2025年2月浙江G12名校协作体高三返校考数学

第1页/共22页2024学年第二学期浙江省名校协作体适应性试题高三年级数学学科1.复数z=2-i（i为虚数单位则z=()【答案】D【解析】【分析】由复数模的定义计算．【详解】由已知故选：D．x2【答案】D【解析】【分析】根据集合的描述法确定集合A,B，再根据集合的交集运算即可得答案.故选：D.第2页/共22页A.1B.C.D.1【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示，及共线向量的坐标表示求出参数.所以4(3x)=10，解得x.故选：C4.某圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面的夹角为，则该圆台的侧面积为()A.12πB.12πC.6πD.6π【答案】A【解析】【分析】根据条件求出圆台的母线长，结合圆台侧面积公式可得结果.【详解】设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，母线长为l，则r=2,R=4，由题意得，l故选：A.5.已知随机变量X服从二项分布B(3,)，则P(X>E(X))=()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用二项分布的期望公式求出期望，再利用二项分布的概率公式求出概率.【详解】由随机变量X服从二项分布B(3,)，得E所以P(X>E(X))=P(X>1)=C()2.+C()3=.故选：B第3页/共22页A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】析判断即可得解.【详解】当x=0时，sinsincoscos0=1，满足方程sincos所以x=0是方程的一个实数解；满足方程sincos所以x=也是方程的一个实数解；当xcosxsinx),l，所以此时方程无解；第4页/共22页此时sincos显然方程sincos无解；故选：B.A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，结合已知及抛物线定义求出A,B的纵坐标即可.【详解】直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+6，A(x1,y1),B(x2,y2)，由消去y得x2-4kx-24=0，则x1x2=-24，y1y故选：C8.在等腰梯形ABCD中，AD//BC．设P是其内部一点，满足PA=1，PB=2，PC=3，PD=4，A.B.C.2D.3【答案】D【解析】【分析】建立直角坐标系，利用两点的距离公式求解即可.【详解】由题意，以BC中点为原点，BC所在直线为x轴建立如图所示坐标系，第5页/共22页④-①得-4ax=15，③-②得-4bx=5，所以，所以故选：D9.为得到函数y=ln(ex)的图象A.向上平移一个单位长度B.向下平移一个单位长度C.纵坐标不变，横坐标伸长为原来的e倍D.纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍【答案】AD【解析】【分析】根据函数图象变换可得结果.【详解】由题意可得，函数y=lnx的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，可得到函数y=ln(ex)的图象，故选项C错误，选项D正确.∴将函数y=lnx的图象向上平移一个单位长度可得到函数y=ln(ex)的图象，故选项A正确，选项B错误.故选：AD.10.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=3，点D、E分别在棱B1B、C1C上运动（D不与B1重合，E不与C1重合使得△A1DE是等腰三角形．记△A1DE的面积为S，平面A1DE与平面ABC所成第6页/共22页锐二面角的平面角大小为θ,则.A.DE//平面A1B1C1B.△A1DE可能为等腰直角三角形【答案】BCD【解析】【分析】取BC的中点O，则AO丄BC，以点O为坐标原点，、、AA1的方向分别为x、y、z轴=DE三种情况讨论，结合空间向量法逐项分析，即可得出结果.