2026《初中数学•53同步练习》九年级下册(BS)吃透重难点

九年级下册北师大版精讲教材知识深剖题型逻辑第一章直角三角形的边角关系 1锐角三角函数 题型1构造直角三角形求三角函数值题型2利用参数法求三角函数值题型3利用网格求三角函数值题型4与坡度有关的实际应用230°,45°,60°角的三角函数值 题型1特殊角的三角函数值与实数的综合运算题型2利用特殊角的三角函数值判断三角形的形状3三角函数的计算 4解直角三角形 题型构造直角三角形解斜三角形5三角函数的应用 题型1方向角在解直角三角形中的应用题型2利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题题型3二次函数与一元二次方程、不等式的综合第三章圆 题型由点与圆的位置关系求半径的取值范围2圆的对称性C40题型1运用圆心角、弧、弦之间的关系求角的度数题型3利用圆的对称性求最值*3垂径定理C42题型1利用垂径定理进行计算题型2垂径定理的实际应用4圆周角和圆心角的关系C44题型1圆周角定理及其推论的应用题型2圆内接四边形的性质与圆的其他性质的综合应用6利用三角函数测高C15题型1根据二次函数的概念确定字母的值题型2在动态几何问题中列二次函数表达式题型1函数图象共存问题题型2抛物线的平移题型3利用二次函数图象的对称性求最小值题型4求二次函数的最值问题3确定二次函数的表达式 4二次函数的应用 5二次函数与一元二次方程 题型1图象法解不等式5确定圆的条件C46题型1求三角形外接圆的半径题型2三角形外接圆的实际应用题型1利用“作垂直，证半径”判定直线是圆的切线题型2切线的判定与性质的综合应用题型3三角形的外接圆与内切圆*7切线长定理 8圆内接正多边形 题型正多边形与圆的相关计算9弧长及扇形的面积C57题型1弧长的计算题型2求不规则图形的面积题型3图形转动问题第一章第一章锐角三角函数知识导航锐角的正切、正弦和余弦的概念.坡度与坡角.三角函数的概念.梯子的倾斜程度与三角函数的关系.坡度与坡角正弦和余弦的概念利用网格求三角函数值值锐角三角函数利用参数法求三角函数值知识点充电站在Rt△ABC中，∠C=90°,如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比图示正切的书写规定(1)锐角的正切表示中的“两省、两不省”:角的表示情况正切的表示情况两省tanA(“∠”可省略)用一个希腊字母表示∠α两不省tan∠BAC(“∠”不能省略)用一个阿拉伯数字表示∠1tan∠1(“∠”不能省略)(2)tanA是一个完整的数学符号，不可分割，不表示“tan”乘“A”,tanA的平方用tan²A表示，不能写成tanA²(1)求tanA,tanC.(2)tanA与tanC具有怎样的数量关系?请说明你的理由.角度有关，与直角三角形的边长无关.(2)对于锐角A,tanA>0,90°,则tanα>tanβ.(3)一个角的正切是在直角三角形中适用.直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系变式2如图，一辆小汽车从山脚下的A点直线行驶15分钟到达山顶的B点，已知小汽车的平均速度为40千米/时，山的高度BC约为6000米，则山坡AB的坡比为AD名称定义图示坡度坡比),用i表示，记作坡角坡面与水平面的夹角称为坡角(或倾斜角),如图中例2如图，扶梯AB的坡比为4:3,滑梯CD的坡比F.若AE=30dm,BC=40dm,一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，他所经过的总路程是多少(结果保留根号)?BE=40dm,∴AB=√AE²+BE²=√30²+40²=50(dm),∴CD=√CF²+FD²=√40²+80²=40√5(dm),答：他所经过的总路程是(90+40√5)dm.一锐角A,有sinA>0,cosA一锐角A,有sinA>0,cosA1.正弦、余弦的定义正弦余弦定义在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A的记作sinA,即在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A的∠A的邻边图示2.正弦、余弦的表示方法注煮意3的正弦、余弦，可记作例3如图，在△ABC中，∠C=90°,BC=1,AC=2,求BsinA,sinB,cosA,cosB的值，通过计算你有什么发现?请加以证明.变式发现：互余两角(∠A+∠B=90°)的正弦、余弦之间存在以下关系：sinA=证明：在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,内容锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数取值范围0<sinA<1,0<cosA<1,tanA>0增减变化减小角函数的关系如图，若AB表示倾斜靠墙的梯子，则∠BAC越tan∠BAC的值越大，sin∠BAC的值越大，cos∠BAC的值越小，梯子越陡例4比较tan52°,cos21°,sin49°的大小关系是变式4()A.tan52°<cos21°<sin49°C.sin49°<tan52°<cossinA=(sinA)²,不能写成cosA=(cosA)²,不能写成cosA².BC=4,则AB的长为BBCC1.同角三角函数之间的关系2.互余两角之间的关系∠B=90°,则∠A和∠B有角α锐角β.(填本节变式答案2AB=3BC,求∠B的三个三角函数值.c题图解析图在直角三角形中”这一特征，用“构造直角三角形设AB=AC=3k(k>0),则BC=2题型解读若已知一角的三角函数值，求其他三角函数值，则可采用设参数的方法求解，一般步骤如下：(1)将已知三角函数值转化为两边的比.(2)设参数表示两边的长度.(3)利用勾股定理求出未知边的长度(用参数表示).(4)利用三角函数的定义求出其他三角函数值.,则cosA的值为()题型BB题型3利用网格求三角函数值题型解读根据网格图的特点，在网格图中构造出锐角所在的直角三角形，即将所求角转化到构造出的直角三角形中，若直角顶点恰好在格点上，则可先运用勾股定理求出三角形的边长，再根据锐角三角函数的定义求解.例3如图，△ABC的顶点均在正方形网格的格题图解析图设每个小正方形的边长为1,则由勾股定理得CD=∴△BCD是直角三角形，故选A.例4农用温室大棚的上半部分如图所示，迎阳坡AD的坡度i=1:1.8,背阳坡的坡角满足sinC=,棚宽CD=11.5米，要竖立两根立柱AB,EF,∵CD=CB+BD,∴,解得x=5,即AB5=4(米).米特殊角的三角函数值.知识点三角函数值1例1(1)已知∠α为锐角，,求tanα的值.