（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第3章 第03讲 三角函数的图象与性质 讲义+随堂检测（教师版）

第页第03讲三角函数的图象与性质知识点一：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．（2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．知识点二：正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中）函数图象定义域值域周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间递减区间无对称中心对称轴方程无注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是；正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离；知识点三：与的图像与性质（1）最小正周期：．（2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]．（3）最值假设．①对于，②对于，（4）对称轴与对称中心．假设．①对于，②对于，正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置．（5）单调性．假设．①对于，②对于，（6）平移与伸缩由函数的图像变换为函数的图像的步骤；方法一：．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形．方法二：．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少．【解题方法总结】关于三角函数对称的几个重要结论；（1）函数的对称轴为，对称中心为；（2）函数的对称轴为，对称中心为；（3）函数函数无对称轴，对称中心为；（4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为．（5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为题型一：函数的奇偶性【例1】使函数为偶函数，则的一个值可以是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，因为为偶函数，可得，所以，令，可得.故选：A.【变式1-1】函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若函数是偶函数，则（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数的图像向左平移个单位，得的图像，又函数是偶函数，则有，，解得，；所以.故选：C．【变式1-2】已知的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得，故，由于的图象关于y轴对称，则为偶函数，故,即，故的最小值为，故选：B【变式1-3】将函数的图象向右平移个单位得到一个奇函数的图象，则的取值可以是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数为奇函数，则，取，则．故选：D【解题方法总结】由是奇函数和是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：（1）若为奇函数，则；（2）若为偶函数，则；（3）若为奇函数，则；（4）若为偶函数，则；若为奇函数，则，该函数不可能为偶函数．题型二：函数的周期性【例2】已知，，是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则的最大值为（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意知函数的最小正周期，则，得，.将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，要使该图象关于原点对称，则，，所以，，又，所以当时，取得最大值，最大值为．故选：A【变式2-1】将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若对满足的，总有的最小值等于，则（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数的周期为，将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，可得，由可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，且，不妨设，则，即在时取得最小值，由于，此时，不合题意；，此时，当时，满足题意.故选：C.【变式2-2】函数（）的图像的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是______.【答案】【解析】因为函数（）的图像的相邻两支截直线所得线段长为，所以该函数的最小正周期为，因为，所以，即，因此，故答案为：【变式2-3】函数对于，都有，则的最小值为（

）.A．B．C．D．【答案】C【解析】∵恒成立，∴是函数的最小值，是函数的最大值，即、是函数的两条对称轴，则的最小值为.故选：C.【变式2-4】函数的最小正周期是______．【答案】【解析】所以最小正周期为，故答案为：【变式2-5】已知函数，则函数的最小正周期是__________．【答案】【解析】，故，故答案为：．【解题方法总结】关于三角函数周期的几个重要结论：（1）函数的周期分别为，．（2）函数，的周期均为（3）函数的周期均．题型三：函数的单调性【例3】已知函数，则下列说法错误的是（

）A．的值域为B．的单调递减区间为C．为奇函数，D．不等式的解集为【答案】D【解析】因为，所以，所以，故选项A正确；由得，所以的单调递减区间为，故选项B正确；所以，所以为奇函数，故选项C正确；由得，即所以，所以不等式的解集为，故选项D错误.故选：D.【变式3-1】将函数的图象上各点向右平移个单位长度得函数的图象，则的单调递增区间为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】将的图象向右平移个单位长度后，得到，即的图象，令，，解得，，所以的单调递增区间为，.故选：C.【变式3-2】已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）

A．B．C．不等式的解集为D．将的图象向右平移个单位长度后所得函数的图象在上单调递增【答案】C【解析】由函数图象可知，最小正周期为，所以，将点代入，得，又，所以，故，故A错误；所以，故B错误；令，则，所以，，解得，，所以不等式的解集为，故C正确；将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，令，，解得，，令得，因为，故D错误.故选：C.【变式3-3】已知函数，则（

