2026年高考数学二轮复习专题01 基本不等式的应用7大考向（重难）（天津）（原卷版）

重难点01：基本不等式的应用内容导航速度提升技巧掌握手感养成分析考情·探趋势锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标破解重难·冲高分方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化拔尖冲优·夺满分巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力近三年：近三年天津高考基本不等式均为5分填空题，核心考最值，常与向量、函数、方程等综合；2026年大概率延续5分填空，聚焦配凑/1的代换/消元求最值，强调一正二定三相等，可能与恒成立、解析几何结合提升综合度。预测2026年：题型与分值：5分填空题（13或14题），分值与题型不变。仍以条件最值为主，侧重配凑法、1的代换、消元法，强化等号条件验证。可能与解析几何（如直线与圆、椭圆）、函数恒成立、向量数量积结合；或考多元变量（三元）的均值不等式，提升思维量但不超纲。中档为主，少数题目因综合度提升略偏难，区分度在条件转化与等号严谨性。考向1：直接法求最值条件和问题之间存在基本不等式的关系转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再利用“公式”求最值．乘方：若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值．1．（2024·天津河东·二模）已知，，且，则的最小值是．2．设，则最小值为3．（2025·天津·模拟预测）已知正数，满足，若，则．4．（2025·全国·模拟预测）已知等比数列的各项均为正数，，且存在，使得，则的最小值为．5．已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且的坐标为，则的最小值是.考向2：配凑法求最值将目标函数恒等变形或适当放缩，配凑出两个式子的和或积为定值.配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键。利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．1．（2025·天津和平·三模）已知实数与满足，且，则的最小值为．2．（2025·天津和平·一模）已知平面四边形满足，且，为的中点，则，若、分别为线段、上的动点，且满足，则的最小值为.3．（2025·天津·模拟预测）在中，，，其中，均为边上的点，分别满足：，，则下列说法正确的是．①为定值3

②面积的最大值为③的取值范围是

④若为中点，则不可能等于4．（2024·天津北辰·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点.若是虚轴长的倍，则该双曲线的一条渐近线为；若，分别交轴于，两点，且的周长为8，则的最大值为.5．（2025·天津·模拟预测）已知正的边长为，中心为，过的动直线与边，分别相交于点、，，，.（1）若，则；（2）与的面积之比的最小值为.考向3：消元法求最值根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留变量的取值范围。1．（2024·天津河西·二模）如图，直角梯形ABCD中，，，，在等腰直角三角形CDE中，，则向量在向量上的投影向量的模为；若M，N分别为线段BC，CE上的动点，且，则的最小值为.2．（2024·天津·一模）已知平行四边形的面积为，，且.若F为线段上的动点，且，则实数的值为；的最小值为.3．（2025·天津红桥·模拟预测）已知二次函数的值域为，则的最小值为.4．（2025·天津·二模）在中，.（1）若，则向量在向量上的投影向量的模为；（2）边和的中点分别为，点为和的交点，为线段上靠近的三等分点，则的最小值为.5．（2024·天津河东·一模）若，则的最小值为．考向4：1的代换法求最值1、若已知条件中的“１”（常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数.模型1：已知正数满足，求的最小值。模型2：已知正数满足求的最小值。2、常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值．1．（2025·天津红桥·二模）已知正实数，满足，则的最小值为2．（2024·天津·模拟预测）若，，且，则的最小值为3．（2025·天津·联考）如图，在中，与BE交于点，，则的值为；过点的直线分别交于点设，则的最小值为.

4．（2025·天津红桥·一模）如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则，若，，则的最小值为.5．（2025·天津南开·月考）如图，在中，，，CD与BE交于点P，，，，则的值为；过点P的直线l交AB，AC于点M，N，设，（，），则的最小值为.考向5：双换元法求最值双换元法是“1”的代换更复杂情况的应用，常用于分母为多项式的情况。具体操作如下：如分母为与，分子为，设∴，解得：1．（2025·天津和平·开学考试）已知，则的最小值为．2．（2025·天津武清·模拟预测）已知，，则最小值为.3．（2025·天津·二模）若，且，则的最小值为.4．已知，则的最小值为.5．（2024·天津和平·月考）已知正数满足，则的最小值是．考向6：构造不等式求最值当条件式中给出了"和"与"积"之间的关系时，可以考虑借助基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值.1．若实数x、y满足，则的最大值是．2．已知，则的最小值为．3．设，，则的最小值为.4．，，且恒成立，则的最大值为．5．（2025·天津南开·三模）已知，，，则的最小值为．考向7：多次使用不等式求最值通过多次使用基本不等式求得代数式最值的过程中，需要注意每次使用基本不等式时等式成立的条件不同。1．（2025·天津南开·二模）已知，，则的最大值是．2．（2024·天津红桥·二模）若，，且，则的最小值为3．（2025·天津河西·模拟预测）若，，则的最小值为.4．（2025·天津河北·一模）已知，，且，则的最大值为.5．（2025·天津·开学考试）已知正实数a，b，c，，则的最小值为．（建议用时：60分钟）1．（2025·天津河西·模拟预测）已知是边长2为正三角形，是的中心，过点的动直线交于点，交于点，设，，，，则；的最小值为．2．（2025·天津河西·二模）在平行四边形中，，，，四边形的面积为6，则的最小值为；当在上的投影向量为时，.3．（2025·天津河西·二模）在正四棱锥中，底面四边形是边长为的正方形，当该正四棱锥的外接球半径与内切球半径之比最小时，则该正四棱锥的体积为（

）A． B． C． D．4．（2025·天津和平·二模）在中，E为AC中点，G为线段BE上一点，且满足（），则，若，则当最大时，的值为.5．正项等差数列中，，则的最小值为（

）A． B．5 C． D．66．（2025·天津红桥·一模）已知，则的最小值为（

）A． B． C．4 D．27．若函数在处取得最小值，则等于（

）A． B． C．3 D．48．（2024·天津红桥·一模）设，，若，则的最小值为（

）A．6 B．9 C． D．189．（2024·天津和平·二模）已知平行四边形的面积为，，为线段的中点，则；若为线段上的一点，且，则的最小值为．10．（2025·天津河西·一模）在梯形中，，且分别为线段和的中点，若，用表示.若，则余弦值的最小值为.11．设函数，则函数的最小值为；若对任意，存在不等式恒成立，则正数的取值范围是．12．（2025·天津滨海新·调研）如图，梯形中，，，，（i）向量在向量上的投影向量为