叹造物的神奇：1.傅立叶变换是线性算子，若赋予适当的范数,它还是酉算子；2.傅立叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似；3.正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；4.著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段；5.离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT)).正是由于上述的良好性质,傅立叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。2.2物理方面他是傅立叶定律的创始人，1822年在代表作《热的分析理论》中解决了热在非均匀加热的固体中分布传播问题，成为分析学在物理中应用的最早例证之一，对19世纪的理论物理学的发展产生深远影响。2.3社会历史观这是傅立叶学说的重要内容。他主张研究社会机体的全部程序和序列，研究它的过去、现在和未来。他把经济因素作为划分历史时期的出发点，把生产和生产的性质作为划分历史时期的基本标志，认为迄今为止的社会历史经历了蒙昧时期、宗法时期、野蛮时期和文明时期四个阶段。傅立叶说，社会的各个历史时期都服从于一般的成长规律，人类社会的全部进程和每个阶段都有上升时期和下降时期。每一个社会在走完它的年富力强的历程之后，便会进入老年阶段，代替它的将是一个生气勃勃的新社会。没有纯粹的社会，每个社会都存在旧制度的残余和新制度的萌芽。社会是从低级向高级发展的，社会运动是不断进步的运动。傅立叶的社会历史观中的珍贵的东西是唯物主义因素和辩证观点。但是，他总是宣扬天才创造历史的唯心主义，他把来自“人的本性”的“情欲引力”说成是社会发展的动力。2.4对资本主义的认识他认为资本主义是一种“每个人对全体和全体对每个人的战争”的制度，资本主义的文明就是奴隶制的复活。从资本主义生产的无政府状态中推论出资本主义制度下危机的不可避免性。2.5关于这个社会的主张他不主张废除私有制，幻想通过宣传和教育来建立一种以“法郎吉”为其基层组织的社会主义社会。他已有关于消灭脑力劳动和体力劳动的对立以及城市和乡村的对立的思想萌芽。还首次提出妇女解放的程度是人民是否彻底解放的准绳。在教育上，主张对儿童从小实施劳动教育和科学教育。2.6心中的理想社会傅立叶为自己的理想社会设计了一种叫做“法朗吉”的“和谐制度”，是一种工农结合的社会基层组织。”“法朗吉”通常由大约一千六百人组成。在“法朗吉”内，人人劳动，男女平等，免费教育，工农结合，没有城乡差别、脑力劳动和体力劳动的差别。他还为“法朗吉”绘制了一套建筑蓝图。建筑物叫“法伦斯泰尔”，中心区是食堂、商场、俱乐部、图书馆等。建筑中心的一侧是工厂区，另一侧是生活住宅区。“法朗吉”是招股建设的。收入按劳动、资本和才能分配。傅立叶幻想通过这种社会组织形式和分配方案来调和资本与劳动的矛盾，从而达到人人幸福的社会和谐。2.7对婚姻的认识家庭不再是社会的经济细胞，男女自由婚姻临时结合。他第一个表述了这样的思想：在任何社会中，妇女解放的程度是衡量普遍解放的天然尺度。柯西1简介柯西1789年8月2l日出生生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。柯西在幼年时，他的父亲常带领他到法国参议院内的办公室，并且在那里指导他进行学习，因此他有机会遇到参议员拉普拉斯和拉格朗日两位大数学家。他们对他的才能十分常识；拉格朗日认为他将来必定会成为大数学家，但建议他的父亲在他学好文科前不要学数学。柯西于1802年入中学。在中学时，他的拉丁文和希腊文取得优异成绩，多次参加竞赛获奖；数学成绩也深受老师赞扬。他于1805年考入综合工科学校，在那里主要学习数学和力学；1807年考入桥梁公路学校，1810年以优异成绩毕业，前往瑟堡参加海港建设工程。