(2)计算：(-1)²+2sin45°-cos30°+sin利用特殊角的三角函数值解决实际问题的一般步骤注意根据题意找出或构造出含有特殊角的直角三角形，建立三角函数模型利用三角函数的定义表示题目中的相关量找出各个利用已知量与未知量的关系求解未知量结论在构造直角三角形时，尽量不要例2如图，一座古塔坐落在小山上(塔顶记作点A,其正下方水平面上的点记作点B),小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从自己的脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成45°角，点A,B,C,0在同一平面上)匀速飞行4秒到达空中0点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为6米/秒，∠AOC=75°,求小李到古塔的水平距离(BC的长).(结果精确到0.1米，参考数据：√2≈1.414,√3≈1.732)变式过非特殊角的顶点作垂线，构造直角三角形，不破坏特殊角题图解析图∴小李到古塔的水平距离(BC的长)约为24.6米.(3)口诀记忆法：1,2,3;3,2,1;3,9,27.弦比2,切比3,分子根号别忘添.利用特殊角的三角函数值解决实际问题时，当图形中没有直角三角形时，一般要作辅助线构造直角三角形.的公路两两相交，交点分别为A,B,C,测得∠CAB=30°,∠ABC=45°,AC=8米，则A,B两点间的距离精确到1千米)本节变式答案题型【例1计算：(2)(sin30°)⁻¹-202【例2若△ABC中，∠A,∠B都是锐角，且满足应用非负性A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形解析根据题意得答案D3三角函数的计算 知识导航1.求整数度数的锐角三角函数值注意在科学计算器的面板上涉及三角函数的键有sin,cos和tan,当我们计算整数度数的某三角函数值时，可先按这三个键之一，然后从高位向低位按出表示度数的整数，最后按三键，则屏幕上就会显示出结果.2.求非整数度数的锐角三角函数值数和0”、秒数和0键，最后按三键，则屏幕上就会显示出结果.已知三角函数值，用计算器求角度，要用到sin,cos,tan键的第二功能 “sin⁻¹,cos⁻¹,tan⁻¹”和SHIFT键(有的计算器为2ndF键)具体步骤如下：(1)按SHIFT键；(2)按sin或(1)按SHIFT键；(2)按sin或cos或tan键；(3)键入已知函数值；(4)键定义图示仰角当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角定义图示仰角当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角铅垂线视线仰角水平线俯角当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角俯角视线俯角视线物间的距离BD为30m.物间的距离BD为30m.在点A处测得点D的俯角α为30°,点C的仰角β为(1)体育学科王老师的身高为197cm,头部长度为25cm,若他正常站立，则王老师能否在有效识别距离内被识别?请计算说明.(2)英语学科张老师的身高为161cm,头部长度为19cm,若张老师正常站立被识别，则张老师离摄像头水平距离的最小值是多少?请计算说明.解析(1)如图1,假定王老师站在考勤机前E处，头顶正好在仰角线上，过点E作OB的垂线分别交仰角线、俯角线于点C,D,交水平线于点P,∴王老师能在有效识别距离内被识别.(2)如图2,假定张老师站在考勤机前F处，头部的下颌正好在俯角线上，过点F作OB的垂线分别交仰角线、俯角线于点M,N,交水平线于点Q,由题意，得QF=OA=160cm,NF=161-19=142(cm),MQ=NQ,即整个头部在摄像头视角范围内，即张老师离摄像头水平距离的最小值是50cm.距20m的D处观测旗杆顶部A的仰角为57°,观测旗杆底部B的仰角为50°,则旗杆AB的高度约为 m(结果取整数).0.766,cos50°≈0.643,本节变式答案4解直角三角形解直角三角形的概念.直角三角形的边角关系.解直角三角形的四种基本类型与解法.解直角三角形解直角三角形的基本类型与方法构造直角三角形解斜三角形知识点1.解直角三角形的概念由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三2.直角三角形的边角关系三边之间的关系a²+b²=c²(勾股定理)两锐角之间的关系边、角之间的关系4注意(1)在解直角三角形知道两个条件，其中至少有一个条件是关于边的，这是由直角三角形全等的判定条件决定的.(2)已知两个角不能解直角三角形，因为只有角的条件，三角形边的长度不唯一，即有无数个三角形符合条件.3.解直角三角形的四种基本类型与解法拓展3.解直角三角形的四种基本类型与解法拓展前提：在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.已知条件解法步骤两①两直角边a,b边②斜边，一直角边(如c,a)一边和一锐角和一锐角(如∠A,b)(如∠A,a)④斜边，一锐角(如c,∠A)例题在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,根据下列条件求出直角三角形的其他元素.变式(1)有斜(斜边)用弦(正知或求解中有斜边时，就就用正切.(3)取原避中：若求解中既可用原始数据又可用中间避免用中间数据.(3)b=2√2,c=4.(4)a=60,∠B=35°(需用计算器，边长精确到1).(4)∵∠B=30°,∴∠A=90°-∠B,,90°,a=2√3,b=2.90°,∠A=45°,c=8.本节变式答案题型构造直角三角形解斜三角形题型解读当已知图形为非直角三角形时，往往通过作高构造直角三角形，从而将原问题转化为解直角三角形的问题.当已知条件中存在30°或45°或60°角时，作辅助线时不要“破坏”这些特殊角，即可在构造的直角三角形中运用特殊角的三角函数进行求解.BB题图解题图解析如图所示，过点A作AE⊥BC,垂足为点E.5三角函数的应用 方向角.三角函数的应用.知识点 知识点知识点1方向角的定义及应用定义图示方向角指北或南的方向线与目标方向线所成的小于90°的夹角称为方向角.如图所示，目标方向线OA,OB,OC,OD的方向角分别表示为北偏东30°、南偏例1如图所示，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行.为测量其宽度，小明在南岸边B处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向，他以1.5m/s的速度沿着河岸向东步行40s后到达C处，此时测得大树注意1(1)方向角的格式为“★偏★□”,前面的“★”为北或南，后面的(2)东南方向指的是南偏初中数学九年级下册北师大版√3≈1.732)变式解析如图所示，作AD⊥BC,垂足为点D,因此，此段河面的宽度约为82m.