2026年高考数学二轮复习专题01 集合与复数（热点）（天津）（解析版）

专题01集合与复数内容导航热点聚焦方法精讲能力突破热点聚焦·析考情锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。题型引领·讲方法系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。能力突破·限时练实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。近三年：1.

集合：三年均以第1题（选择题首题）形式考查，聚焦核心运算。2023年考查集合的交集运算；2024年转向集合的并集运算；2025年则涉及集合的并集与补集混合运算，题目均围绕基础集合运算展开，无复杂知识结合，侧重考查快速计算和概念理解能力。2.

复数：近三年均在填空题第10题考查，核心聚焦运算与基础概念。2023年考查复数代数形式的乘除混合运算；2024年仅考查复数的乘法运算；2025年考点稍变，考查复数的模的计算，整体计算量小，只需掌握复数四则运算法则和模的计算公式就能轻松得分。预测2026年：结合天津高考数学的命题稳定性及2025年试卷评析的风格导向，2026年天津高考数学中集合与复数大概率仍为基础送分题，题型、题号和难度不会有大幅波动，具体预测如下：1.

集合：很大概率继续以选择题第1题形式考查，考点聚焦集合的基础运算。大概率会延续和不等式解集结合的模式，考查交、并、补中的单一运算或简单混合运算。题目核心还是检验对集合基本概念的理解和基础计算能力，不会出现复杂新定义或跨模块的难题，属于入手就能得分的题目。2.

复数：预计仍固定在填空题第10题的位置。考查方向大概率回归复数的四则运算，也可能搭配共轭复数的概念综合考查，少数情况下或许会涉及复数模的计算。整体计算量小，解题思路常规，只需掌握复数运算的基本法则和基础概念，就能顺利得分，不会出现与几何意义等冷门知识点结合的复杂考题。．题型01集合的含义与表示解｜题｜策｜略与集合元素有关问题的解题策略1、研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义．2、利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．．例1（2026·天津河北·月考）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为．【答案】【分析】由题意得，或，或，进而分别求解，结合集合元素的互异性可得结论.【详解】因为，，所以，或，或，若，则，所以，解得或，当时，，符合题意，当时，，不符合题意；若，则，又，方程无解；若，则，解得或，当时，，不符合题意，当时，，符合题意；综上所述，实数的所有可能取值组成的集合为.故答案为：.例2（2026·天津河北·月考）已知集合，集合，则（

）A． B．C． D．与没有包含关系【答案】A【分析】根据集合的子集的定义即可求解.【详解】由，因为，所以，又，所以，故选：A.【变式1】（2026·天津·月考）下列集合的表示法正确的是（

）A．自然数集可表示为B．由、、、、构成的集合是C．满足的构成的集合是D．二次函数上的所有点的坐标构成的集合是【答案】A【分析】利用常用数集的表示可判断A选项；利用集合元素的互异性可判断B选项；利用集合的表示法可判断CD选项.【详解】对于A选项，自然数集可表示为，A对；对于B选项，由、、、、构成的集合是，B错；对于C选项，满足的构成的集合是，C错；对于D选项，二次函数上的所有点的坐标构成的集合是，D错.故选：A.【变式2】（2026·天津和平·月考）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据元素与集合的关系逐一判断即可.【详解】因为是实数，所以，①正确；因为是整数，所以，②正确；因为是正整数，所以，③错误；因为是无理数，所以，所以④错误.故选：B题型02集合与集合间的关系解｜题｜策｜略利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；第二步：看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围.常采用数形结合的思想，借助数轴解答.[例1（2026·天津河北·月考）已知集合，集合，若为的真子集，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分集合是否是空集进行讨论即可求解.【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得.当时，则,而后面两不等式等号不会同时成立，故解得.综上，，即的取值范围是.故选：C.例2（2026·天津河北·月考）已知集合，，若，则实数的取值所组成的集合是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据，可得，再分和两种情况讨论即可.【详解】因为，所以，当时，，符合题意；当时，则，因为，所以或，解得或，综上所述，实数的取值所组成的集合是.故选：D.【变式1】（2026·天津红桥·联考）已知集合，，，则（