柯西去瑟堡时携带了拉格朗日的解析函数论和拉普拉斯的天体力学，后来还陆续收到从巴黎寄出或从当地借得的一些数学书。他在业余时间悉心攻读有关数学各分支方面的书籍，从数论直到天文学方面。根据拉格朗日的建议，他进行了多面体的研究，并于1811及1812年向科学院提交了两篇论文，其中主要成果是：(1)证明了凸正多面体只有五种(面数分别是4，6，8，l2，20)，星形正多面体只有四种(面数是l2的三种，面数是20的一种)。(2)得到了欧拉关于多面体的顶点、面和棱的个数关系式的另一证明并加以推广。(3)证明了各面固定的多面体必然是固定的，从此可导出从未证明过的欧几里得的一个定理。这两篇论文在数学界造成了极大的影响。柯西在瑟堡由于工作劳累生病，于1812年回到巴黎他的父母家中休养。柯西于18l3年在巴黎被任命为运河工程的工程师，他在巴黎休养和担任工程师期间，继续潜心研究数学并且参加学术活动。这一时期他的主要贡献是：(1)研究代换理论，发表了代换理论和群论在历史上的基本论文。(2)证明了费马关于多角形数的猜测，即任何正整数是个角形数的和。这一猜测当时已提出了一百多年，经过许多数学家研究，都没有能够解决。以上两项研究是柯西在瑟堡时开始进行的。(3)用复变函数的积分计算实积分，这是复变函数论中柯西积分定理的出发点。(4)研究液体表面波的传播问题，得到流体力学中的一些经典结果，于1815年得法国科学院数学大奖。以上突出成果的发表给柯西带来了很高的声誉，他成为当时一位国际上著名的青年数学家。1815年法国拿破仑失败，波旁王朝复辟，路易十八当上了法王。柯西于1816年先后被任命为法国科学院院士和综合工科学校教授。1821年又被任命为巴黎大学力学教授，还曾在法兰西学院授课。这一时期他的主要贡献是：(1)在综合工科学校讲授分析课程，建立了微积分的基础极限理论，还阐明了极限理论。在此以前，微积分和级数的概念是模糊不清的。由于柯西的讲法与传统方式不同，当时学校师生对他提出了许多非议。柯西在这一时期出版的著作有《代数分析教程》、《无穷小分析教程概要》和《微积分在几何中应用教程》。这些工作为微积分奠定了基础，促进了数学的发展，成为数学教程的典范。(2)柯西在担任巴黎大学力学教授后，重新研究连续介质力学。在1822年的一篇论文中，他建立了弹性理论的基础。(3)继续研究复平面上的积分及留数计算，并应用有关结果研究数学物理中的偏微分方程等。他的大量论文分别在法国科学院论文集和他自己编写的期刊“数学习题”上发表。1830年法国爆发了推翻波旁王朝的革命，法王查理第十仓皇逃走，奥尔良公爵路易·菲力浦继任法王。当时规定在法国担任公职必须宣誓对新法王效忠，由于柯西属于拥护波旁王朝的正统派，他拒绝宣誓效忠，并自行离开法国。他先到瑞士，后于1832～1833年任意大利都灵大学数学物理教授，并参加当地科学院的学术活动。那时他研究了复变函数的级数展开和微分方程(强级数法)，并为此作出重要贡献。1833～1838年柯西先在布拉格、后在戈尔兹担任波旁王朝“王储”波尔多公爵的教师，最后被授予“男爵”封号。在此期间，他的研究工作进行得较少。1838年柯西回到巴黎。由于他没有宣誓对法王效忠，只能参加科学院的学术活动，不能担任教学工作。他在创办不久的法国科学院报告“和他自己编写的期刊分析及数学物理习题”上发表了关于复变函数、天体力学、弹性力学等方面的大批重要论文。1848年法国又爆发了革命，路易·菲力浦倒台，重新建立了共和国，废除了公职人员对法王效忠的宣誓。柯西于1848年担任了巴黎大学数理天文学教授，重新进行他在法国高等学校中断了18年的教学工作。1852年拿破仑第三发动政变，法国从共和国变成了帝国，恢复了公职人员对新政权的效忠宣誓，柯西立即向巴黎大学辞职。后来拿破仑第三特准免除他和物理学家阿拉果的忠诚宣誓。于是柯西得以继续进行所担任的教学工作，直到1857年他在巴黎近郊逝世时为止。柯西直到逝世前仍不断参加学术活动，不断发表科学论文。