审弄清各名词及术语的含义，理解题意画画出符合实际意义的图形化把实际问题中的数量关系转化为直角三角形中的元素，当某些图形不是直角三角形时，可添加辅助线转化为直角三角形解根据已知条件选用适当的三角函数关系解直角三角形答求出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义图形关系式如图，一艘轮船航行至0点处时，测得某灯塔A位于它的北偏东40°方向，且它与灯塔A相距13海里，沿正东方向继续航行，航行至点B处时，测得灯塔A恰好在它的正北北A.13cos40°海里C海里D海里若没有直角三角形，则可通过添加辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，从而把实际问题转化为解直角三角形的问题.解直角三角形时，常以“公共边”为桥梁，分别在两个直角三角形中，选择恰当的三角函数，构建方程进行求解.图形关系式例2如图，梯形ABCD是拦水坝的横断面，已知∠B=60°,AB=6,AD=4,则拦水坝的横断面ABCD的面积是.(结果保留整数，参考数据：√3≈1.732)变式2(2)在多个直角三角形中，利用线段之间的数量关系及解直角三角形的知识即可得到相应的关系式.某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD,如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α,无人机沿水50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°.线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M,C,D在同一条直线上.其中河流的宽度CD≈米.(A,B,C,D,F,M均在同一平面内，结果精确到本节变式答案第一章直角三角形的边角关系题型题型1方向角在解直角三角形中的故救援队从B处出发沿南偏东45°的方向航行到例1如图所示，一艘渔船位于小岛B的北偏东(1)渔船航行多远距离小岛B最近(结果保留根号)?(2)渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续马上向小岛B上的救援队求救，则救援队从B处出发沿着哪个方向航行到事故地点的航程最短?最短航程是多少(结果保留根号)?(2)由(1)知BM=20√2nmile,结合题意可知题型2用三角函数解“超速”“触【例2某相关单位在一事故多发地段安装了一个测速仪器，如图所示，已知检测点设在距离公路10m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所(1)求B,C之间的距离(结果保留根号).(2)如果此地限速70km/h,那么这辆汽车是否超解析(1)如图所示，过点A作AD⊥BC于点D,则AD=10m.(2)这辆汽车超速.理由：∴这辆汽车超速.6利用三角函数测高测量底部可到达的物体的高度.测量底部不可到达的物体的高度.利用三角函数测高利用三角函数测高测量底部可以到达的物体的高度工具测倾器、皮尺(卷尺)步骤(1)在测点D处安置测倾器，测得旗杆顶端的仰角∠ACE=α;(2)量出测倾器的高度CD=b和测点D到旗杆底部B的水平距离BD=a;图示【例1如图所示，数学爱好小组要测量5G信号基站AB的高度，一名同学站在距离5G信号基站30m的点E处，测得基站顶部的仰角∠ACD=52°,已知测角仪的高度CE=1.5m.求这个5G信号基站的高AB.解析由题意，得∠ADC=90°,四边形CEBD是矩形，所以BD=CE=1.5m,CD=EB=30m.所以AD=CD·tan∠ACD≈30×1.2所以AB=AD+BD=38.4+1.5≈40目的工具测倾器、皮尺(卷尺)测量底部可以到达的物体的高度，实际上是测量一个直角三角形中的一个锐角的度数和一条直角边的长，从而应用锐角的三角函数得出物体的高角关系时，一般选择正切函数.利用三角函数求物体的高度时，不要忘记加上测倾器的高.为了提高测量的准确度，同学们可以多次测量的误差较大，可能是以下原因所致：(1)仪器没有放平；(2)风吹导致抖动；(3)测量点的距离太近，角与被测物体的底端所在的点不在同一条直线上等.为下原因所致：(1)仪器没有放平；(2)风吹导致抖动；(3)测量点的距离太近，角与被测物体的底端所在的点不在同一条直线上等.为减少误差，要尽可能减少客观因素带来的影响，并且要养成认真细致的学习习惯.如图，测量物体MN的高度：(1)在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α;(2)在测点A与物体之间的B处安置测倾器(A,B与N在同一条直线上，且A,B之间的距离可以直接测得),测得此时M的仰角∠MDE=β;(3)量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点A,B之间的距离AB=b;(4)根据三角函数求出物体MN的高度，【例2位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一.某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°,然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°,测角仪的高度为1.6m.变式距离地面的高度(结果精确到0.1m,参考数据：sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tan22°≈0.40,√2≈1.41).(2)“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m.请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议.解析(1)如图所示，过A作AD⊥PM,垂足为则四边形BMNC,四边形BMDE都是矩形，∵∠AEC=90°,∠ACE=45°,∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE=AE,答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m.(2)误差为12.6-12.3=0.3(m).建议：可多次测量，取测量数据的平均值(答案不唯一，合理即可).变式如图所示的是交警在某市一路口设立的路况显示牌.已知立杆AB高2米，从左侧D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别为60°和45°,则该路况显示牌BC的高度为米.CCB_AD答案(2√3-2)直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系角的关系一两锐角互余：∠A+∠B=①边的关系一勾股定理：a²+b²=②_CB由定义求三角函数值由锐角的度数求三角函数值由三角函数值求锐角的度数数值30°数值30°1形图示记忆法—已知斜边和一直角边已知两直角边已知斜边和一锐角已知一直角边和一锐角1解与坡度、坡角有关的实际问题解与仰角、俯角有关的实际问题解与方向角有关的实际问题解与生活有关的其他实际问题DD二次函数第二章二次函数第二章1二次函数二次函数的概念.