）A．0 B．1 C． D．【答案】D【分析】根据，求的值.【详解】因为，所以，所以，解得.故选：D【变式2】（2026·天津滨海新·月考）已知集合，集合，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据子集的定义即可求解.【详解】，由于，故，故选：B题型03有限集合的子集个数问题解｜题｜策｜略如果集合A中含有n个元素，则有（1）A的子集的个数有2n个．（2）A的非空子集的个数有2n－1个．（3）A的真子集的个数有2n－1个．（4）A的非空真子集的个数有2n－2个[例1（2026·天津河北·月考）当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”．集合的全部非空子集的厚度之和为（

）A．800 B．625 C．1550 D．750【答案】A【分析】对于集合中每个元素，计算它在所有非空子集中出现的次数，再乘以该元素的值，最后求和即可.【详解】解：根据题意，任意一个元素在非空子集中的出现次数为：，集合的元素之和为，所以集合的全部非空子集的厚度之和为：.故选：A例2（2026·天津·月考）已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合A的个数为（

）A．4 B．8 C．16 D．20【答案】C【分析】根据集合中元素性质判断出符合两个性质的所有元素，在求出其个数即可.【详解】由题意可知，结合两个性质可知若，则，若，则；若，则，若，则；因此可知1和3不能同时出现也不能同时不出现，2和6不能同时出现也不能同时不出现，而4和5没有限制，所以符合题意的集合有,共16个.故选：C【变式1】（2026·天津·月考）已知集合有且仅有1个子集，则实数a的取值集合为（

）A． B．C． D．或【答案】A【分析】结合集合子集的个数和方程根的情况可得.【详解】方程的判别式，因为集合仅有一个子集，所以集合为空集，故.故选：A.【变式2】（2026·天津滨海新·月考）已知集合，，，则集合C的非空真子集个数为（

）A．16 B．15 C．14 D．8【答案】C【分析】根据集合的定义求出集合，再根据非空真子集个数的公式即可求解.【详解】由题意可知，所以集合的非空真子集的个数为个.故选：C题型04集合的交并补运算解｜题｜策｜略集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解；②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况.利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解.例1（2026·天津·月考）设全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由交集、补集的定义求解即可.【详解】由题意可得，所以.故选：B.例2（2026·天津河北·月考）已知全集，集合，，则集合（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先运用补集的运算，求集合在全集中的补集；再运用交集运算，求即可.【详解】因为，，因此，又因为，所以.故选：B.【变式1】（2026·天津西青·月考）设全集，集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先明确集合，再利用集合的混合运算求.【详解】由，所以.所以，.故选：A【变式2】（2026·天津·开学考试）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由集合的交、补运算求解即可.【详解】因为，所以.故选：D题型05韦恩图在集合中的应用解｜题｜策｜略1、对于离散型数集或抽象几何的运算，常借助Venn图求解，数形结合思想的应用；2、解决集合交、并、补运算的技巧：如果所给集合是有限集，则先把集合中的运算意义列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义求解。在解答过程中常常借助Venn图来求解，这样处理起来，相对来说比较直观、形象切解答时不易出错。例1（2026·天津·月考）若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由图示分析阴影部分与集合A,B的关系，再根据集合的运算可得结果.【详解】由图可知，阴影部分包含于集合，与集合的交集为空集，所以阴影部分表示的集合是集合与集合的交集.因为全集，集合，所以或.因为集合，所以.故选：D.例2（2026·天津·开学考试）已知全集，集合或，那么阴影部分表示的集合为（

）

A． B．C．或 D．【答案】B【分析】利用集合的交集、补集运算得到答案.【详解】阴影部分表示的集合为，因为或，所以，因为，所以，故选：B.【变式1】已知集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（