【详解】在正三棱柱ABC-A1B1C1中，取BC的中点O，则AO丄BC，以点O为坐标原点，、、AA1的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，△A1B1C1为等边三角形，因为△A1DE为等腰三角形，有三种情况：①A1D=A1E；②A1D=DE；③，B1C1平面A1B1C1，则DE//平面A1B1C1，因为此时，△A1DE不可能是等腰直角三角形；第7页/共22页线段DE的中点为M(0,0,d)，1=1，M为DE的中点，则A1M丄DE，由d-3)z=0，取x=d-3，可得)，m.n 2，2，=可得(d-3)2=(d-e)2，可得(e-3)(2d-e-3)=0，若DE//平面A1B1C1，DEC平面BB1C1C，平面BB1C1C平面A故假设不成立，即DE与平面A1B1C1不平行；第8页/共22页此时△A1DE可能为等腰直角三角形；取线段A1E的中点N，连接DN，则DN丄A1E，且N 第9页/共22页综上所述，对于A选项，DE与平面A1B1C1不一定平行，A错；对于B选项，△A1DE可能为等腰直角三角形，B对；对于C选项，S的取值范围是C对；对于D选项，θ的取值范围是，D对.故选：BCD.【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法：（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；（2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.11.观察下面一组等式：2343.记a(i,j)表示第i个等式中等号右边第j个数，如a(3,2)=9，a(4,3)=17，则()a(45,j)j∈N*}B.a(n,1)=n2-n-1.【答案】ACD【解析】【分析】通过分析计算a(n,1)和a(n,n)，即可确定选项A正确，选项B错误；根据a(i,1)计算a(i,2)，利用放缩正确.【详解】由题意得，所有等式等号右边的数构成以1为首项，2为公差的等差数列，第10页/共22页第n个等式等号右边为n个连续奇数的和，前n-1个等式等号右边共有1+2+3++个奇数，+n-1，选项B错误.a(45,j)j∈N*}，选项A正确.2-ii,2)2-i选项C正确.，4,4)i,j)故选：ACD.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是观察得到所有等式等号右侧的项构成等差数列，根据等差数列的通项公式计算a(n,1)和a(n,n)，由此分析a(n,2)和a(n,j)，从而确定正确选项.12.已知函数若f(m+1)≤1，则m的取值范围是__【答案】[-2,0)【解析】【分析】讨论m+1的取值范围，解不等式可得结果.2第11页/共22页∴m的取值范围是[-2,0).故答案为：[-2,0).13.已知VABC满足tanA，tanB是方程x2-10x+6=0的两个根，则cosC=______．【答案】【解析】【分析】利用韦达定理、和角的正切公式及同角公式计算得解.【详解】由tanA，tanB是方程x2-10x+6=0的两个根，得tanA+tanB在VABC中，tanC=-tanC为锐角，故答案为：14.如图，14块相同的正方体垒放在桌子上，每次施法会随机让其中某块正方体消失，直到所有正方体全部消失不见．如果某次被施法的正方体的正上方仍有其他正方体，那么它正上方的正方体会竖直掉落下来，我们称发生了“坍塌”．那么在全部14次施法过程中，不发生坍塌的概率为______．【答案】【解析】【分析】利用排列组合求出基本事件的总数和随机事件中的总数后可求概率.【详解】把题设中的14个小正方体编号如下：其中1代表最上方的一个小正方体，第二层、第三层相应的标号如下图所示.第12页/共22页与1号小正方体在同一个竖直方向小正方体从上至下记为2,6，标号为3的正方体下面的小正方体标号为7，标号为4的正方体下面的小正方体标号为8，标号为5的正方体下面的小正方体标号为9，若不发生坍塌，则则全部14次施法过程中，不发生坍塌的事件总数为C4C1CCA设事件A为：“全部14次施法过程中，不发生坍塌”，则P故答案为：.【点睛】思路点睛：对于古典概型的概率计算问题，我们在计算事件总数时需借助排列组合的方法，对于一些比较繁琐的计数问题，我们可以将问题模型化，从而便于计数.15.已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an-2．（1）求{an}的通项公式；（2）在{an}相邻两项中间插入相邻两项的等差中项，求所得新数列{bn}的前2n项和T2n．nn-5【解析】【分析】（1）由Sn=2an-2可得Sn+1=2an+1-2，两式相减，根据等比数列的定义，代入通项公式，即可得答案.