）A．在上单调递减B．在上单调递增C．在上单调递减D．在上单调递增【答案】C【解析】因为.对于A选项，当时，在上单调递增，A错；对于B选项，当时，则在上单调递增，在上单调递减，故B错；对于C选项，当时，则在上单调递减，C对；对于D选项，当时，则在上单调递减，故D错.故选：C.【解题方法总结】三角函数的单调性，需将函数看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式．如函数的单调区间的确定基本思想是吧看做是一个整体，如由解出的范围，所得区间即为增区间；由解出的范围，所得区间即为减区间．若函数中，可用诱导公式将函数变为，则的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间．对于函数的单调性的讨论与以上类似处理即可．题型四：函数的对称性（对称轴、对称中心）【例4】已知函数，若将的图像向右平移个单位长度后图象关于轴对称，则实数的最小值为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】的图像向右平移个单位长度后，变为，因的图象关于轴对称，所以为偶函数，所以，,即，,因，所以，故当时，实数取得最小值为，故选：B【变式4-1】已知，函数，的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于轴对称，则的值是______．【答案】【解析】，函数的最小正周期为，，．将的图像向左平移个单位长度，可得的图像，根据所得图像关于轴对称，可得，，解得，，又，则令，可得的值为．故答案为：．【变式4-2】设函数的图象关于点成中心对称，若，则______.【答案】【解析】因为函数的图象关于点成中心对称，所以，所以，所以因为，所以时，.故答案为：【变式4-3】将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.若函数的图象关于点对称，则的最小值为______.【答案】【解析】由题可得，的图象关于点对称，所以，解得，，故的最小值为.故答案为：.【解题方法总结】关于三角函数对称的几个重要结论；（1）函数的对称轴为，对称中心为；（2）函数的对称轴为，对称中心为；（3）函数函数无对称轴，对称中心为；（4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为．（5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为题型五：函数的定义域、值域（最值）【例5】实数满足，则的范围是___________.【答案】【解析】.故令，.则原式，故.故答案为：.【变式5-1】的最小值为__________.【答案】【解析】，所以当，时，取得最小值.故答案为：．【变式5-2】若关于的方程在上有实数解，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】原方程等价于即函数，在上有交点，∵，∴，，故，则.故答案为：【变式5-3】设、且，求的取值范围是________.【答案】【解析】解法一：，，可得．，令，，显然函数在上单调递增，，，即，的取值范围是．解法二：由得，设，即，则令，，，，显然在上单调递增，所以，即，所以的取值范围是.故答案为：【变式5-4】函数的值域为_____________．【答案】【解析】令，，则，即，所以，又因为，所以，即函数的值域为．故答案为：.【解题方法总结】求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理．（1），设，化为一次函数在上的最值求解．（2），引入辅助角，化为，求解方法同类型（1）（3），设，化为二次函数在闭区间上的最值求解，也可以是或型．（4），设，则，故，故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解．（5）与，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值．这里需要注意的是化为关于或的函数求解释务必注意或的范围．（6）导数法（7）权方和不等式题型六：三角函数性质的综合【例6】（多选）设函数，的最小正周期为，且过点，则下列正确的有（

）A．在单调递减B．的一条对称轴为C．的周期为D．把函数的图象向左平移个长度单位得到函数的解析式为【答案】AB【解析】根据辅助角公式得．最小正周期为，，，即．函数过点，，，则．当时．即．令，则，当时，在单调递减，故A正确．令，则，当时，的一条对称轴为，故B正确．因为为偶函数，所以，则的周期为且，故C错误．函数的图象向左平移个长度单位得到函数的解析式为，故D错误．故选：AB．【变式6-1】（多选）已知函数，则下列说法正确的有（

）A．若，则B．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称C．函数的最小正周期为D．若在上有且仅有3个零点，则的取值范围为【答案】ABD【解析】由，故必有一个最大值和一个最小值，则为半个周期长度，故正确；由题意的图象关于轴对称，B正确；的最小正周期为C错误.，在上有且仅在3个零点，结合正弦函数的性质知：，则，D正确；故选：ABD【变式6-2】已知函数的部分图象如图所示.

