2026福建名校联盟高三2月开学联考数学

准考证号姓名本试卷共4页，19小题，考试时间120分钟，总分150分。1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。A.[2,3]B.[2,3]A.1B.-13.双曲线C:的两条渐近线的夹角为4.已知随机变量X~N(2,o²),若P(X≤a)=0.2,且P(a≤X≤a+2)=0.6,则a=A.-]B.05.已知函8.已知函数f(x)=ax²+bx+Inx恰有两个极值点，且曲线y=f(x)与x轴相切，则a的取值二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多A.F的坐标为(1,0)B.直线AB的斜率为111.已知棱长为1的正四面体的四个顶点A,B,C,D均在球O的球面上，动点P,Q分别在棱BC,CD上(不包括端点),则C.Q到平面ABC和到平面ABD的距离之和为定值数学试题第2页(共4页)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。14.在平面直角坐标系xOy中，设集合U={(x,y)|x,y∈{0,1,2}},从U中随机选取2个不同的元素，其对应的点记为A,B,记事件M为“A,O,B三点能构成三角形”,事件N为“△AOB的面积恰为整数”,则p(M)=_;p(MM)=.(第一空2分，第二空3分)四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(13分)为研究某市高三年级学生身高和性别的关系，随机抽取了200名高三年级学生，得到如性别身高合计女m男n合计(1)求列联表中的m,n的值；将样本频率视为概率，若在全市高三学生中随机抽取6人，其中不低于170cm的人数记为X,求X的期望.(2)依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析高三年级学生的身高是否与性别有关.k16.(15分)(1)求{a}的通项公式；记数列{ba}的前n项和为T,若Vn∈N°,T,<t<S。,求t的取值范围.扫描全17.(15分)如图，在三棱锥P-ABC中，△PAB与△PBC均为等边三角形，平面PAC⊥平面ABC,D是PC的中点，E是PB上的动点.BB(1)证明：AB⊥BC;18.(17分)在直角坐标系xOy中，点F(-1,0),动点P在直线x=5的左侧，且到直线x=5的距离(1)求C的方程；(2)设不经过F的直线l的方程为y=kx+m(k>0),已知I交C于M,N两点，且(ii)是否存在实数m,使得∠FMN=2∠FNM?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.19.(17分)(1)讨论函数h(x)=f(x)-g(x)的单调性；(2)若曲线y=f(x)和y=g(x)存在公切线，求a的取值范(3)若存在相异实数m,n,使得f(m)=g(n),且f(n)=g(m),求a的取值范围.数学试题第4页(共4页)数学试题参考答案124789CACBDf(x)有两个极值点等价于关于x的方程2ax²+bx+1=0有两个相异正实数解，所以可知b²>8a,且a>0,b<0,曲线y=f(x)与x轴相切，则f(x)的极值中有一个为0,不妨设f(x₁)=ax²+bx₁+1nx₁=0,易知2ax²+bx+1=0,所以解得Inx₁>1,且且令函数,则则g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，综上所述，a的取值范围为,应选D.符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.设CP=x,CQ=y,x,y∈(0,1),所,即在△PCQ中，又,所以三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.因此，A,o,B三点能构成三角形的种数为36-8-3=25,所以方法1:①考虑A,B中含点(1,0),且使得△AOB的面积为整数的点对的情况，有③考虑A,B中含点(0,1),且使得△AOB的面积为整数的点对的情况(去除重复的点对),④考虑A,B中含点(0,2),且使得△AOB的面积为整数的点对的情况(去除重复的点对),⑤考虑A,B中含点(2,2),且使得△AOB的面积为整数的点对的情况(去除重复的点对),方法2:不妨设A(x,y₁),B(x₂,y₂),易知△AOB的面积为将非原点的8个点按坐标的奇偶性分突如下：(偶，偶):(0,2),(2,0),(2,2),有3个；(偶，奇):(0,1),(2,1),有2个；(奇，偶):(1,0),(1,2),有2个；(奇，奇):(1,1),有1个，令d=x₁y₂-x₂y₁,则d为奇数当且仅当x₁y₂,X₂y₁中恰为一奇一偶，有2×2+2×1+2×1=8种，注意到在A,0,B三点能构成三角形的前提下，d为偶数的种数为25-8=17,四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.为研究某市高三年级学生身高和性别的关系，随机抽取了200名高三年级学生，得到如性别身高女m男n人，其中不低于170cm的人数记为X,求X的期望.(2)依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析高三年级学生的身高是否与性别有关.解：(1)由题意，n=90-60=30,m=200-90-90=20,……2分将样本频率视为概率，若在全市高三学生中随机抽取6人，其中不低于170cm的人数记为X,则…………6分(2)零假设为H₀:高三年级学生的身高与性别无关，高三数学第4页(共10页)…11分16.(15分)(1)求{a,}的通项公式；(2)若,记数列{bn}的前n项和为Tn,若Vn∈N°,Tn<t<Sn,求t的取值范围.解：(1)因为3a₁=2S₁+1=2a+1,所以q=1,…当n≥2时，3an-1=2Sₙ-1+1,……分所以3aₙ-3an-1=2an,即αn则{an}是首项为1,公比为3的等比数列，………7分因为,…………11分…13分…15分17.(15分)(2)若直线AD与平面ACE所成角的正弦值为求平面ACE与平面ABC的夹角的余弦值.∵平面PAC⊥平面ABC,POc平面PAC,BOc平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,在Rt△POB中，有……4分…9分令x₁=λ,则n=(λ,0,λ-1),设直线AD与平面ACE的夹角为α,………12分…13分…14分…15分18.(17分)(1)求C的方程；(2)设不经过F的直线l的方程为y=kx+m(k>0),已知1交c于M,N两点，且说明理由.解：(1)设P(x,y)(x<5),由己知，得5-x=10-√5·√(x+1²+y², 2分 3分两边平方，化简得C的方程为(2)(i)设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),,………4分得(4+5k²)x²+10knx+(5m²-20)=0,7分所以△=100k²m²-4×(4+5k²)(5m²-20)=80(5k²-m²+4)>0,分,……9分因为x²+x²的值与m无关，所以50k²-40=0,分(ii)若存在实数m符合题设，则sin∠FNM=sin(∠FMN-∠FNM),……11分因为sin(a+β)sin(α-β)=sin²acos²β-sin²βcos²α=sin²α-sin²β,高三数学第8页(共10页)分由(1)可知x²+x²=5,所以x₁=-2,x₂=1,……16分故,从而l的方程为显然这与1不经过F(-1,0)矛盾，所以不存在符合题设的实数m.…17分19.(17分)已知函数f(x)=Inx,x∈(0,+∞),且a≠0.(1)讨论函数h(x)=f(x)-g(x)的单调性；(2)若曲线y=f(x)和y=g(x)存在公切线，求a的取值范围；(3)若存在相异实数m,n,使得f(m)=g(n),且f(n)=g(m),求a的取值范围.解：(1)易,……1分当a<0时，令h'(x)=0,解得x=-a,曲线y=g(x)在点(x₁,g(x₁))处的切线方程为，y-g(x₁)=g'(x₁)(x-x₁)