柯西是一位多产的数学家，他的全集从1882年开始出版到1974年才出齐最后一卷，总计28卷。他的主要贡献如下；(一)单复变函数柯西最重要和最有首创性的工作是关于单复变函数论的。18世纪的数学家们采用过上、下限是虚数的定积分。但没有给出明确的定义。柯西首先阐明了有关概念，并且用这种积分来研究多种多样的问题，如实定积分的计算，级数与无穷乘积的展开，用含参变量的积分表示微分方程的解等等。(二)分析基础柯西在综合工科学校所授分析课程及有关教材给数学界造成了极大的影响。自从牛顿和莱布尼茨发明微积分(即无穷小分析，简称分析)以来，这门学科的理论基础是模糊的。为了进一步发展，必须建立严格的理论。柯西为此首先成功地建立了极限论。在柯西的著作中，没有通行的语言，他的说法看来也不够确切，从而有时也有错误，例如由于没有建立一致连续和一致收敛概念而产生的错误。可是关于微积分的原理，他的概念主要是正确的，其清晰程度是前所未有的。例如他关于连续函数及其积分的定义是确切的，他首先准确地证明了泰勒公式，他给出了级数收敛的定义和一些判别法。(三)常微分方程柯西在分析方面最深刻的贡献在常微分方程领域。他首先证明了方程解的存在和唯一性。在他以前，没有人提出过这种问题。通常认为是柯西提出的三种主要方法，即柯西—利普希茨法，逐渐逼近法和强级数法，实际上以前也散见到用于解的近似计算和估计。柯西的最大贡献就是看到通过计算强级数，可以证明逼近步骤收敛，其极限就是方程的所求解。(四)其他贡献虽然柯西主要研究分析，但在数学中各领域都有贡献。关于用到数学的其他学科，他在天文和光学方面的成果是次要的，可是他却是数理弹性理论的奠基人之一。除以上所述外，他在数学中其他贡献如下：1．分析方面：在一阶偏微分方程论中行进丁特征线的基本概念；认识到傅立叶变换在解微分方程中的作用等等。2．几何方面：开创了积分几何，得到了把平面凸曲线的长用它在平面直线上一些正交投影表示出来的公式。3．代数方面：首先证明了阶数超过了的矩阵有特征值；与比内同时发现两行列式相乘的公式，首先明确提出置换群概念，并得到群论中的一些非平凡的结果；独立发现了所谓“代数要领”，即格拉斯曼的外代数原理。黎曼德国数学家，物理学家。1826年9月17日生于汉诺威布列斯伦茨，1866年7月20日卒于意大利塞那斯加。1846年入格丁根大学读神学与哲学，后来转学数学，在大学期间有两年去柏林大学就读，受到C.G.J.雅可比和P.G.L.狄利克雷的影响。1849年回格丁根。1851年获博士学位。1854年成为格丁根大学的讲师，1859年接替狄利克雷成为教授。1851年论证了复变函数可导的必要充分条件（即柯西-黎曼方程）。借助狄利克雷原理阐述了黎曼映射定理，成为函数的几何理论的基础。1853年定义了黎曼积分并研究了三角级数收敛的准则。1854年发扬了高斯关于曲面的微分几何研究，提出用流形的概念理解空间的实质，用微分弧长度的平方所确定的正定二次型理解度量，建立了黎曼空间的概念，把欧氏几何、非欧几何包进了他的体系之中。1857年发表的关于阿贝尔函数的研究论文，引出黎曼曲面的概念，将阿贝尔积分与阿贝尔函数的理论带到新的转折点并做系统的研究。其中对黎曼曲面从拓扑、分析、代数几何各角度作了深入研究。创造了一系列对代数拓扑发展影响深远的概念，阐明了后来为G.罗赫所补足的黎曼-罗赫定理。在1858年发表的关于素数分布的论文中，研究了黎曼ζ函数，给出了ζ函数的积分表示与它满足的函数方程，他提出著名的黎曼猜想至今仍未解决。另外，他对偏微分方程及其在物理学中的应用有重大贡献。甚至对物理学本身，如对热学、电磁非超距作用和激波理论等也作出重要贡献。黎曼的工作直接影响了19世纪后半期的数学发展，许多杰出的数学家重新论证黎曼断言过的定理，在黎曼思想的影响下数学许多分支取得了辉煌成就。黎曼首先提出用复变函数论特别是用ζ函数研究数论的新思想和新方法，开创了解析数论的新时期，并对单复变函数论的发展有深刻的影响。1826年，他出生于汉诺威王国（今德国）的小镇布列斯伦茨（Breselenz）。