2026年高考数学二轮复习模块八 概率与统计（天津）（解析版）

模块八概率与统计（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由散点图知，相关系数对应的散点图呈负相关，且线性相关性比较强.故选：B.2．下列结论中错误的是（

）A．在回归模型中，决定系数越大，则回归拟合的效果越好B．样本数据，，，的方差为8，则数据，，，的方差为2C．若随机变量服从正态分布，且，则D．具有线性相关关系的变量，，其经验回归方程为，若样本点中心为，则【答案】C【详解】对于A选项，决定系数越大，回归模型的拟合效果越好，故A正确；对于B选项，样本数据，，，的方差为8，则数据，，，的方差为，故B正确；对于C选项，随机变量服从正态分布，均值，正态曲线的对称轴为，，，由对称性知，，，故C错误；对于D选项，经验回归方程过样本中心点，将代入中得，，解得，故D正确.故选：C3．下列说法正确的是（

）A．一组数据1，1，2，3，5，8，13，21的第60百分位数为4B．设且，则C．在回归分析模型中，若决定系数越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越差D．两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近于1【答案】C【详解】对于A，因为，所以数据的第60百分位数为5，故A错误；对于B，因为且，则，所以，故B错误；对于C，在回归分析模型中，若决定系数越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越差，故C正确．对于D，两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数的绝对值越接近于1，故D错误；故选：C4．下列说法正确的有（

）①数据2，3，5，7，11，13的第75百分位数为11，中位数为6；②一组数据的标准差为0，则这组数据中的数值均相等；③若随机变量，满足，则，；④一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，现将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，女医生去同一个医院，共有36种分配方式.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】①：由，得第75百分位数为第5个数，即11，中位数为，故①正确．②：根据标准差定义，一组数据的标准差时，显然有，故②正确．③：若随机变量，满足，则，，故③错误；④：一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，男医生人，女医生人，现将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，且女医生去同一个医院，三个医院人数可以为，共有种分配方式；三个医院人数可以为，共有种分配方式；综上，共有种分配方式，故④正确；故选：C5．某产品的研发费用x万元与销售利润y万元的统计数据如表所示，研发费用x(万元)4235利润y(万元)492639m根据上表可得回归方程.中的.据此模型预计研发费用为6万元时，利润为65.5，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由题意：.所以.又由已知数据，，.又经过，所以.所以，.故选：C6．已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：）数据为：9.8，10.0，10.0，10.0，10.2，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则下列结论中正确的是（

）A．甲种的样本极差大于乙种的样本极差B．甲种的样本平均数小于乙种的样本平均数C．甲种的样本方差大于乙种的样本方差D．甲种的样本第60百分位数小于乙种的样本第60百分位数【答案】D【详解】对于A，甲种的样本极差为，乙种的样本极差为，所以甲种的样本极差小于乙种的样本极差，故A错误；对于B，，，所以甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数，故B错误；对于C，因为甲种的样本平均数与乙种的样本平均数均为10，甲种的样本方差为，，所以甲种的样本方差小于乙种的样本方差，故C错误；对于D，因为，故甲种的样本第60百分位数为，乙种的样本第60百分位数为，所以甲种的样本第60百分位数小于乙种的样本第60百分位数，故D正确.故选：D7．下列说法中，错误的有（

）①回归直线恒过点，且至少过一个样本点；②根据列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系，即有1%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；③在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好；④某项测量结果服从正态分布，若，则A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【详解】对于①，回归直线恒过点，不一定过样本点，故①错误；对于②，根据列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系，即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误，故②正确；对于③，在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好，故③正确；对于④，某项测量结果服从正态分布，若，则，故④正确.可得四个命题中，错误的有1个，故A正确.故选：A8．近年来，我国云计算市场规模持续增长．某科技公司云计算市场规模与年份代码的关系可以用模型拟合，设，2018年至2022年的数据统计如表所示：年份2018年2019年2020年2021年2022年年份代码12345云计算市场规模720712005100.851.31.852.32.7若根据上表得到经验回归方程，则该科技公司2025年云计算市场规模约为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题表知，，，将，代入回归方程，可得，即，所以z关于x的回归方程为，2025年时即当时，，此时．故选：B．9．为了抒写乡村发展故事，展望乡村振兴图景，演出民众身边日常，唱出百姓幸福心声，某地组织了“美丽乡村”节目表演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，若要求歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，则节目的排列顺序种数为（