根据实际问题列二次函数关系式.定义二次函数知识点一般地，若两个变量一般地，若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=ax²+bx+c(a,b,2.表示形式特殊形式一般式二次项一次项特殊形式一般式二次项一次项拓展判断函数是不是二二次项一次项常数项a≠0)例1在下列函数中，y是x的二次函数的是变式()A.x+y²-6=0B.y=(x+2)(x-2)-(x-2)²解析先将函数进行变形，转化为用含x的代数式来表示y的形式，再结合二次函数的定义进行判断.把A项变形为y²=-x+6,自变量x的最高次数不是2,y的次数不是1,故A项不是；把B项变形为y=4x-8,自变量x的最高次数不是2,故B项不是；因为C项的等号右边不是整式，故C项不是；D项变形为,符合二次函数的定义.变式1已知函数y=(m²- 时，它为正比例题型题型1根据二次函数的概念确定字母方形MNPQ的边长均为20cm,AC与MN在同一2cm/s的速度沿射线NM向左故y=2t²-40t+200(O≤t≤10).2二次函数的图象与性质二次函数的图象和性质.二次函数图象的平移规律.二次函数的图象与系数的关系.几种不同形式的二次函数的图象和性质图象与系数的关系图象的平移二次函数的图象与性质两图象共存问题抛物线的平移二次函数的最值问题1.二次函数y=x²和y=-x²的图象的画法注意列表给出自变量与函数的一些对应值，先取原点(0,0),列表→再以原点为中心，向两边对称取x值，并计算出相应的y值以表中每对对应值为坐标，在平面直角坐标系内描出相用平滑的曲线由左至右顺次连接描出的各点，便得到函数的图象2.二次函数y=x²和y=-x²的图象的形状二次函数y=x²和y=-x²的图象都是抛物线，且对称轴都是y轴.对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.3.二次函数y=x²和y=-x²的图象与性质拓展1函数大致图象开口方向向上向下对称轴y轴y轴增减性当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小最值当x=0时，y取最小值，为0当x=0时，y取最大值，为0注意1(1)二次函数y=x²的自变量的取值范围是全体实数，列表时常以原点(2)在画二次函数的图象时，一般在顶点的两侧对称地各取三四个点即可，并且用平滑的曲线依次连接，切忌用线段连接或漏(3)二次函数图象的两端是无限延伸的，画图象时拓展1若把函数的图象和函数y=-x²的图象画在同一平面直角坐标系中，则两图象既关于x轴成轴对称，又关于原点成中心对称.2.二次函数y=ax²(a≠0)的图象与性质关系抛物线y=4x²与y=-4x²的形状一样，但开口方向相反.(2)Ial越大，抛物线的开口越小，即图象越靠近y口越大，即图象越远离y轴.二次函数y=ax²的增减性在其图象的对称轴两侧截然相反，无论其图象开口向上还是向下，都应分在对称轴的左侧(x<0)和在对称轴的右侧(x>0)两种情况说明.函数图象开口方向向上向下对称轴直线x=0(或y轴)直线x=0(或y轴)增减性注意2当x>0时，y的值随x值的增大的增大而减小当x>0时，y的值随x值的增大而减小；当x<0时，y的值随x值的增大而增大最值例1若点A(-1,y₁),B(2,y₂),C(3,y₃)在二次函数y=2x²的图象上，则y₁,y₂,y₃的大小关系是变式()A.y₁<y₂<y₃B.y₃<y₂<y₁C.y₂<y₁<y₃D.y₂<y₃<y1【解法二】图象法：画函数y=2x²的图象及点A(-1,y₁),B(2,y₂),C(3,y₃),如图，由图象可知y₁<y₂<y₃·故选A.接).【解法三】性质法：∵二次函数y=2x²的图象开口向上，关于y轴对称，(2)已知二次函数y=ax²的图象经过点A(-3,y₁),取值范围是点A(-1,y₁)关于y轴的对称点的坐标为(1,y₁),(2)已知二次函数y=ax²的图象经过点A(-3,y₁),取值范围是【解法四】距离法：二次函数y=2x²的图象开口向上，关于y轴对称，I-1-01<12-01<13-01,∴y₁<y₂<y3.故选A.知识点3二次函数y=ax²+c(a拓展3(1)a决定二次函数图象的开口方向，Ial决拓展3(1)a决定二次函数图象的开口方向，Ial决定二次函数图象的开口大=ax²+c(c≠0)的图象的开口方向和开口大小相同.(2)二次函数y=ax²+c的增减性可简记为“开口向上，左减右增；开口向下，物线y=ax²+c的平移方向定抛物线平移的距离.平移规律可简记为“上下平移，图象开口方向向上向下对称轴y轴(或直线x=0)当x<0时，y随x的增大而减增大当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小最值2.二次函数y=ax²+c和y=ax²的图象之间的关系轴向上或向下平移Icl个单位长度便得到函数y=ax²+c的图象.【例2在同一直角坐标系中，画出函数y=-x²和y=-x²+1的图象，并根据图象回答下列问题：变式2(1)抛物线y=-x²+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x²?(2)函数y=-x²+1,当x时，y随x的增大而减小；当x ,与x轴的交点坐标是.变式2关于二次函数y=变式2关于二次函数y=x…0123……0……010…然后描点、连线，得函数y=-x²和y=-x²+1的图象如图所示.A.图象的开口向上而减小D.图象的顶点坐标为(0,(1)抛物线y=-x²+1向下平移1个单位长(2)>0;=0;1;(0,1);(-1,0)和(1,0).函数大致图象开口方向向上向下对称轴直线x=h直线x=h增减性随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>h时，y随x的增大而增大随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>h时，y随x的增大而减小最值当x=h时，y取最小值，为0当x=h时，y取最大值，为0(2)抛物线y=a(x-h)²可由抛物线y=ax²向左或向右平移Ih₁个单位(1)求a的值和平移后抛物线的函数表达式.(3)通过观察回答：若平移前的抛物线上有一点P,平移后的抛物线上有点P的对应点P′,则P和P′具有什∵平移后的抛物线经过点(1,4),(2)在同一直角坐标系中，画出这两条抛物线如图所示.注意5注意5因为从y=a(x-h)²抛物线的顶点坐标为(h,k),所以通常把y=a(x-h)²+k(a≠0)叫做二次函数的顶点式.(3)观察上图可知，抛物线上的点P的横坐标总比抛物线y=上的点P′的横坐标大3,且点P和点P′的纵坐标相同.1.