他的父亲弗雷德里希·波恩哈德·黎曼是当地的路德会牧师。他在六个孩子中排行第二。1840年，黎曼搬到汉诺威和祖母生活并进入中学学习。1842年祖母去世后，他搬到吕内堡（Lüneburg）的约翰纽姆（Johanneum）。1846年，按照父亲的意愿，黎曼进入哥廷根大学学习哲学和神学。在此期间他去听了一些数学讲座，包括高斯关于最小二乘法的讲座。在得到父亲的允许后，他改学数学。1847年春，黎曼转到柏林大学，投入雅戈比、狄利克雷和Steiner门下。两年后他回到哥廷根。1854年他初次登台作了题为“论作为几何基础的假设”的演讲，开创了黎曼几何，并为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。他在1857年升为哥廷根大学的编外教授，并在1859年狄利克雷去世后成为正教授。1862年，他与爱丽丝·科赫（EliseKoch）结婚。1866年，他在第三次去意大利的的途中因肺结核在塞拉斯卡（Selasca）去世。黎曼(G.F.B.Riemann、1826.9.17一1866.7.20)是德国数学家，生于德国北部汉诺威的布雷塞伦茨村，父亲是一个乡村的穷苦牧师。他6岁开始上学，14岁进入大学预科学习，19岁按其父亲的意愿进入哥丁根大学攻读哲学和神学，以便将来继承父志也当一名牧师。由于从小酷爱数学，他在学习哲学和神学的同时，也听些数学课。当时的哥丁根大学是世界数学的中心之一。—些著名的数学家，如高斯(C.F.Guass)、韦伯(H.Wcbcr)、斯持尔(Sten)在校执教，黎曼被这里的数学教学和数学研究的气氛所感染，决定放弃神学，专攻数学。1847年他转到柏林大学学习，成为雅可比(C.G.J.Jacobi)、狄利克雷(P.G.L.Dirichlet)、施泰纳(J.Steiner)、艾森斯坦(F.G.M.E1Senstein)的学生。1849年重回哥丁很大学攻读博士学位。成为高斯晚年的学生。l851年获数学博士学位。l854年被聘为哥丁根大学的编外讲师。1857年晋升为副教授，1859年接替去世的狄利克雷被聘为教授。因长年贫困、劳累，1862年婚后不到一个月患胸膜炎和肺结核，先后三次到意大利治病、疗养。1366年病逝于意大利、终年39岁。黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家之一，在其短暂的一生中为数学的众多领域作了许多奠基性、创造性的工作，为世界数学建立了丰功伟绩。(一)复函数论的奠基人l9世纪数学最独特的创造是复函数理论的创立。它是18世纪人们对复数及复函数理论研究的延续。1850年以前柯西(A.L.Cauchy)、雅可比、高斯、阿贝尔(N.H.Abcl)、外尔斯特拉斯(K.T.W.Weierstrass)已对单值解析函数的理论进行了系统的研究，而对于多值函数仅柯西和皮瑟(V.Puiseux)有些孤立的结论。1851年黎曼在高斯指导下完成的题为“单复变函数的一般理论的基础”的博士论文，以及后来在《数学杂志》上发表的四篇重要文章对其博士论文中思想的进一步阐述，一方面总结前人关于单值解析函数的成果，并用新的工具予以处理，同时创立多值解析函数的理论基础。并由此为几个不同方向的进展铺平了道路。柯西、黎曼和外尔斯特拉斯是世人公认的复函数论的主要奠基人，而且后来证明在处理复函数理论的方法上黎曼的方法是本质的，柯西和黎曼的思想被融合起来，外尔斯特拉斯的思想逐渐从柯西一黎曼观点推导出来。在黎曼对多值函数的处理个，最关键的是他引入了被后人称“黎曼面”的概念。通过黎曼面给多值函数以几何直观，且在黎曼面上表示的多值函数是单值的。他在黎曼面上引入支点、横剖线、定义连通性，开展对函数性质的研究获得一系列成果。经黎曼处理的复函数，单值函数是多值函数的待例，他把单值函数的一些已知结论推广到多值函数中。尤其他按连通性对函数分类的方法，极大地推动了拓扑学的初期发展。