2026年高考数学二轮复习模块五 数列（天津）（解析版）

模块五数列（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知为等比数列的前项和，且，则“”是“”的（

）条件.A．充分不必要. B．必要不充分. C．充分必要. D．既不充分也不必要.【答案】B【详解】因为，当时，则，所以，当时，，解得，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.2．设数列的前n项和，若，则（

）A．3059 B．2056 C．1033 D．520【答案】C【详解】由题设，则，所以，则又，则，所以是首项、公比均为的等比数列，则，所以，则.故选：C3．正项等差数列中，，则的最小值为（

）A． B．5 C． D．6【答案】B【详解】正项等差数列中，设公差为，因为，所以，因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时取等号.故选：B4．已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（

）A． B． C．9 D．16【答案】A【详解】设正项等比数列的公比为，由，，成等差数列，可得，即，所以，解得（舍去）或，所以.故选：A5．设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数b的取值范围为（

）.A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可得恒成立，即，即，又，，故.故选：A.6．已知数列的通项公式为，其前n项和为，则数列的前2025项和为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】数列的通项公式为，其前n项和为，所以，则数列的前2025项和为.故选：D.7．在数列中，，，记为数列的前项和，则（

）A．0 B．18 C．10 D．9【答案】C【详解】因为，所以，因为，所以，，，，，，，…，故数列为周期数列，周期为4，所以.故选：C.8．已知数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（

）A．1033 B．2057 C．1034 D．2058【答案】A【详解】由数列是以2为首项，1为公差的等差数列，得，由是以1为首项，2为公比的等比数列，得，因此，所以.故选：A9．数列各项均为实数，对任意满足，定义：行列式且行列式为定值，则下列选项中不可能的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【详解】由题知，，又，所以，是周期为3的周期数列.对于A，若，，则，则或若，则，得，又，由周期性可知，当时，满足，A不满足题意；对于B，若，，则，即，又，消元整理得，即，无实数解，故B满足题意；对于C，若，，则，解得，显然恒成立，C不满足题意；对于D，若，，则，解得，显然此时恒成立，D不满足题意.故选：B第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分10．在甲､乙､丙､丁四人踢毽子游戏中，第一次由甲踢出，并且每次踢出都等可能踢给另外三人中的任何一人，若第二次踢出后恰好踢给丙，则此毽子是由乙踢出的概率为；第次踢出后，毽子恰好踢给乙的概率为.【答案】/【详解】由已知接到前两次踢出的毽子的情况有（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙），共种，设事件：第二次的毽子由丙接到，事件：第二次的毽子由乙踢出，丙接到，则，，则；设第次踢出后，毽子恰好踢给乙的概率为，易知若第次踢出后，毽子恰好踢给乙，则第次踢出后，毽子恰好不踢给乙，再由其踢给乙，即，，且，则，即是以为首项，为公比的等比数列，则，即，故答案为：；.11．在公差大于零的等差数列中，，，成等比数列，若，则.【答案】【详解】设数列的公差为，由，得，且，所以，得，得或（舍），所以.故答案为：12．已知正项等比数列满足：，若存在两项、使得，则的最小值为.【答案】【详解】设等比数列的公比为，由得，解得（舍去），∴，由得，∴，所以，当且仅当，即时等号成立．所以的最小值是．故答案为：．13．已知为等差数列，为其前项和..若．则的值为．【答案】60【详解】设数列的公差为，则，解得，所以．故答案为：60．14．已知数列的前项和为，满足，则数列的通项公式.设，则数列的前项和.【答案】【详解】因为，所以当时，，当时，，符合的情况，所以；因为，当为偶数时，，所以，当为奇数时，，所以，综上可知.故答案为：；.15．函数，若方程有三个根，且是和的等差中项，则a=.【答案】【详解】令，，则方程有三个根即为图象的3个不同交点的横坐标.又，令，则或，解得或.令，则或，解得或即.，而当时，，所以，其图象如图（1）所示：因为图象有3个不同交点，故两个函数图象的位置关系仅如图（2）所示：其中为函数的图象与的图象的交点的横坐标且.为的图象与的图象的交点的横坐标，令，两边平方后得到，解得.令，故.因为是和的等差中项，故，解得或（舍）.当时，，.故符合题意.故答案为：三、解答题：（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（14分）数列的前n项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足：，求数列的通项公式；(3)令，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）因为，所以当时，，当时，又也满足上式，所以.又.（4分）（2）∵①∴②②－①得：，，故．（9分）（3），∴，令，①则②①－②得：，∴∴．∴数列的前项和.（14分）17．已知数列是首项为的等差数列，数列{}是公比不为的等比数列，且满足，，.(1)求数列，{}的通项公式；(2)求；(3)令，记数列的前n项和为，求证：对任意的，都有.【答案】(1)，.(2)(3)证明见解析.【详解】（1）设的公差为，的公比为，则，.由等比数列性质可得，又，，所以，所以，解之得或，当时，，则，，即与矛盾，故舍去；当时，，则，，所以,，满足题意；所以，.（5分）（2）设，，设，则，，两式相减得，所以，即.（10分）（3）证明：，，，因为，易知随着的增大而增大，所以，，所以.（15分）18．（15分）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列.且，(1)求的通项公式；(2)记为的前项和，求证：；(3)若，求数列的前项和.【答案】(1)，(2)证明见解析(3).【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，化简，得，整理，得，解得(舍去)，或，则，，.（5分）（2）由(1)可知，，则，，.（10分）（3）由(1)可得，，，令，两式相减，可得，，令,.（15分）19．（15分）已知数列是等差数列，设为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，．(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)若，求数列的前项和．【答案】(1)，(2)(3)【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，，则由，即，得，解得或，因为，故舍去，所以，．（5分）（2）由（1）得，，所以，令数列的前项和为，则，即①，②，两式相减得：，所以.（10分）（3）设数列的前项和为由，，得，则，即；故.（15分）20．（16分）已知等比数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列．（ⅰ）求数列的通项公式及；（ⅱ）在数列中是否存在3项（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)（ⅰ），；（ⅱ）不存在，理由见解