排列-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修三

6.2.1排列

在上节例题的解答中我们看到，用分步乘法计数原理解决这些问题时，因做了一些重复性工作而显得繁琐，能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢？问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？分析：要完成的一件事是______________________________________________________________，_____________________________,可以_______完成．选出2名同学参加活动另1名同学参加下午的活动分2步1名同学参加上午的活动第1步,确定参加上午活动的同学,从3人中任选1人,有3种选法；第2

步,确定参加下午活动的同学,当参加上午活动的同学确定后,参加下午活动的同学只能从剩下的2

人中去选,有2种选法．根据分步乘法计数原理

，不同的选法种数为3×2=6

.

如果把上面问题中被取出的对象叫做元素,于是问题就可叙述为：

~~~~与位置有关

参加活动的顺序，即参加上午的活动在前,参加下午的活动在后.说一说：问题1中的“顺序”是什么？问题2

从1,2,3,4这4个数字中,每次取出

3

个排成一个三位数,共可得到多少个不同的三位数？~~~~数字不重复“从4个非0的不同数字钟选出3个排成一个三位数”

要完成的一件事是____________________________________________，可以_______完成.分析：分3步

从4个数字中,每次取出3个,按“百位、十位

、个位”的顺序排成一列,就得到一个三位数.因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数．可以分三个步骤来解决这个问题：第1步,确定百位上的数字,从1,2,3,4这4个数字中任取1个,有4种方法；第2步,确定十位上的数字,当百位上的数字确定后,十位上的数字只能从余下的3个数字中去取,有3种方法；第3步,确定个位上的数字,当百位、十位上的数字确定后,个位的数字只能从余下的2个数字中去取,有2种方法．

123124132134142143213214231234241243312314321324341342412413421423431432由此可写出所有的三位数:

~~~~~~~~~~所有不同的排列是：

不同的排列方法种数为：4×3×2=24百位在前，十位居中，个位在后说一说：问题2中的“顺序”是什么？思考上述问题1，2的共同特点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？共同特点：

都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序排

成一列的方法数.

问题1问题2

(1)元素不能重复.(3)两个排列相同的充要条件是：

①元素完全相同；②元素的排列顺序也相同．注意(2)“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断是否是排列问题的关键.

例1某省中学生足球赛预选赛每组有

6

支队,每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？分析

：每组任意2

支队之间进行的1

场比赛，可以看作是从该组

6

支队中选取2

支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列．~~~~~~~~~~顺序解

：可以先从这6

支队中选1支为主队

，然后从剩下的5支队中选1支为客队．按分步乘法计数原理

，每组进行的比赛场数为6×5=30.例2(1)一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？(2)学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？分析：3名同学每人从5盘不同菜中取1盘菜，可看作从5盘菜中任取3盘放在3个位置(给3名同学)的一个排列；而3名同学每人从食堂窗口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看成一个排列.三人取出的菜各不相同取出的菜可能相同也可能不同解：(1)可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙.按分步乘法计数原理，不同的取法种数为：5×4×3=60.(2)可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从从5种菜中选1种，有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1种，有5种选法.按分步乘法计数原理，不同的取法种数为：

5×5×5=125.1.(多选)下列问题是排列问题的是（

）A.北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格B.选2个小组分别去植树和种菜C.选10人组成一个学习小组D.选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员BD排列问题的判断标准：(1)元素无重复性(2)元素有序性

解：(1)101213142021232430313234

40414243共16个.

3.一位老师要给４个班轮流做讲座，每个班讲１场，有多少种轮流次序？解：可以先从这4个班级中选1个班做第一场讲座，

然后在从剩下的3个班级中选1个班做第二场讲座，

再从剩下的2个班级中选1个班做第三场讲座队，

最后剩下的1个班做第四场讲座.

按分步乘法计数原理，讲座的轮流次序种数为

4×3×2×1＝24(种)1．沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备不同的火车票的种数为（

）A.15 B.30C.12 D.36B2.四张卡片上分别标有数字“2”“0”“2”“5”，则由这四张卡片可组成的不同的四位数的个数为()A.6B.9 C.12 D.24B3.有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，共有多少种分配方案？解：可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大学生安排进4家单位，共有5×4×3×2＝120种分配方案.4.学校乒乓团体比赛采用5场3胜制（5场单打），每支球队派3名运动员参赛，前3场比赛每名运动员各出场1次，其中第1,2位出场的运动员在后2场比赛中还将各出场1次．

（1）从5名运动员中选3名参加比赛，前3场比赛有几种出场情况？（2）甲、乙、丙3名运动员参加比赛，写出所有可能的出场情况．解：(1)可以先从这5名运动员中取1名参加第一场比赛，然后从剩下的4名运动员中选1名参加第二场比赛，最后从剩下的3名运动员中取1名参加第三场比赛.按分步乘法计数原理，不同的取法种数为5×4×3＝60.③五场中前四场赢两场，最后一场赢，有甲乙丙甲乙、甲乙丙乙甲、甲丙乙甲丙、甲丙乙丙甲、乙甲丙乙甲、乙甲丙甲乙、乙丙甲乙丙、乙丙甲丙乙、丙甲乙丙甲、丙甲乙甲丙、丙乙甲丙乙、丙乙甲乙丙12种情况；(2)分三种情况：①五场中前三场赢，有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲6种情况；②五场中前三场赢两场，第四场赢，有：甲乙丙甲、甲乙丙乙