(1)求的解析式；(2)将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在内的零点.【解析】（1）由图象可得，，则，即，∴，由图象得，即，∴，，则，，又，∴，故；（2）将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函，∴，令，则或，解得，，或，，又，∴或，即函数在内的零点为0与.【变式6-3】，，，(1)若，求的值；(2)若函数的最小正周期为①求的值；②当时，对任意，不等式恒成立，求的取值范围【解析】（1）依题意，，当时，，（2）①由（1）知，最小正周期，得，②当时，，当时，，当，即时，的最大值为2，不等式恒成立，即恒成立，整理为，恒成立，当时，恒成立，当时，，得，综上可得，，当时，，当时，，当，即时，的最大值为0不等式恒成立，即恒成立，整理为，恒成立，当时，恒成立，当时，，得，综上可得，，综上可知，当时，，当时，.【变式6-4】已知函数的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式；(2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程在上有解，求实数的取值范围.【解析】（1）由函数的图象知：，则，所以，，因为，所以，则，又因为，则，所以；（2）由题意得：，令，则化为：，即在上有解，由对勾函数的性质得：，所以.【解题方法总结】三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，尤为重要的是对称性．因为对称性奇偶性（若函数图像关于坐标原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于轴对称，则函数为偶函数）；对称性周期性（相邻的两条对称轴之间的距离是；相邻的对称中心之间的距离为；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为）；对称性单调性（在相邻的对称轴之间，函数单调，特殊的，若，函数在上单调，且，设，则深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系）题型七：根据条件确定解析式方向一：“知图求式”，即已知三角形函数的部分图像，求函数解析式．【例7】已知函数（，，）的部分图象如图所示，设使成立的a的最小正值为m，，则（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】使成立的a即为的对称中心的横坐标，∴a的最小正值为，由图可知，，，∴，将点代入，得，∴，，，，∵，∴取，∴，∴，∴.故选：B.【变式7-1】已知函数（为常数，）的部分图像如图所示，若将的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的解析式可以为（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，所以，故，因为，，所以，，即.又因为，解得.即.将的图像向左平移个单位长度，得到函数.故选：A.方向二：知性质（如奇偶性、单调性、对称性、最值），求解函数解析式（即的值的确定）【变式7-2】已知函数，当时，的最小值为，则______；若将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象在轴上的截距为，则在上的值域为______．【答案】【解析】易知的最大值和最小值分别为和，因为，所以、一个为的最大值点，一个为的最小值点，设函数的最小正周期为，则由的最小值为，得，所以，则，所以．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为，令，则，可得，，所以，，所以，所以，所以，若，则，则，则.故在上的值域为．故答案为：；．【变式7-3】已知，满足，，且在上有且仅有5个零点，则此函数解析式为_____________．【答案】【解析】因为，令，则，即，所以是图像的对称中心，又，令，则，即，所以是图像的对称轴，所以，得，令，则，所以，因为在上有且只有5个零点，所以，又，即，所以，得，代入上式，得，又，所以，所以.故答案为：【解题方法总结】根据函数必关于轴对称，在三角函数中联想到的模型，从图象、对称轴、对称中心、最值点或单调性来求解．题型八：三角函数图像变换【例8】如图，函数的图像过两点，为得到函数的图像，应将的图像（

）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】D【解析】代入得即，即对于A选项，,故A错误对于B选项，故B错误对于C选项，故C错误对于D选项，，故D正确，故选：D【变式8-1】已知把函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，则的最小正值为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题知，，且，，即，解得，当时，取得最小正值，.故选：C.【变式8-2】为了得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】A【解析】由题意，由于函数，观察发现可由函数向左平移个单位长度，得到函数的图象，故选：A.【变式8-3】若要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】D【解析】因为，故将已知转化为要得到函数的图象，又，所以将的图象向右平移个单位长度即可得到的图象.故选：D【解题方法总结】由函数的图像变换为函数的图像．方法：先相位变换，后周期变换，再振幅变换．的图像的图像的图像的图像第03讲三角函数的图象与性质1．将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则下列正确的是（

）A．直线是图像的一条对称轴B．的最小正周期为C．的图像关于点对称D．在上单调递增【答案】C【解析】由，则图像向右平移个单位长度可得，，因为，所以不是图像的一条对称轴，A错；由，得的最小正周期为，B错；由，所以点是图像的一个对称中心，C正确；由，则，所以在上有增有减，D错.故选：C2．函数图象的对称轴可以是（

）A．直线B．直线C．直线D．直线【答案】A【解析】，令，解得，所以的对称轴为直线，当时，.故选：A.3．将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在区间上的值域为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到的图象，再将图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象．当时，，．故选：C.4．已知函数，若对于任意实数x，都有，则的最小值为（

）A．2B．C．4D．8【答案】C【解析】因为对于任意实数x，都有，则有函数图象关于点对称，因此，解得，而，所以当时，取得最小值4.故选：C5．已知函数，，将函数的图象经过下列变换可以与的图象重合的是（

）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【答案】D【解析】因为，所以将向右平移个单位得到.故选：D6．已知函数，则关于的下列结论不正确的是（

）A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．在区间上是单调递减函数D．将的图象向