（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第1章 第04讲 基本不等式及其应用 讲义+随堂检测（教师版）

第页第04讲基本不等式及其应用1、基本不等式如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号；基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号．注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．【解题方法总结】1、几个重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）．特例：（同号）．（3）其他变形：①（沟通两和与两平方和的不等关系式）②（沟通两积与两平方和的不等关系式）③（沟通两积与两和的不等关系式）④重要不等式串：即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）．2、均值定理已知．（1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”．（2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”．3、常见求最值模型模型一：，当且仅当时等号成立；模型二：，当且仅当时等号成立；模型三：，当且仅当时等号成立；模型四：，当且仅当时等号成立．题型一：基本不等式及其应用【解题方法总结】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证．【例题1-1】已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】x，y都是正数，由基本不等式，，，，这三个不等式都是当且仅当时等号成立，而题中，因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立；中当且仅当时取等号，如即可取等号，D中不等式不恒成立．故选：D．【例题1-2】下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（

）已知，求的最小值；解答过程：；求函数的最小值；解答过程：可化得；设，求的最小值；解答过程：，当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】对：基本不等式适用于两个正数，当，均为负值，此时，当且仅当，即时等号成立，故的用法有误，故错误；对：，当且仅当，即时取等号，但，则等号取不到，故的用法有误；对：，，，当且仅当，即时取等号，故的用法有误；故使用正确的个数是0个，故选：.题型二：直接法求最值【解题方法总结】直接利用基本不等式求解，注意取等条件．【例题2-1】若，，且，则的最小值是____________．【答案】【解析】因为（当且仅当时，等号成立），所以，所以，所以，所以，所以的最小值为.故答案为：【例题2-2】已知实数，则的最小值为___________.【答案】【解析】∵，，，∴，当且仅当即时取等号.故答案为：.题型三：常规凑配法求最值【解题方法总结】1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．2、注意验证取得条件．【例题3-1】若，则的最小值为___________.【答案】0【解析】由，得，所以，当且仅当即时等号成立.故答案为：0【例题3-2】已知，则的最小值为__________.【答案】3【解析】，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：3.【变式3-1】若，则的最小值为______【答案】【解析】由，则.因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故答案为：.【变式3-2】若关于x的不等式的解集为，则的最小值为_________．【答案】8【解析】因为不等式的解集为，则，因为，所以，∴．当且仅当，即时，取到等号．故答案为：8题型四：消参法求最值【解题方法总结】消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！【例题4-1】已知正实数a，b满足，则的最小值是（）A．2B．C．D．6【答案】B【解析】由，得，所以，当且仅当，即取等号.故选：B.【例题4-2】若，，则的最小值为___________.【答案】【解析】因为且，则两边同除以，得，又因为，当且仅当，即时等号成立，所以.故答案为:【变式4-1】已知，，满足，则的最小值是______．【答案】.【解析】由，得，所以.当且仅当即时等号成立，所以的最小值是.故答案为：.题型五：双换元求最值【解题方法总结】若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．1、代换变量，统一变量再处理．2、注意验证取得条件．【例题5-1】设，，若，则的最大值为（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：法一：（基本不等式）设，则，条件，所以，即.故选：D.法二：（三角换元）由条件，故可设，即，由于，，故，解得所以，，所以,当且仅当时取等号.故选：D.【例题5-2】若，，，，则的最小值为______．【答案】【解析】由题意，，，，得：，设，则，故，当且仅当，即时取得等号，故的最小值为，故答案为：【变式5-1】已知，，，则取到最小值为________．【答案】．【解析】令，∴，∴，当且仅当时，等号成立，即的最小值是．题型六：“1”的代换求最值【解题方法总结】1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．1、根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法．2、注意验证取得条件．【例题6-1】若直线过点，则的最小值为______．【答案】【解析】∵直线过点，．，当且仅当，即，时取等号．的最小值为．故答案为：．【例题6-2】已知，则的最小值为__________.【答案】【解析】，，当且仅当时取等号，则的最小值为.故答案为：【变式6-1】已知，，且，则的最小值为______.【答案】1【解析】因为，所以，即，因为，，所以，，当且仅当，即时取等号.所以的最小值为1.故答案为：1【变式6-2】已知正实数满足，则的最小值为___________.【答案】8【解析】因为，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为8.故答案为：8.题型七：齐次化求最值【解题方法总结】齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解．【例题7-1】已知正实数a，b，c，，则的最小值为_______________．【答案】/【解析】由正实数a，b，，可得，所以而，当且仅当即时取等号，故，当且仅当时，即时取等号，故答案为：【例题7-2】已知a，b为正实数，且，则的最小值为______．【答案】6【解析】由已知条件得，，当且仅当，即，时取等号．故答案为：6.【变式7-1】已知，则的最大值是____________.【答案】【解析】，设，所以原式=，令所以原式=.(函数在上单调递增)，故答案为：题型八：利用基本不等式证明不等式【解题方法总结】类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明．【例题8-1】已知x，y，z为正数，证明：(1)若，则；(2)若，则．【解析】（1）因为，所以，同理可得，，所以，故，当且仅当时等号成立．（2），因为，所以，当且仅当时等号成立．【变式8-1】已知函数，若的解集为．(1)求实数，的值；(2)已知均为正数，且满足，求证：．【解析】（1）因为的解集为，所以，即，所以，又，所以，即.所以，当时，,得，则，当时，，得，当时，，得，不成立，综上所述：的解集为，因为的解集为．所以.（2）由（1）知，，所以，所以，当且仅当，时，等号成立，所以，所以，当且仅当，时，等号成立.题型九：与、平方和、有关问题的最值【解题方法总结】利用基本不等式变形求解【例题9-1】（多选）若实数，满足，则（

