（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第6章 第05讲 椭圆及其性质 讲义+随堂检测（原卷版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第第页资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第05讲椭圆及其性质知识点一：椭圆的定义平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：注意：当时，点的轨迹是线段；当时，点的轨迹不存在．知识点二：椭圆的方程、图形与性质椭圆的方程、图形与性质所示．焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程统一方程参数方程第一定义到两定点的距离之和等于常数2，即（）范围且且顶点、、、、轴长长轴长，短轴长长轴长，短轴长对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称焦点、、焦距离心率准线方程点和椭圆的关系切线方程（为切点）（为切点）对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得切点弦所在的直线方程焦点三角形面积①，（为短轴的端点）②③焦点三角形中一般要用到的关系是焦半径左焦半径：又焦半径：上焦半径：下焦半径：焦半径最大值，最小值通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）弦长公式设直线与椭圆的两个交点为，，，则弦长（其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）【解题方法总结】（1）过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为．①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为，距离的最小值为．（2）椭圆的切线①椭圆上一点处的切线方程是；②过椭圆外一点，所引两条切线的切点弦方程是；③椭圆与直线相切的条件是．题型一：椭圆的定义与标准方程【例1】已知椭圆C上任意一点都满足关系式，则椭圆C的标准方程为.【变式1-1】已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为．【变式1-2】已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为.【变式1-3】与双曲线有相同焦点，且长轴长为6的椭圆标准方程为.【变式1-4】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且，且，，则的标准方程为.题型二：椭圆方程的充要条件【例2】若是任意实数，方程表示的曲线不可能是（

）A．圆B．抛物线C．椭圆D．双曲线【变式2-1】已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（

）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【变式2-2】“”是方程“表示椭圆”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题【例3】已知点，是椭圆上关于原点对称的两点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则（

）A．1B．2C．4D．5【变式3-1】已知椭圆为两个焦点，为椭圆上一点，若的周长为4，则（

）A．2B．3C．D．【变式3-2】已知分别为椭圆的两个焦点，且的离心率为为椭圆上的一点，则的周长为（

）A．6B．9C．12D．15【变式3-3】已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为，，延长交椭圆E于点P．若点A到直线的距离为，的周长为16，则椭圆E的标准方程为（

）A．B．C．D．【变式3-4】已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（

）A．6B．12C．D．【变式3-5】若椭圆的离心率为，两个焦点分别为，，为椭圆上异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则（

）A．2B．C．4D．题型四：椭圆上两点距离的最值问题【例4】已知分别为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，则的最大值为（

）A．64B．16C．8D．4【变式4-1】已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，分别是椭圆的左、右焦点，若点在的平分线上，且，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【变式4-2】已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【变式4-3】已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（

）A．B．C．5D．6题型五：椭圆上两线段的和差最值问题【例5】设实数x，y满足，则的最小值为（

）A．B．C．D．前三个答案都不对【变式5-1】已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为（

）A．7B．8C．9D．11【变式5-2】已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则PQ＋PF的最大值为（

）A．3B．6C．D．【变式5-3】已知椭圆的左焦点为是上一点，，则的最大值为（

）A．7B．8C．9D．11【变式5-4】已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（

）A．1B．－1C．D．题型六：离心率的值及取值范围方向1：利用椭圆定义去转换【例6】设椭圆的一个焦点为，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A．B．C．D．【变式6-1】已知椭圆C的左右焦点分别为，，P，Q为C上两点，，若，则C的离心率为（

）A．B．C．D．【变式6-2】已知，分别是椭圆（）的左，右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆的离心率为（

）A．B．C．D．【变式6-3】椭圆的左右焦点为，，点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，点M，N满足，，若四边形的周长等于，则椭圆C的离心率为（

）A．B．C．D．方向2：利用与建立一次二次方程不等式【变式6-4】椭圆​的左、右焦点分别为​，焦距为​，若直线​与椭圆​的一个交点为​在​轴上方，满足​，则该椭圆的离心率为（

）A．​B．​C．​D．​【变式6-5】已知椭圆E：的右焦点为，左顶点为，若E上的点P满足轴，，则E的离心率为（

）A．B．C．D．【变式6-6】已知为坐标原点，是椭圆上一点，F为右焦点.延长，交椭圆于，两点，，，则椭圆的离心率为（

）A．B．C．D．【变式6-7】已知椭圆的左、右焦点分别是，斜率为的直线经过左焦点且交于两点（点在第一象限），设△的内切圆半径为的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率的值为（

）A．B．C．D．【变式6-8】已知椭圆，为其左焦点，直线与椭圆交于点，，且．若，则椭圆的离心率为（

）A．B．C．D．方向3：找几何关系，利用余弦定理【变式6-9】已知椭圆的左､右焦点分别为、，过作直线与椭圆相交于、两点，，且，则椭圆的离心率为（

）A．B．C．D．【变式6-10】已知椭圆的左焦点为，若椭圆上存在点P，使得线段与直线垂直垂足为Q，若，则椭圆C的离心率为（

）A．B．C．D．【变式6-11】已知，分别是椭圆：（）的左，右焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（

）A．B．C．D．方向4：利用焦半径的取值范围为．【变式6-12】在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中、分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是________．【变式6-13】若椭圆上存在一点，使得，其中分别是的左、右焦点，则的离心率的取值范围为______.【变式6-14】已知椭圆：的左，右焦点分别为，，若椭圆上一点Р到焦点的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆C的离心率为（

）A．B．C．D．【变式6-15】已知，分别是椭圆C：的左､右焦点，B是椭圆C的上顶点，P是椭圆C上任意一点，且C的焦距大于短轴长，若的最大值是的最小值的倍，则椭圆C的离心率为（

）A．B．C．或D．题型七：椭圆的简单几何性质问题【例7】已知双曲线的一个焦点是，椭圆的焦距等于，则．【变式7-1】已知椭圆的左、右焦点分别为点、，若椭圆上顶点为点，且为等腰直角三角形，则.【变式7-2】已知点、，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为．【变式7-3】AB是平面上长度为4的一条线段，P是平面上一个动点，且，M是AB的中点，则的取值范围是．题型八：利用第一定义求解轨迹【例8】已知圆，圆，动圆与圆外切并与圆内切，则圆心的轨迹方程为【变式8-1】已知点P为椭圆上的任意一点，O为原点，M满足，则点M的轨迹方程为．【变式8-2】一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为．【变式8-3】已知，B是圆（F为圆心）上一动点.线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为.【变式8-4】设F1，F2为椭圆的左、右焦点，A为椭圆上任意一点，过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是________．【变式8-5】一动圆与圆：内切，且与圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是______．【变式8-6】一动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________.【变式8-7】已知圆，点，点为动点，以线段为直径的圆内切于圆，则动点的轨迹方程是______．第05讲椭圆及其性质1．已知离心率为的椭圆的方程为，则（

）A．2B．C．D．32．法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆：（）的蒙日圆为，则椭圆Γ的离心率为（

）A．B．C．D．3．韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（

）A．B．C．D．4．已知椭圆的左､右焦点分别为.若点关于直线的对称点恰