他研究了阿贝尔函数和阿贝尔积分及阿贝尔积分的反演，得到著名的黎曼一罗赫(G.Roch)定理，首创的双有理变换构成19世纪后期发展起来的代数几何的主要内容。黎曼为完善其博士论文，在结束时给出其函数论在保形映射的几个应用。将高斯在1825年关于平面到平面的保形映射的结论推广到任意黎曼面上，并在文字的结尾给出著名的黎曼映射定理。(二)黎曼几何的创始人黎曼对数学最重要的贡献还在于几何方面，他开创的高维抽象几何的研究，处理几何问题的方法和手段是几何史上一场深刻的革命，他建立了一种全新的后来以其名字命名的几何体系，对现代几何，乃至数学和科学各分支的发展产生巨大的影响。1854年，黎曼为取得哥丁根大学编外讲师的资格，对全体教员作了一次演讲，该演讲在其逝世后的两年(1868年)以《关于作为几何学基础的假设》为题出版。演讲中，他对所有已知的几何，包括刚刚诞生的非欧几何之一的双曲几何作了纵贯古今的概要，并提出一种新的几何体系，后人称为黎曼几何。为竞争巴黎科学院的奖金，黎曼在1861年写了一篇关于热传导的文章，这篇文章后来称为他的“巴黎之作”。文中对他1854年的文章作了技术性的加工，进一步阐明其几何思想。该文在他死后收集在1876年他的《文集》中。黎曼研究几何空间的局部性质，采用的是微分几何的途径，这同在欧几里得几何中或者在高斯、波尔约(J.Bolyai)和罗巴切夫斯基的非欧几何中把空间作为一个整体进行考虑是对立的。黎曼摆脱高斯等前人把几何对象局限在三维欧几里得空间的曲线和曲面的束缚。考虑n维从而是一般的抽象几何空间。他引入流形和微分流形的概念。把n维空间称为一个流形，n维流形中的一个点，可以用n个可变参数的一组特定值来表示，而所有这些点的全体构成流形本身，这n个可变参数称为流形的坐标，而且是可微分的。他仿照传统的微分几何定义流形上两点之间的距离、流形上的曲线、曲线之间的夹角，推出测地线方程。黎曼以以上概念为基础，展开对n维流形几何性质的研究。在n维流形上他也定义类似于高斯在研究一般曲面时刻划曲面弯曲程度的曲率。他证明他在n维流形上获得的结论的特例是当n＝3时欧几里得空间的情形与高斯等人得到的结果是一致的。因而黎曼几何是传统微分几何的推广。他发展了高斯关于一张曲面本身就是一个空间的几何思想，开展对n维流形的内蕴性质的研究。黎曼的研究导致另一种非欧几何一椭圆几何学的诞生。在他看来，有三种不同的几何学。它们的差别在于通过给定一点关于定直线所作平行线的条数。如果只能作一条平行线，即为熟知的欧几里得几何学；如果一条都不能作，则为椭圆几何学；如果存在一束平行线，就得到第三种几何学(即罗巴切夫斯基几何学)。因而黎曼继高斯、波尔约和罗巴切夫斯基以后发展了空间的理论，使得一千多年来关于欧几里得平行公理的讨论宣告结束。他断言，客观空间是一种特殊的流形，预见具有某种特定性质的流形的存在性。这些逐渐被后人一一予以证实。由于黎曼考虑的对象是任意维数的几何空间，对复杂的客观空间有更深层的实用价值。在高维几何中，由于多变量微分的复杂性，黎曼采取一些异于前人的手段使表述更简洁，导致张量，外微分及联络等现代几何工具的诞生。爱因斯坦(A.Einstcin)成功地以黎曼几何为工具将广义相对论几何化，黎曼几何已成为现代理论物理必备的数学基础。(三)微积分理论的创造性贡献黎曼除对几何和复函数方面的开拓性工作以外，还以其对l9世纪初兴起的完善微积分理论的杰出贡献载入史册。18世纪末到l9世纪初，数学界开始关心数学最庞大的分支一微积分在概念和证明中的不严密性。波尔查诺(B.Bolzano)、柯西、阿贝尔、狄利克雷进而外尔斯特拉斯以全力投入到分析的严密化工作中。黎曼由于在柏林大学从师狄利克雷研究数学，且对柯西和阿贝尔的工作有深入的了解，因而对微积分理论有其独到的见解。1854年黎曼为取得哥丁根大学编外讲师的资格，当面要他递交一篇反映他学术水平的论文。他交出的是“关于利用三角级数表示一个函数的可能性的”文章。这是一篇内容丰富、思想深刻的杰作，对完善分析理论产生深远的影响。柯西曾证明连续函数必定是可积的。黎曼指出可积函数不一定是连续的。