（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第6章 第06讲 双曲线及其性质 讲义+随堂检测（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第第页资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第06讲双曲线及其性质知识点一：双曲线的定义平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为．注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线．（3）时，点的轨迹不存在．在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：=1\*GB3①条件“”是否成立；=2\*GB3②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用．知识点二：双曲线的方程、图形及性质双曲线的方程、图形及性质标准方程图形A2A2焦点坐标，，对称性关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称顶点坐标，，范围实轴、虚轴实轴长为，虚轴长为离心率渐近线方程令，焦点到渐近线的距离为令，焦点到渐近线的距离为点和双曲线的位置关系共焦点的双曲线方程共渐近线的双曲线方程切线方程为切点为切点切线方程对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得．切点弦所在直线方程为双曲线外一点为双曲线外一点点为双曲线与两渐近线之间的点弦长公式设直线与双曲线两交点为，，．则弦长，，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数．通径通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为焦点三角形双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形，设，，，则，，焦点三角形中一般要用到的关系是等轴双曲线等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为．【解题方法总结】（1）双曲线的通径过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为．（2）点与双曲线的位置关系对于双曲线，点在双曲线内部，等价于．点在双曲线外部，等价于结合线性规划的知识点来分析．（3）双曲线常考性质性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数；性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（4）双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）（5）双曲线的切线点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为题型一：双曲线的定义与标准方程【例1】已知，分别是离心率为2的双曲线的左，右焦点，过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于点，，且，，则的标准方程为.【答案】【解析】由题意知，∴，由双曲线的定义知，，则，∴，，∴，∴的标准方程为.故答案为：.【变式1-1】设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为．【答案】【解析】根据题意可知椭圆方程中的a=13，∵=∴c=5，根据双曲线的定义可知曲线C2为双曲线，其中半焦距为5，实轴长为8，∴虚轴长为6∴双曲线方程为【变式1-2】渐近线方程为且经过点的双曲线标准方程为．【答案】【解析】设渐近线方程为且经过点的双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程可得，所以，所求双曲线的方程为，其标准方程为.故答案为：.【变式1-3】若双曲线C与双曲线有相同的渐近线，且经过点，则双曲线C的标准方程是．【答案】【解析】由双曲线C与双曲线有相同的渐近线，可设双曲线C的方程为，又C过点，所以，，整理得双曲线C的标准方程是．故答案为：【解题方法总结】求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径：（1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数，，，即利用待定系数法求方程．（2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义法求方程．题型二：双曲线方程的充要条件【例2】若曲线表示双曲线，那么实数k的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】曲线表示双曲线，所以即可.解得或，所以实数k的取值范围是：.故选：B.【变式2-1】若方程表示双曲线，则m的取值范围是（

）A．或B．C．或D．【答案】B【解析】由题意，解得．故选：B.【变式2-2】设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，方程表示双曲线，则，所以，根据选项，“方程表示双曲线”的必要不充分条件为B.故选：B.【解题方法总结】表示椭圆的充要条件为：；表示双曲线方程的充要条件为：；表示圆方程的充要条件为：．题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题【例3】已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于，两点，若，则的面积等于（

）A．18B．10C．9D．6【答案】C【解析】直线与双曲线交于，两点，若，则四边形为矩形，所以，，由双曲线可得，，则，所以，所以，又，所以，解得，所以．故选：C．【变式3-1】已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的左右两支于两点，且，则（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】由双曲线得出.因为，所以.作于C，则C是AB的中点.设，则由双曲线的定义，可得.故，又由余弦定理得，所以，解得.故选：C【变式3-2】设双曲线的左、右焦点分别、，点为双曲线右支上一点，的内切圆圆心为，则的面积与的面积之差为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】设内切圆的半径为，则，，.过点作于点，于点，于点，则由的内切圆圆心为知：，，，，，解得：，.故选：C.【变式3-3】设为双曲线（）的上一点，，（为左、右焦点），则的面积等于（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】双曲线，则不妨设是双曲线的右支上一点，则由双曲线的定义，得则,所以所以，即所以所以故选：C【解题方法总结】对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即，在焦点三角形面积问题中若已知角，则用，及余弦定理等知识；若未知角，则用．题型四：双曲线上两点距离的最值问题【例4】已知双曲线的左右焦点为，，点为双曲线上任意一点，则的最小值为（）A．1B．C．2D．3【答案】A【解析】根据双曲线的定义，设点在双曲线右支上，则，设，再根据二次函数的性质计算可得；由题意知，，，不妨设点在双曲线右支上，则，设，所以，所以当时，的值最小，最小为1，故选：A.【变式4-1】已知点，点在曲线上运动，点在曲线上运动，则的最小值是．【答案】【解析】如下图所示：在双曲线中，，，，圆的圆心为，半径长为，所以，双曲线的左、右焦点分别为、，由双曲线的定义可得，，所以，，当且仅当为射线与圆的交点，且时，等号成立，故的最小值是.故答案为：.【变式4-2】已知双曲线，其右焦点为，为其上一点，点满足=1，，则的最小值为(