）A．B．C．D．【答案】BC【解析】,当时，，当且仅当或时等号成立，得，当时，，当且仅当或时等号成立，得，当时，由可得或，综合可得，故C正确，D错误；，当时，，故A错误，B正确；故选：BC.【例题9-2】（多选）已知，且，则（

）A．的最小值为4B．的最小值为C．的最大值为D．的最小值为【答案】ACD【解析】，当且仅当，即时取等号，则正确；，即，当且仅当，即时取等号，则B错误；，当，即时，，则C正确；，当且仅当时取等号，则D正确.故选：ACD【变式9-1】（多选题）设，，，则下列结论正确的是（

）A．的最大值为B．的最小值为C．的最小值为9D．的最小值为【答案】ABC【解析】对于A，因为，，，则，当且仅当时取等号，故A正确；对于B，因为，故，当且仅当时取等号，即的最小值，故B正确；对于C，，当且仅当且，即，时取等号，所以的最小值为9，故C正确；对于D，，故，当且仅当时取等号，即的最大值，故D错误．故选：ABC.1．（多选）（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足，则（

）A．B．C．D．【答案】BC【解析】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；因为变形可得，设，所以，因此，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．故选：BC．2．（多选题）（2020·海南·高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（

）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD3．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】［方法一］：（指对数函数性质）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.综上，.［方法二］：【最优解】（构造函数）由，可得，根据的形式构造函数，则，令，解得，由知.在上单调递增，所以，即，又因为，所以.故选：A.第04讲基本不等式及其应用随堂检测1．下列函数中，是偶函数且有最小值的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】对A，二次函数的对称轴为，不是偶函数，故A错误；对B，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故B错误；对C，，定义域为，所以函数是偶函数，结合三角函数的性质易判断函数无最小值，故C错误；对D，，定义域为，所以函数是偶函数，因为，，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数有最小值，故D正确.故选：D2．若正实数，满足．则的最小值为（

）A．12B．25C．27D．36【答案】C【解析】因为，所以．因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以，的最小值为27．故选：C3．已知实数满足，则的最小值是（

）A．5B．9C．13D．18【答案】B【解析】由，可得，所以，即，且，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：B.4．已知，则m，n不可能满足的关系是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】，即，即.对于A，成立.对于B，，成立.对于C，，即.故C错误；对于D，成立.故选：C.5．已知，，且，则ab的最小值为（

）A．4B．8C．16D．32【答案】C【解析】∵，∴，即：∴，∵，，∴，，∴，当且仅当即时取等号，即：，当且仅当时取等号，故的最小值为16.故选：C.6．已知，则下列命题错误的是（

）A．若，则B．若，则的最小值为4C．若，则的最大值为2D．若，则的最大值为【答案】D【解析】∵，∴，∴，故A正确；若，则，当且仅当时等号成立，故B正确；若，则，当且仅当时等号成立，故C正确；若，则，即，当且仅当时等号成立，故D错误.故选：D.7．（多选）已知实数a，b满足，则下列说法正确的有（

）A．B．C．若，则D．【答案】BC【解析】A选项：，由于函数在R上单调递增，则，即，已知，即，若取，，则，故A错误.B选项：因为，，，所以，当且仅当，即时等号成立，故B正确.C选项：若，则，且，，由于函数在上单调递增，所以，即，故C正确.D选项：令，，则，故D错误.故选：BC.8．（多选）已知，且则下列结论一定正确的有（

）A．B．C．ab有最大值4D．有最小值9【答案】AC【解析】A选项，，A正确；B选项，找反例，当时，，，，B不正确；C选项，，，当且仅当时取“=”，C正确；D选项，，D不正确.故选：AC.9．（多选）若实数满足，则（

）A．且B．的最大值为C．的最小值为7D．【答案】ABD【解析】由，可得，所以且，故A正确；由，可得，即，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为9，故C错误；因为，则，所以，故D正确.故选：ABD.10．函数在区间上的最小值为_____________．【答案】．【解析】，因为，所以，故，故，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：11．已知，，，写出满足“”恒成立的正实数的一个范围是______（用区间表示）．【答案】（答案不唯一，是的子集即可）【解析】由题意可知，当且仅当时取得等号，所以恒成立，故正实数的一个范围可以为（答案不唯一，是的子集即可）．故答案为：1．（2022•上海）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是A．B．C．D．【答案】【解析】因为，所以，当且仅当时取等号，又，所以，故正确，错误，，当且仅当，即时取等号，故错误，故选：．2．（2021•乙卷）下列函数中最小值为4的是A．B．C．D．【答案】【解析】对于，，所以函数的最小值为3，故选项错误；对于，因为，所以，当且仅当，即时取等号，因为，所以等号取不到，所以，故选项错误；对于，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为4，故选项正确；对于，因为当时，，所以函数的最小值不是