（2）设数列{cn}满足cnn-1，记{cn}的前n项和为Rn，则T2n=Rn+Sn，根据等比数列求第13页/共22页和公式，代入计算，即可得答案.【小问1详解】n-2可得Sn+1=2an+1-2．所以{an}是以2为首项，公比为2的等比数列，【小问2详解】设数列{cn}满足cnn-1．记{cn}的前n项和为Rn，则T2由等比数列的求和公式得：Sn，Rnnn-5．16.已知函数f=ln是奇函数．（1）求a；（2）求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；（3）证明：函数g(x)=f(x)-2sinx有且仅有1个零点．（2）2x-y=0（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据奇函数定义得f(-x)=-f(x)，代入可求得a的值.(x)，计算切线斜率即可得到切线方程.第14页/共22页(x)，分析函数g(x)的单调性即可确定证明结论..【小问1详解】∵函数f=ln是奇函数，a2-1)x2+a2-1=0对定义域内任意x恒成立，由得f定义域为(-1,1)，符合题意.【小问2详解】∴f’f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x，即2x-y=0.【小问3详解】(x)=f(x)-2sinx=ln(1+x)-ln(1-x)-2sinx，cosx≥0，故g(x)在(-1,1)上∴g(x)有且仅有1个零点，零点为0.（1）设P在平面ABCD内的射影为Q，证明：cos上P第15页/共22页（2）若cos上PAD，求直线PC与平面PAD所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；【解析】【分析】（1）作QM丄AD于点M，结合条件可证AD丄平面PQM，进而可得PM丄AD，即证；或利用坐标法；（2）利用线面垂直的判断定理可得AB丄平面PAQ，然后利用等积法可求C到平面平面PAD的距离，即得；或利用坐标法.【小问1详解】方法一：在平面ABCD内作QM丄AD于点M，连接PM．∵P在平面ABCD内的射影为Q，∵AD平面ABCD，AQ平面ABCD，方法二：在平面ABCD内作QM丄AD于点M，连接PM．∵P在平面ABCD内的射影为Q，第16页/共22页∵AB平面ABCD，同理可得AQ丄AB，所以AB，AQ，PQ两两垂直．如图，以A为原点AQ，QP分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，则由已知得设P(0,y0,z0)(y0>0,z0>0)，则Q(0,y0,0)．所以=(0,y0,z0)于是【小问2详解】方法一：连接AC，QD，第17页/共22页同理可得AB丄平面PAQ．∵底面ABCD为菱形，∴△ACD的面积SAD.CDsin上ADC△PAD的面积SAD.PAsin上PAD记C到平面平面PAD的距离为d，直线PC与平面PAD所成角为θ.ACDPAD，S1即直线PC与平面PAD所成角的正弦值为第18页/共22页方法二：由可得cos上PAD设平面PAD的法向量为=(x,y,z)，则设直线PC与平面PAD所成角为θ,则即直线PC与平面PAD所成角的正弦值为=4，点M(0,2)．（2）过点M作C的两条切线l1，l2，（3）在（2）的条件下，设l1或l2与C在第二象限的切点为P，求PF1F2面积的最大值．）；（2）证明见解析3）【解析】第19页/共22页【分析】（1）根据给定条件，求出a,b，进而求出离心率..（2）设出切线方程，与椭圆方程联立，利用判别式为0求出切线斜率即可得证.（3）设切点P(x0,y0)，由（2）可得a2=-2x0,-2<x0<-1，再利用x0表示出三角形面积，进而求出最大值.【小问1详解】所以椭圆C的离心率e【小问2详解】设过点M的椭圆C的切线方程为y=kx+2，由a2b2消去y得(a2k2+b2)x2+4a2kx+a2(4-b2)=0，4k2-4a4(a2k2+b2)=0，整理得(4-a2)k2=b2，即b2k2=b2，解得k=±1，不妨令直线l1的斜率为1，则直线l2的斜率为-1，1×(-1)=-1，所以l1丄l2.【小问3详解】由（2）知，切线方程为y=x+2，设切点P(x0,y0)，402 当且仅当1-t=2t，即t时取等号，第20页/共22页个互不相同的n-二进数组构成的集合，对于Sm,n中的任意两个元素α=(x1,x2,...,xn)和,y2,...,yn)，称fxiyi是α,β-特征值