）A．或 B．或C． D．【答案】A【分析】根据图象可知，阴影部分表示的是，由此求得的取值范围.【详解】或，根据图象可知阴影部分表示的是，因为，，所以或.故选：A【变式2】（2025·天津·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用韦恩图法即可判断.【详解】如图，对于A：，所以A错误；对于B：，所以B错误；对于D：，所以D错误，对于C：由图观察显然，故C正确．故选：C题型06集合的新定义问题解｜题｜策｜略正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.[例1（2025·天津·月考）设，是两个非空集合，规定且，根据这一规定，等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意且，然后用图表示集合，由图形即可得出答案．【详解】由题意，且，用图表示集合的关系如下图：阴影部分表示，所以．故选：D．例2（2024·天津·模拟预测）对于非空数集，定义，将称为“与的笛卡尔积”．记非空数集的元素个数为，若是两个非空数集，则的最小值是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根据、的定义对进行分析，利用基本不等式确定正确答案.【详解】设，，则，当且仅当时等号成立，所以的最小值是.故选：B【变式1】（2024·天津·模拟预测）对于集合A，B，定义A\B=且，则对于集合A={}，B={}，且，以下说法正确的是（

）A．若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212﹣1个.B．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250.C．若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个.D．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数为13.【答案】B【分析】根据各个选项确定相应的集合，然后由集合与子集定义得结论．【详解】，，集合无公共元素，选项A中，集合为空集，没有真子集，A错；选项B中，由得，由得，因此中元素个数为，B正确；选项C中，中元素个数为166，非空真子集个数为，C错；选项D中，，而，因此其中元素个数为331个，D错．故选：B．【变式2】（2025·天津南开·联考）已知有限集，，定义集合且，表示集合中的元素个数．若，，则（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根据所给定义求出，，即可求出，从而得解.【详解】因为，，所以，，所以，则.故选：A题型07复数的基本运算解｜题｜策｜略1、复数运算（1）（2）其中，叫z的模；是的共轭复数．（3）．实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．2、复数的几何意义（1）复数对应平面内的点；（2）复数对应平面向量；（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．[例1（2024·天津和平·二模）已知为虚数单位，复数，则的共轭复数（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用复数的乘法及除法运算化简复数，再根据共轭复数定义判断即可.【详解】因为.所以.故选：C.例2（2025·天津河北·模拟预测）i是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根据复数对应点判断其所在的象限.【详解】由对应点为，即位于第一象限.故选：A【变式1】（2025·天津·一模）若（是虚数单位，a，b是实数），则复数在复平面内对应的点是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据复数的乘法，结合复数相等，可得参数的值，结合复数的几何意义，可得答案.【详解】由，则，所以复数在复平面上的对应点为.故选：D.【变式2】（2025·天津静海·三模）已知，为虚数单位，若为实数，则的值为.【答案】【分析】利用复数的除法法则化简，结合已知可得，求解即可.【详解】，因为为实数，所以，解得.故答案为：.题型08与复数有关的最值问题解｜题｜策｜略解决复数最值问题的核心方法之一是几何意义法，将复数问题转化为平面几何中的距离、斜率等最值问题，直观且高效。例1（2025·天津·二模）如果复数z满足，那么的最大值是．【答案】2＃＃＋2【分析】根据复数的几何意义表示，两点间距离，结合图形理解运算．【详解】设复数z在复平面中对应的点为∵，则点到点的距离为2，即点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆表示点到点的距离，结合图形可得故答案为：．例2（2026·天津·联考）复数满足，则的最大值为．【答案】6【分析】由复数的模的几何意义确定复数对应点的轨迹，问题转化为圆上一点到点的距离最大值，即可得结果.【详解】设复数.由复数的模的几何意义可知，表示复数对应的点到点的距离.因为，所以，即，这表示点在以原点为圆心，半径的圆上.因为，所以由圆的性质可知，点到点的距离的最大值为，即的最大值为6.故答案为：6【变式1】（2025·天津·三模）若复数的实部为，则的最大值为.【答案】【分析】先利用复数乘法化简复数，再由题意列式得，即可求解的最大值.【详解】，因为的实部为，所以，故的最大值为.故答案为：【变式2】（2024·天津·模拟预测）已知复数，满足，，则的最大值为.【答案】/【分析】设，根据题意求得，根据复数的几何意义求得对应点的轨迹，再根据几何意义求目标式的最大值.【详解】令复数，，，则，所以，所以，，即.又因为，即在复平面内，复数所对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆.又点到点的距离为，所以的最大值为.故答案为：.（建议用时：20分钟）1．（2025·天津红桥·模拟预测）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由交集定义求得结果.【详解】由，，则.故选：