二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)G函数大致图象xX开口方向向上向下顶点坐标对称轴拓展6直线x=h直线x=h增减性时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>h时，y随x的增大而增大时，y随x的增大而增大；在时，y随x的增大而减小最值当x=h时，y取最小值，为h当x=h时，y取最大值，为k2.几种不同形式的二次函数图象之间的关系注意6拓展6抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相交点的横坐标分别为x₁,注意6(1)平移规律易混(2)因为抛物线顶点平移的距离和方向与抛物线的平移规律是相同的，所以抛物线的平移规律可以理解为顶点的平移规律.例4对于抛物线给出下列结论：①抛物线2)²+3可由抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到；②对称轴为直线x=2;③顶点坐标为(-2,3);④当x>-2时，y随x的增大而增大.其中正确的序号是变式()A.①②③B.②③④C.①③④D.②④解析∵抛物线的顶点坐标是(-2,3),抛物线顶点坐标是(0,0),∴将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到抛物线,∴①③正确；∵抛物线的开口向上，对称轴是直线x=-2,当x>-2时，y随x的增大而增大，∴②错误，④正确.函数大致图象开口方向向上向下对称轴直线直线增减性当时，y随x的增大而小；当时，y随x的增大增大；当时，y随x的增而增大大而减小最值变式4抛物线y=a(x-1)²差为3,则a的值为()BB求顶点坐标的四种方法(1)配方法：通过配方将二次函数表达式化为y=a(x时抛物线的顶点坐标为(h,k).(2)公式法：当运用配方法求二次函数图象的顶点坐标比较麻烦时，可将a,b,c的值代入顶点坐标公式进行计算.(3)代入法：当抛物线的对称轴(直线x=h)已知或者接代入二次函数的表达式，求出相应的函数值y,即得顶点纵坐标.(4)对称法：若A(x₁,y),B(x₂,y)是抛物线上已知的两点，因其纵坐标相同，故A,B两点关于抛物线的对称轴对称，则抛物线的对称轴为直线,将其代入函数表达式中，即可得到顶点的纵坐标.例5已知二次函数y=-2x²+4x+3,请解决下列问题：疫场(1)试确定该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.(2)在平面直角坐标系中，画出二次函数y=-2x²+4x+3的图象，并指出抛物线y=-2x²+4x+3是由抛物线y=-2x²经过怎样的平移得到的.(3)对于二次函数y=-2x²+4x+3,当x取何值时，y随x的增大而减小?∴该二次函数图象的开口向下，对称轴是直线x=1,顶点坐标是(1,5).(2)列表如下：x0123…353描点、连线，二次函数y=-2x²+4x+3的图象如图所示.将抛物线y=-2x²先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到抛物线y=-2x²+4x+3.(平移方式不唯一)系数a系数abC判断角度图象的特征正负性图象特征开口方向开口向上开口向下对称轴对称轴为y轴对称轴在y轴左侧对称轴在y轴右侧与y轴交点经过原点与y轴正半轴相交与y轴负半轴相交变式5(1)已知(-3,y₁),(2)已知二次函数y=x²+简记为“左同右异”拓展8简记为“左同右异”系数的符号a,b同号a,b异号【例6已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结等于1的实数).其中正确的结论有变式6()解析∵抛物线的开口向下，∴a<0,∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴a,b异号，∴b>0,∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c>0,∴abc<0,故结论①正确.由图象可知x=-1时y<0,∴a-b+c<0,即a+c<b,故结论变式6已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如>0;②a+3b+9c>0;③4a+b只能为0;⑤3b-c<0.其中,2c<3b,故结论④正确.∵抛物线的开口向下，∴当x=1+bm+c,即a+b>m(am+b)(m≠1),故结论⑤错误.综上，正确的结论为①③④,共3个.故选B.题型题型题型解读解决图象共存问题的常用方法：【例1在同一平面直角坐标系中，一次函数y=kx是常数且k≠0)-2k和二次函数是常数且k≠0)BABDCD思路分析k的正负不确定，故要分k>0和两种情况讨论答案C题型解读求解.例2如果抛物线y=x²+bx+c沿平面直角坐标系先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线y=x²-2x+1,你能确定b,c的值吗?试试看.下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度，得抛物线y=(x-1-2)²-3,即y=x²-6x+6,∴b=∵抛物线y=(x-1)²是抛物线y=先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的，题型3利用二次函数图象的对称性B点，在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使PB+PO的值最小?若存在，求出P点坐标，并求出PB+PO的最小值；若不存在，请说明理由.解析存在.把x=0代入,得y=3,如图，作点B关于抛物线对称轴对称的点B',连接OB′,与抛物线的对称轴交于点P,连接PB,此时PB+PO的值最小，为OB′的长.由题意可得抛物线的对称轴为直线x=3,∴B'(6,3),易知直线OB′的表达式为.∵BB′⊥OB,∴△OBB′是直角三角形，∴PB+PO的最小值为3√5题型4求二次函数的最值问题题型解读(1)若二次函数自变量的取值范围是全体实数，则函数图象顶点的纵坐标即为函数的最大值或最小值，即当时(2)自变量的取值范围受限时，求二次函数最值的常用方法如下：①若在自变量的取值范围x₁≤x≤x₂内，则当a>0时，最小值在处取得，最大值在x=x₁或x=x₂处取得；当a<0时，最大值在x= 处取得，最小值在x=x₁或x=x₂处取得.②若不在自变量的取值范围x₁≤x≤x₂内，则利用函数的增减性确定最值(或函数在x=x₁,x=x₂时的函数值中，较大的为最大值，较小的为最小值).【例4已知二次函数y=x²-2x+5,当m≤x≤m+1时，其最小值为6,则m=·思路分析确定二次函数的表达式用待定系数法求函数表达式的步骤.二次函数的三种常见表达式.知识点知识点用待定系数法求二次函数的表达式用待定系数法求二次函数表达式的步骤拓展已知函数图点坐标y=ax²+bx+c函数最值y=a(x-h)²+k点坐标代入出系数表达式与x轴的交点→ 例题分别根据下列条件，求二次函数的表达式.