关于连续与可微性的关系上，柯西和他那个时代的几乎所有的数学家都相信，而且在后来50年中许多教科书都“证明”连续函数一定是可微的。黎曼给出了一个连续而不可微的著名反例，最终讲清连续与可微的关系。他建立了如现在微积分教科书所讲的黎曼积分的概念，给出了这种积分存在的必要充分条件。他用自己独特的方法研究傅立叶(J.B.J.FoMrier)级数，推广了保证博里叶展开式成立的狄利克雷条件即关于三角级数收敛的黎曼条件，得出关于三角级数收敛、可积的一系列定理。他还证明：可以把任一条件收敛的级数的项适当重排，使新级数收敛于任何指定的和或者发散为无穷大或负无穷大。(四)解析数论跨世纪的成果l9世纪数论中的一个重要发展是由狄利克雷开创的解析方法和解析成果的导入。黎曼百创用复解析函数研究数论问题的先例，取得跨世纪的成果。1859年，黎曼发表了“在给定大小之下的素数个数”的论文。这是一篇不到l0页的内容极其深到的论文。他将素数的分布的问题归结为函数的问题，现在称为黎曼函数。黎曼证明了函数的一些重要性质，并简要地断言了其它的性质而未予证明。在他死后的一百多年中，世界上许多最优秀的数学家，尽了最大的努力想证明他的这些断言，并在作出这些努力的过程中为分析创立了新的内容丰富的新分支，如今，除了他的一个断言外，其余都按黎曼所期望的那样得到了解决。那个未解决的问题现称为“黎曼猜想”。数论中很多问题的解决有赖于这个猜想的解决。黎曼的这一工作既是对解析数沦理论的贡献，也极大地丰富了复函数论的内容。(五)组合拓扑的开拓者在黎曼博士论文发表以前，已有一些组合拓扑的零散结果，其中著名的如欧拉(L.Kuler)关于闭凸多面体的项点、棱、面数关系的欧拉定理。还有一些看起来简单又长期得不到解决的问题：如哥尼斯堡七桥问题、四色问题，促使人们对组合拓扑学当时被人们称为位置几何学或位置分析学的研究。但拓扑研究的最大推动力来自黎曼的复变函数论的工作。黎曼在1851年他的博士论文中以及在他的阿贝尔函数的研究里，都强调说，要研究函数，就不可避免地需要位置分析学的一些定理。他利用横剖线降低连通性的阶。他按连通性把曲面分类。按现代拓扑学术语来说，黎曼审实上已经对闭曲面按亏格分类，如果曲面是亏格P的，把它剪成单连通的曲面所需要的纽形剖线的个数就是2P，并用2P+1条就能把这曲面剪成两片。他指出：如果两个(能定向的)闭黎曼面拓扑等价，它们就有相同的亏格，所有亏格零的闭的(代数的)曲面。即闭连通的曲面，都拓扑(保角地并且双有理地)等价，每—个都能拓扑地映射成球面。他关于黎曼面及阿贝尔积分的分类是组合拓扑学的早期最精彩的一页，有的学者认为他在复分析中的几何方法是拓扑学的真正开始。值得提到的是，在其学位论文中，他说到某些函数的全体组成(空间点的)连通闭区域是最早的泛函思想。比萨大学的数学教授贝蒂(E.Belti，1823.10.21一1892.8.11)曾在意大利与黎曼相会，黎曼由于病魔缠身,自身已无能力继续发展其思想，把方法传授给了贝蒂。贝蒂把黎曼面的拓扑分类推广到高维图形的连通性，并在拓扑学的其他领域作出杰出的贡献。黎曼是当之无愧的组合拓扑的先期开拓者。(六)代数几何的开源贡献19世纪后半叶，人们对黎曼研究阿贝尔积分和阿贝尔函数所创造的双有理变换的方法产生极大的兴趣。当时他们把代数不变量和双有理变换的研究称为代数几何，而后20世纪代数几何指的是后者。黎曼在1857年的论文个认为所有能彼此双有理变换的方程(或曲面)属于同一类，它们有相同的亏格P。然而，不同的类别可具有相同的P值(因为歧点可以不同)亏格为P的最普遍的类。当P>0时，用3P－3个(复数)常数(方程中的系数)去刻划；当P＝l时，用一个常数刻划；当P＝0时，用零个常数去刻划。在椭圆函数的情况下，P＝1，于是有一个常量。对于三角函数P＝0，故没有任何常量。黎曼把常量的个数叫做“类模数”，常量在双有理变换下是不变量。“类模数”的概念是现在“参模”的特殊情况。研究参模上的结构是现代最热门的领域之一。著名的代数几何学家克莱布