导数的概念及其几何意义（1）课件-高二上学期数学人教A版选择性

5.1.2导数的概念及其

几何意义(1)5.1导数的概念及其意义复习回顾问题1

小车行驶的速度平均速度瞬时速度问题2

抛物线的切线斜率割线斜率切线斜率探究新知问题1

小车行驶的速度平均速度瞬时速度问题2

抛物线的切线斜率割线斜率切线斜率问题1

解决这两类问题时有什么共性——平均变化率——瞬时变化率——平均变化率——瞬时变化率探究新知问题1

解决这两类问题时有什么共性都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法，问题的答案也有一样的表示形式.下面我们用上述思想方法，研究更一般的问题.探究新知问题2

一般地，对于函数

y＝f(x)，自变量x从

x0变化到

这个过程中，函数值的平均变化率如何表示呢？自变量

x：函数值

y：函数

y＝f(x)从x0到的平均变化率：函数

y＝f(x)探究新知问题3函数

y＝f(x)在

x＝x0

处的瞬时变化率该如何表示呢？

追问

当

无限趋近于0时，平均变化率

是否一定会无限趋近于一个确定的值呢？探究新知考查f(x)＝|x|在x＝0附近的变化情况.举反例：当时，当时，这说明当

无限趋近于0时，平均变化率

不一定能无限趋近于一个确定的值.新知讲授定义：如果当无限趋近于0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即

有极限，我们称

y＝

f(x)在

x

＝

x0

处可导，并把这个确定的值叫做

y＝

f(x)在

x

＝

x0

处的导数

(也称为瞬时变化率

)，记作

或.用极限符号表示这个定义，就是导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达.问题4根据导数的定义，你能用导数来重述小车行驶速度问题和抛物线切线问题的结论吗？在P0(1,1)处的切线斜率在t=5时的速度问题1

小车行驶的速度平均速度瞬时速度问题2

抛物线的切线斜率割线斜率切线斜率——平均变化率——瞬时变化率——平均变化率——瞬时变化率在t=5时的速度.在P0(1,1)处的切线斜率新知讲授问题4根据导数的定义，你能用导数来重述小车行驶速度问题和抛物线切线问题的结论吗？

实际上，导数可以描述许多运动变化事物的瞬时变化率.比如效率、国内生产总值的增长率等.新知讲授例题分析

例1

设

，求分析：因为所以为了便于计算，我们可以先求出

，再对它取极限.例题分析

例1

设

，求解：方法总结问题5你能总结出求函数

y＝f(x)在

x＝x0

处导数的步骤吗？第一步，写出

并化简；第二步，求极限，

若

存在，则例题分析

例2

将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.

已知在第

x

h时，原油的温度（单位：℃）为

计算第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.例题分析

解：在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是

和所以因为同理，请完成具体的计算过程例题分析

追问：

和

在这个实际问题中的意义是什么？

在本题中

是原油温度在时刻

x0的瞬时变化率，它反映的是原油温度在时刻x0附近的变化情况.

表示在第2h时，原油温度的瞬时变化率为－3℃/h.这说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速率下降.导数(瞬时变化率)为负，体现了下降的变化趋势.例题分析

追问：

和

在这个实际问题中的意义是什么？

在本题中

是原油温度在时刻

x0的瞬时变化率，它反映的是原油温度在时刻x0附近的变化情况.

表示在第6h时，原油温度的瞬时变化率为5℃/h，这说明在第6h附近，原油温度大约以5℃/h的速率上升.导数(瞬时变化率)为正，体现了上升的变化趋势.例题分析

例3

一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts时汽车的速度（单位：m/s）为

y＝v(t)＝－t2＋6t＋60，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.追问：速度与瞬时加速度的关系是什么？瞬时加速度就是速度的瞬时变化率.例题分析

解：在第2s和第6s时，汽车的瞬时加速度就是

和所以因为同理，例题分析

追问：

和

在这个实际问题中的意义是什么？

在本题中

是t0时刻汽车的瞬时加速度，反映了速度在t0时刻附近的变化情况.

表示在第2s时，汽车的瞬时加速度是2m/s2，这说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加2m/s.导数(瞬时变化率)为正，体现了增加的变化趋势.例题分析

追问：

和

在这个实际问题中的意义是什么？

在本题中

是t0时刻汽车的瞬时加速度，反映了速度在t0时刻附近的变化情况.

表示在第6s时，汽车的瞬时加速度是－6m/s2，这说明在第6s附近，汽车的速度每秒大约减少6m/s.导数(瞬时变化率)为负，体现了减少的变化趋势.

瞬时速度是位移的瞬时变化率，瞬时加速度是速度的瞬时变化率.(2)瞬时变化率/导数：(3)根据定义求给定函数在某点处导数的步骤.无限逼近的极限思想课堂小结

(1)平均变化率：1.知识2.研究方法取极限(4)应用导数的意义对实际问题进行了分析和解释.课堂练习

教材P663.一个质点A沿着直线运动，位移y(单位：m)与时间t(