）A．120 B．360 C．180 D．90【答案】A【详解】因为歌曲和戏曲节目相邻，所以先用捆绑法视为同一个元素，共种排列顺序；歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，可视作两个元素顺序固定，其余三个元素补全5个空位，共种排列顺序，所以满足题意的排列顺序种数为，故选：A．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分10．求的展开式的常数项为．【答案】【详解】由，二项展开式的通项为，令，解得，故二项展开式的常数项为.故答案为：11．将一次考试所有学生的成绩，制成的频率分布直方图如图所示，第一组成绩在，第二组成绩在，第三组成绩在，第四组成绩在，第五组成绩在，估计本次考试成绩的众数为；若本次考试共20人参加，现计划从分数低于70分的同学中随机抽取2人谈心，求2人分数都在的概率为.【答案】分；【详解】由频率分布直方图，得，因此；由频率分布直方图可知众数为分.低于70分的同学的频率为，则低于70分的同学应抽取人，其中成绩在的人数为人，记这3人为，成绩在的两位同学记为，从5人中任取两人有，共10种取法，其中2人分数都在的取法有3种，所以2人分数都在的概率为.故答案为：分；.12．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，则随机变量X的数学期望为.【答案】【详解】随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，则：，，，.所以随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望.故答案为：.13．举重比赛的规则是：挑战某一个重量，每位选手可以试举三次，若三次均未成功则挑战失败；若有一次举起该重量，则无需再举，视为挑战成功，已知甲选手每次能举起该重量的概率是，且每次试举相互独立，互不影响，设试举的次数为随机变量，则的数学期望；已知甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率是.【答案】/【详解】依题意随机变量的可能取值为、、，则；；，所以随机变量的概率分布为123所以随机变量的期望为.记“第次举起该重量”分别为事件，“甲选手挑战成功”为事件，则，,所以，所以甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率为.故答案为：；14．在下表的统计量中，有一个数值不清晰，用表示．123456.37.48.18.7已知表中数据的经验回归方程同时满足：①过点；②每增加一个单位，增加个单位，则；当时，．【答案】【详解】因为每增加一个单位，增加个单位，即，因为经验回归方程过点，所以，故，则；又，，代入，所以，解得，当时，，故答案为：，．15．某校团委举办《在青春的赛道上，我们都是追光者》主题演讲比赛，经过初赛，共7人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级2人，现采取抽签方式决定演讲顺序，设事件为“高一年级2人不相邻”，事件为“高二年级3人相邻”，则.【答案】/【详解】由题意，先将高二和高三年级的5个人全排列，有种排法，将高一年级2人进行插空，有种排法，所以事件“高一年级2人不相邻”的排法有种排法.将高二年级3人进行全排列，有种排法，再将高二年级3人看作一个整体，和高三年级的2人进行全排列，有种排法，排好后，将高一年级的2人进行插空，有种排法，所以事件共有种排法.所以，.故答案为：.三、解答题：（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（14分）近几年，新能源汽车的更新换代越来越引起人们的关注.某新能源车企想了解年轻司机与中老年司机对新能源车和燃油车的喜好程度，随机抽取了1000名司机，得到的列联表如下：偏好新能源车偏好燃油车总计年轻司机300200500中老年司机200300500总计5005001000(1)若从抽取的年轻司机中任选1人，求此人偏好新能源车的概率；(2)依据的独立性检验，能否认为司机对两种汽车的偏好与年龄有关联？附：，其中.0.010.0050.0016.6357.87910.828【答案】(1)(2)能够认为司机对两种汽车的偏好与年龄有关联.【详解】（1）由题意知年轻司机中，偏好新能源车的有300人，偏好燃油车的有200人，所以从抽取的年轻司机中任选1人，此人偏好新能源车的概率为.（6分）（2）零假设为：司机对两种汽车的偏好与年龄无关，由表中的数据，得依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，所以能够认为司机对两种汽车的偏好与年龄有关联.（14分）17．（15分）巴东一中组织庆五一教职工篮球活动，我们年级有10名教职工参加，其中有6名理科教师、4名文科教师，为活动的需要，要从这10名教师中随机抽取3名教职工去买比赛服装.(1)已知10名教师中有2名班主任，求抽取的3名中至少有1名班主任的概率；(2)设表示抽取的3名教师中文科教师的人数，求的分布列及数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，期望为【详解】（1）由于10名教师中有2名班主任，则10名教师中有8名不是班主任，若抽取的3名中没有班主任，则有种抽法，从10名教师中随机抽取3名教职工的方法有种，故抽取的3名中至少有1名班主任的概率为（7分）（2）的所有可能取值有：0，1，2，3，故的分布列为：0123故期望为：（15分）18．（15分）在某次世界乒乓球锦标赛的团体比赛中，中国队将对阵韩国队．比赛实行5局3胜制，根据以往战绩，中国队在每一局中获胜的概率都是．(1)求中国队以的比分获胜的概率；(2)设事件“韩国队先胜第一局”，设事件“中国队获得最终的胜利”，求；(3)假设全场比赛的局数为随机变量，在韩国队先胜第一局的前提下，求的分布列和数学期望．【答案】(1)(2)(3)分布列见解析，【详解】（1）设中国队以的比分获胜的事件为，则.（3分）（2）在韩国队先胜第一局的前提下，中国队获得最终的胜利有2种情况：①中国队连胜3局，此时的概率为：；②中国队在2到4局中胜2局，再胜第5局，此时概率为：；所以.（9分）（3）由题意知，则，，，所以的分布列为：345则.（15分）19．（15分）司马光曾给自己的儿子写过《训俭示康》，谆谆告诫要崇尚节俭；毛泽东、周恩来等人，身居高位，却一生过着俭朴生活艰难创业.脍炙人口的《悯农》，“锄禾日当午，汗滴禾下土，谁知盘中餐，粒粒皆辛苦.”这一字字、一声声包含了几千年来百姓的血汗和心声.为了传扬勤俭节约的美德，学校将举办一场以《勤俭节约，从我做起》的演讲、朗诵比赛.所有参赛选手中有10名同学接受过主持人专业训练，其中男生4人，女生6人，现从这10人中选出4人作为本次比赛的主持人.(1)求主持人中至少有1名男生的概率；(2)主持人中含有女生的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望.【答案】(1)(2)分布列见详解；【详解】（1）记事件A：主持人中至少有1名男生，则事件：主持人中