(1)图象经过点(0,0),(1,1)和(2,5).(2)图象的顶点坐标是(-2,1),且经过点(1,-2).(3)图象与x轴交点的横坐标分别是-2和3,且函数有最小值-3.解析(1)设所求函数的表达式为y=ax²+bx+c.将点(0,0),(1,1),(2,5)的坐标分别代入表达式，得解得∴所求函数的表达式为(2)设所求函数的表达式为y=a(x+2)²+1,将点(1,-2)的坐标代入上式，(3)设所求函数的表达式为y=a(x+2)(x-3),即y=ax²-ax-6a.∵函数有最小值-3,函数表达式最后要整理成一般式设二次函数解析式看对称点二次函数的应用知识点1利用二次函数求几何图形的最值问题拓展内容图形的面积，根据图形面积构造关于x的二次函数，再利用抛物线的顶点坐标求出二次函数的最值，从而解决有关几何图形面积的最值问题一般步骤①分析几何图形的特点，设出自变量x,根据两个变量之间的关系列出的正确性以及是否符合实际意义原理一般地，当a>0(a<0)时，抛物线y=ax²+bx+c的顶点是最低(高)点，也【例1如图，某中学把五育并举与减负延时服务相结合，准备在校园里利用校围墙的一段再围三面篱笆形成一个矩形茶园ABCD,让学生在茶园里体验种茶活动.现已知校围墙MN的长为25米，篱笆的长为40米(篱笆全部用完),设AB的长为x米，矩形茶园ABCD的面积为S平方米.变式1(1)求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围.(2)矩形茶园ABCD的面积是否有最大值?由题意得40-2x≤25,解得x≥7.5,.自变量的取值范围为7.5≤x<20,(2)矩形茶园ABCD的面积有最大值.∵-2<0,∴当x=10时，S取最大值，最大值为200.利用几何图形的面积公式建立函数关系在直角三角形中立函数关系利用图形面积的和或差表示图形的面积，从而建立函数关系变式1某校为七年级新生底面周长为180cm,高为20cm.当底面的一边长x 利用二次函数求解最大利润问题的一般思路设出自变量，用含自变用因变量及含自根据函数表达式求用含自变量量的代数变量的代数式分出最值及取得最值的代数式表→式表示销→别表示销售总利→时自变量的值，注示销售单价售商品的润，即可得到函意结果要符合实际及销售量数表达式意义和题意【例2某公司新研发了一批便携式轮椅，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元.设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元.变式2(1)求y与x的函数关系式.每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大?最大利润为多少元?(2)公司某天共获得销售利润12160元，则这天售出了多少辆轮椅?增大...当x=20时当每辆轮椅降价20元时，每天销售利润最大，最大利润为12240元.知识点3利用二次函数解决抛物线形问题注意拓展2最大利润问题的特点及解题关键最大利润问题的特点：销售价格变化，销售数量随之变化，销售利润也随之变化.解题关键是明确销售总利润=单件利润×销售数量=(起始售价±变化价格 -成本价)×(起始数量干变某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y(单位：个)与销售价格x(单位：元/个)的关系如图，当10≤x≤20时，其图象是线段AB,则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元.立平面直角坐标系的方法有多种，建立适当的平面直角坐标系能简化函数表达式.题(如球类运动路线、隧道通过构建二次函数模型来数形结合思想和函数思想.抛物线形建筑物问题运动路线问题常见情形抛物线形桥洞、涵洞、门窗等运动员空中跳跃的轨迹、球类运行的轨迹、喷头喷出的水的轨迹等具体(1)建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放置在坐标(2)从已知和图象中获得求二次函数表达式所需要的条件；(3)利用待定系数法求出抛物线的表达式：(4)运用已求出的抛物线的表达式去解决相关问题解题技巧系数法去求二次函数的表达式，可设表达式为y=ax²(a≠0)第二章二次函数31【例3一座拱桥的桥洞的轮廓是抛物线形(如图①所示),拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离为5m.变式(1)将抛物线放在所给的平面直角坐标系(如图②所示)中，其表达式是y=ax²+c的形式，请根据所给数据求出a,c的值.(2)求支柱MN的长度.(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带),其中的一侧行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?请说说你的理由.解析(1)由题意可知A,B,C的坐标分别是(-10,0),(10,0),(0,6),将点B,C的坐标代入y=ax²+c中，解得(2)由(1)得抛物线的表达式是根据题意，可设N(5,yn),于.支柱MN的长度是10-4.5=5.5(m).(3)能.理由：如图所示，设DE的长是隔离带的宽度，EG的长是三辆汽车的宽度和，则点G的坐标是(7,0).过点G作GH⊥AB,交抛物线于点H,则根据抛物线的特点可知，一侧的行车道能并排行驶这样的三辆汽车.处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点0在同落点距0点2.5m,喷头高4m时，水柱落点距0点5二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程的关系.利用二次函数图象解不等式.利用二次函数图象求一元二次方程的近似根.二次函数与一元二次方程的关系利用二次函数的图象求不等式的解集利用二次函数图象求一元二次方程的近似根二次函数与一元二次方程二次函数与一元二知识点1.二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程根的关系如果抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴有交点，交点的横坐标是x₀,那么当x=x。时，函数值是0,因此x=x。是方程ax²+bx+c=0(a≠0)的一个根，即二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次2.二次函数与一元二次方程的联系二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点有三种情况：没有交点，有一个交点，有两个交点.这对应着一元二次方程ax²+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根.