复数的乘法与除法+高一下学期数学人教B版必修第四册

第十章复数10.2.2复数的乘法与除法《人教B版2019高中数学必修第四册》我们知道，实数的乘法对加法来说满足分配律，即a,b,c∈R时，有

(a+b)c=ac+bc而且，实数的正整数次幂满足aman=am+n,(am)n=amn,(ab)n=anbn其中m,n均为正整数.那么，复数的乘法应该如何规定，才能使得类似的运算法则仍成立呢？一般地,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),称z1z2（或z1×z2)为z1与z2的积,并规定z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i这就是说，为了算出两个复数的积，只需要按照多项式乘法的方式进行，并利用i2=−1即可.例如，对于上述尝试与发现中的三个复数来说，有

z1z2=3(1−2i)=3−6i,z2z3=(1−2i)(−5i)=−5i+10i2=-10-5i显然，两个复数的积仍然是复数.可以证明，复数的乘法运算满足交换律与结合律，且对加法满足分配律，即对任意复数z1,z2,z3，有z1z2=z2z1,(z1z2)z3=z1(z2z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.例1

已知a，b∈R，求证：(a+bi)(a−bi)=a2+b2.证明

根据复数乘法的定义有(a+bi)(a−bi)=a2−abi+bai−b2i2=a2+b2.

n个由此可知(5i)2=52×i2=−25,i3=i2×i=-i,i4=i2×i2=(−1)×(−1)=1.需要说明的是，以前我们所学过的和平方公式、平方差公式等，对于复数来说也是成立的，即

(z1+z2)2=z12+2z1z2+z22

z12−z22=(z1+z2)(z1−z2)例2

计算(1+i)2与(1−i)2的值.解(1+i)2=12+2i+i2=2i；(1−i)2=12-2i+i2=-2i可以验证，以前所学的等式性质仍然成立.例如，等式两边同时乘上一个复数，等式仍成立，即当z1=z2时，必定有z1z=z2z.例如，例1也可按如下方式计算．(a+bi)(a−bi)=a2−(bi)2=a2+b2.

例3

求(1+2i)÷(3-4i)的值.

因为i2=(−i)2=−1所以方程x2=−1在复数范围内的解集为{i，-i}

例4在复数范围内求方程x2+2x+3=0的解集.

当a,b,c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2+bx+c=0称为实系数一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的，而且（1）当Δ=b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当Δ=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当Δ=b2−4ac<0时，方程有两个互为共轭的虚数根.当a,b,c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2+bx+c=0称为实系数一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的，而且（1）当Δ=b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当Δ=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当Δ=b2−4ac<0时，方程有两个互为共轭的虚数根.探索与研究

练习A

i28=(i4)7=1;i37=(i4)9·i=i;i42=(i4)10·i2=-1;i90=(i4)22·i2=-1规律：in(n∈N)具有周期性，周期为4：当n=4k时in=1;当n=4k+1时,in=i;当n=4k+2时,in=-1;当n=4k+3时,in=-i(k∈N)练习A

练习B

练习B

练习B

小结

小结

小结

巩固提升

A

A巩固提升

A

ACD巩固提升

由z2+2z+5=0可得(z+1)2+4=0,即(z+1)2=-4=(±2i)2,可得z+1=±2i,解得z=-1±2i.AABD

巩固提升

C巩固提升

ACD

巩固提升9.(1