上述关系如下表所示：示意图图象与x轴交点情况拓展2一元二次方程有两个交点有两个不相等的实数根有一个交点有两个相等的实数根没有交点无实数根例1已知二次函数的图象经过A(0,3)两(2)二次函数的图象与x轴是否有交点?若有，求交点的坐标；若没有，请说明理由.拓展1求二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与坐标轴交点坐标的方法(1)求二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，令y=0,解方程ax²+bx+c=0,方程的根就是二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交点的横坐标；若方程无实数根，则图象与x轴无交点.(2)求二次函数y=ax²+bx+c次函数y=ax²+bx+c的图象拓展2可根据抛物线的开口方向和顶点的纵坐标确定二次函数图象与x轴交点的个数.开口方向顶点的纵坐标与x轴交上正0上01上负2下正2下01下负0变式1若函数y=ax²+bx的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax²+bx+5=0的根的情况为()解解(2)由(1)可得该抛物线的表达式为∴二次函数的图象与x轴有交点.的解为x₁=-2,x₂=8,∴交点的坐标是(-2,0),(8,0).二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)与不等式ax²+bx+c>0及ax²+bx+c<0的关系如下表：抛物线y=ax²+bx不等式ax²+bx+c>0的解集不等式ax²+bx+c<0的解集抛物线y=ax²+bx不等式ax²+bx+c>0的解集不等式ax²+bx+c<0的解集+c(a≠0)的图象在x轴上方的点的横坐标的取值范围是不等式ax²+bx+c>0(a点的横坐标的取值范围是不等式ax²+bx+c<0(a≠0)的解集.在同一平面直角坐标系中绘制出二次函数y=ax²+bx在直线y=mx+n上方部分对应的自变量的取值范围即为不等式ax²+bx+c>mx+n的解集.A.无实数根A.无实数根C.有两个相等的实数根解一元二次不等式：x²-5x>0.解：设x²-5x=0,解得x₁=0,x₂=5,则抛物线y=x²-5x与x轴的交点坐标为(0,0)和(5,0).由图象可知，当x<0或x>5时，函数图象位于x轴上方，所以一元二次不等式x²-5x>0的解集为x<0或x>5.通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题.变式2(1)上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的和.(只填序号)①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想.在x轴下方的图象所对应的x的取值范围 (2)一元二次不等式x²-5x<0的解集为·即为不等式的解集 (3)用类似的方法解一元二次不等式x²-2x-3>0.(2)由图象可知，当0<x<5时，函数图象位于x轴下方，此时y<0,即x²-5x<0,∴一元二次不等式x²-5x<0的解集为0<x<5.∴抛物线y=x²-2x-3与x轴的交点坐标为(3,0)和画出二次函数y=x²-2x-3的大致图象如图所示，由图象可知，当x<-1或x>3时函数图象位于x轴上方，此时y>0,即x²-∴一元二次不等式x²-2x-3>0的解集为x<-1或x>3.利用二次函数的图象求一元二次方程近似根的一般方法注意2把一元二次方程整理为一般形式，即ax²+bx+c=0(a>0)画出二次函数y=ax²+bx+c的图象，如果图象与x轴有交点，那么根据图象估计每个交点的横坐标的大致范围，即为ax²+bx+c=0的每个根的大致范围根据对根的近似值的精确度要求，借助于计算器进行“试值”,一直试到函数值的符号发生变化为止确定对函数值的符号刚好发生变化时的两个函数值进更接近于0,则比较接近于0的函数值所对应的自变量的值，即为方程的一个根的近似值；同理确定方程的另一个根的近似值+c与直线y=mx+n交于D.x<-1或x>3注意2当一元二次方程的题型题型例1已知函数y₁=x²与函数的图象大致如图所解得x₁=500,x₂=-500(不符合题意，舍去),∴飞机到P例1已知函数y₁=x²与函数的图象大致如图所示.若y₁<y₂,则自变量x的取值题型示.若y₁<y₂,则自变量x的取值范围是范围是()所以两个函数图象交点的横坐标分别为若y₁<y₂,则函数y₁=x²的图象在函数的图象下方，所以自变量x的取值范围答案C题型2利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题例2如图所示，空军某部奉命赴灾区空投救灾物资.已知空投物资离开飞机后的运动轨迹是抛物线的一部分，抛物线顶点为机舱舱口A.如果空投物资离开A处后下落的垂直高度AB=160米，它到A处的水平例3已知关于x的二次函数γ₁=kx²+(2k-1)x-2(k为常数，k≠0)和一次函数y₂=x+2.(1)若二次函数y₁的图象不经过第一象限，求k的取值范围.(2)已知二次函数y₁的图象与x轴的两个交点间的距离等于3.①试求此时k的值；②若y₁>y₂,试求x的取值范围.解析(1)∵二次函数可化为∴该二次函数的图象与x轴的交点坐标为(-2,0),,易知二次函数y₁的图象与y轴的交点坐标为(0,-2),且不经过第一象限，∴必不在x轴的正半轴上，,即k<0.(2)①∵二次函数y₁的图象与x轴的两个交点间的距离等于3,即-2或x>2;当-2或x>2;当把点C(200,840)的坐标代入，得840=200²a+,即(x+2)(x+1000,解得10)<0,解得-10<x<-2.1000,解得本章知识梳理定义一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数开口方向—a>0时，开口向①;a<0时，开口向②当a>0时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大增减性在对称轴右侧，y随x的增大而④最值二二次函数左加右减自变量，上加下减常数项设设一般式—y=ax²+bx+c(a≠0)(已知图象上三个点的坐标)设顶点式—y=a(x-h)²+k(a≠0)(已知图象的顶点坐标或对称轴)设交点式—y=a(x-x,)(x-x₂)(a≠0)(已知图象与x轴的两个交点坐标)数形结合抛物线y=ax²+bx+c与x轴交点的⑦即为一元二次方程ax²+bx+c=0的根有两个交点⇔△>0有一个交点⇔△⑧0没有交点⇔△<0注意自变量的取值范围应用建立二次函数模型—利用图象和性质解决实际问题方程的关系待定系数法抛物线与x轴的交点情况第三章第三章圆及圆的有关概念.点与圆的位置关系.点与圆的位置关系圆由点与圆的位置关系求半径的取值范围圆及圆的相关概念知识点圆的定义0叫做圆心，线段OA叫做半径集合性定义：圆心为0,半径为r的圆可以看成是平面上到定点0的距离等于定长r的所有点的集合以点0为圆心的圆记作⊙0,读作“圆0”圆的特性(1)圆上各点到定点(圆心0)的距离都等于定长(半径);(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上弦和直径连接圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径劣弧等圆能够重合的两个圆叫做等圆.容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等拓展1等弧点与圆的位置关系图示数量关系数学语言描述点在圆内d<r→点在圆内注意1圆有两个要素：圆注意2圆指的是“圆周”,即一条封闭的曲线，不包拓展1同圆、等圆、同心圆的区别(1)同圆指的是同一个圆.(3)同心圆指的是不同的心相同.拓展2(1)从集合性定义判断点和圆的位置关系：一个圆将平面分成三个部分：①圆的外部可以看成到圆心的距离大于半径的点的集合；②圆可以看成到圆心的距离等于半径的九年级下册北师大版点与圆的位置关系图示数量关系数学语言描述点在圆上d=r⇔点在圆上点在圆外d>r⇔点在圆外(1)若以点A为圆心，6cm为半径作⊙A,则(2)若作⊙A,使B,C,D三点至少有一个点在◎A内，至少有一个点∴⊙A的半径r的取值范围是6cm<r<10cm.BBA题型题型由点与圆的位置关系求半径的例题如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，选取7个格点(小正方形的顶点),若以点格点中除点A外恰好有3个点在圆内，则r的取值点B,C,D,2圆的对称性圆的对称性.圆的圆的圆的对称性一对称性对称性圆的对称性1.轴对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.直径是对称轴2.中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心.定理推论内容对的弧相等，所对的弦相等注意在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量角、两条弧、两条弦中有一组量符号语言如图所示(以同圆为例).如图所示，已知AB和CD是⊙0的两条直径，弦CE//AB.求证：连接半径是常见的辅助线作法题图解析图拓展圆是以圆心为对称中心的中心对称图形，实际上，一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这的中心对称性是其旋转不变性的一个特例.这个条件，则即使圆心角相等，也不能判定其所对变式如图，是⊙0上的点，∠1=∠2,则=∠AOC.其中正确的结论是(填序号).本节变式答案题型关系求角的度数EB的三等分点，连接OC,OD,OE,当∠BOC=35°【例3如图所示，A为⊙0上半圆MN的三等分点，B是AM的中点，P为直径MN上的一动点，⊙0的半径为1,求点，B是AM的中点，P为直径MN上的一动点，⊙0的半径为1,求AP+BP的最小值.答案D题型2运用圆心角、弧、弦之间的关系证明线段或弧相等题型解读解析如图所示，作点B关于MN解析如图所示，作点B关于MN的对称点由圆的对称性可知E在⊙0上，连接AE交MN于点P,则此时PA+PB的值最小，且等于AE长.连接OE.圆心)的三等分点，AB分别交OC,OD于点E,F.求B证明如图所示，连接AC,根据圆的对称性可得∠MOEB证明如图所示，连接AC,∵C,D是AB∵C,D是AB的三等分点，垂径定理 垂径定理.垂径定理的推论.垂径定理垂径定理的推论垂径垂径定理垂径定理的推论垂径定理知识点内容垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧拓展详解①定理的条件：直径垂直于弦.定理的结论：直径平分弦，且平分弦所对的弧.的“平分弧”包括平分弦所对的优弧和劣弧符号语言∵CD⊥AB,且CD是直径，离OE=4,则⊙0的半径长为变式1()C.5内容详解①推论的条件：直径平分弦，弦不能是直径.推论的结论：直径垂直于弦，且平分弦所对的弧.②一定不能忽略“被平分的弦不是直径”这个条件，因为圆中任意两条直径都是互相平分的，但它们未必垂直初中数学九年级下册北师大版拓展1在运用垂径定理解决问题时，常涉及弦长a、弦心距d(圆心到弦的距离)、半径r及弓形的高h(弦所对的弧的中点到弦关系.的半径长为·垂径定理及其推论是圆的轴对称性的延续.在圆中，一条直线(或线段)只要满足下列五个条件：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径);④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中的任意两个，那么其余三个都可以作为由它们推符号语言,,思路分析题目已知D,E分别是AB,AC的中点，连接OD,OE,这样OD,OE就分别垂直平分AB,AC,我们就能得到更多的角之间的关系和线段之间的关系.要证明AM=AN,只需证明∠1=∠2,通过角的转化易得.证明如图，连接OD,0E分别交AB,AC于点F,G.CD=10,AB是⊙0的弦，AM=BM,OM:OC=3:5,题型例1⊙0的半径为10cm,圆内两条平行弦AB,CD的长分别为12cm,16cm,求两弦之间的距离.解析如图，过0作EF⊥AB于点E,交于当AB与CD在圆心0两侧时，如图1所示，EF==8-6=2(cm)..两弦之间的距离为14cm或2cm.【例2“桨轮船”是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导.如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB交水面AB于点D,轮子的吃水深度CD为2m,求该桨轮船的轮子直径.解析设该桨轮船的轮子半径为rm,解得r=5.2×5=10(m).∴该桨轮船的轮子直径为10m.4圆周角和圆心角的关系圆周角的定义.圆周角定理.圆周角定理的推论.圆内接四边形.圆周角定理的推论圆内接四边形圆周角和圆心角的关系性质与圆的其他知识点圆周角圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半符号语言如图所示，∠BAC为BC所对的圆周角之一∠BOC是BC所对的圆心角，则A.38°B.23.5°C.41°故选D.内容符号语言图示推论1同弧或等弧所对的圆周角相等(2)圆周角和圆心角的区别与联系类型圆心角圆周角区别顶点在圆心顶点在圆上唯一的中，一条弧所对的圆周角有无数个联系注意2(1)不能将“同弧或因为一条弦对着两条弧，所以同弦或等弦所对的圆周角不一定相等.内容符号语言图示推论2直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径是直径例2如1.圆内接四边形：如图所示，四边形ABCD的四个顶点都在⊙0上，像这样的四边形叫做圆内接四边