)A．3B．C．2D．【答案】B【解析】双曲线的右焦点F（5，0）∵M满足|MF|=1，∴点M在以F为圆心，1为半径的圆上∵，即圆的半径，即|MP|为圆F的切线长，由圆的几何性质，要使|MP|最小，只需圆心F到P的距离|FP|最小，∵P是双曲线上一点，∴|FP|最小为c-a=5-3=2，此时|MP|=故选：B．【变式4-3】已知直线l与双曲线交于A，B两点，且（为坐标原点），若M是直线上的一个动点，则的最小值为（

）A．12B．6C．16D．8【答案】D【解析】由，可知A，B，O三点共线，即直线l过原点O，根据双曲线对称性知O为AB中点，即，可得，当和同时取最小值时，取最小值，又由的最小值为原点O到直线距离，且，即的最小值是．故选：D.【解题方法总结】利用几何意义进行转化．题型五：双曲线上两线段的和差最值问题【例5】已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点在轴上，中心在坐标原点，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为等轴双曲线的左、右焦点在轴上，中心在坐标原点，所以可设双曲线的方程为，又因为双曲线的焦距为8，所以，而，所以，故双曲线的标准方程为.由双曲线的定义可知，，由题意可知，，，，所以,故的最大值为，当且仅当三点共线且点位于第一象限时取得最大值.故选：B【变式5-1】已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（

）A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】由双曲线方程可知，，，故右焦点，左焦点，当点在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知，所以，从而，又为定值，所以，此时点在线段与双曲线的交点处（三点共线距离最短），故选：B.【变式5-2】已知拋物线上一点到准线的距离为是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的一动点，则的最小值为（

）A．12B．11C．10D．9【答案】D【解析】拋物线的准线为，则点到准线的距离为，所以，则，故，设是双曲线的右焦点，则，则，故，当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为.故选：D.【变式5-3】已知双曲线，点F是C的右焦点，若点P为C左支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d，则的最小值为（

）A．B．C．8D．10【答案】A【解析】由双曲线,可得，,设双曲线左焦点为，不妨设一条渐近线为，即，作，垂足为E，即，作,垂足为H，则，因为点P为C左支上的动点，所以，可得，故，由图可知，当三点共线时，即E和H点重合时，取得最小值，最小值为，即的最小值为，故选：A．【变式5-4】过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】圆C1：（x+4）2+y2＝4的圆心为（﹣4，0），半径为r1＝2；圆C2：（x﹣4）2+y2＝1的圆心为（4，0），半径为r2＝1，设双曲线x21的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得|PM|2﹣|PN|2＝（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）＝（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）＝|PF1|2﹣|PF2|2﹣3＝（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3＝2a（|PF1|+|PF2|﹣3＝2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2•2c﹣3＝2•8﹣3＝13．当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值13．故选D．【解题方法总结】在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解．题型六：离心率的值及取值范围方向1：利用双曲线定义去转换【例题6-1】已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线与交于，两点（点在第一象限），延长交于点，若，，则双曲线的离心率为（

）A．B．2C．D．1【答案】A【解析】结合双曲线的对称性可知，，，所以为等边三角形，则，则.由双曲线的定义，得，所以，，则.故选：A【变式6-1】已知双曲线的左、右焦点分别为，，若在上存在点不是顶点，使得，则的离心率的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】设与y轴交于Q点，连接，则，因为，故P点在双曲线右支上，且，故，而，故，在中，，即，故，由，且三角形内角和为，故，则，即，即，所以的离心率的取值范围为，故选：A方向2：建立关于和的一次或二次方程与不等式【例题6-2】已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的离心率是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，即，所以，由双曲线的定义知，所以.如图，过作，为垂足，因为，所以为的中点，，由得，即，所以，在直角中，,即，即，所以，解得，因为，所以双曲线的离心率是.故选：A【变式6-2】如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的左、右两支于两点，且，则双曲线的离心率为（

）

A．B．C．D．【答案】B【解析】注意到，则，连接．设，则，在中，由勾股定理有，解得，∴，在中，由，得，解得．故选B．【变式6-3】已知双曲线为左焦点，分别为左､左顶点，为右支上的点，且（为坐标原点）.若直线与以线段为直径的圆相交，则的离心率的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】设双曲线的右焦点为，则，则，为右支上的点，取的中点为B，连接，则，设，则，则，在中，，即，又直线与以线段为直径的圆相交，故，设，则，则需使，解得，即双曲线离心率的范围为，即的离心率的取值范围为，故选：D方向3：找几何关系，利用余弦定理【例题6-3】已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，若，的周长为8a，则C的离心率为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，则.因.则.因的周长为8a，，则.则.由余弦定理：.则在中，由余弦定理，.故选：C【变式6-4】已知圆O：与双曲线C：的右支交于点A，B，若，则C的离心率为（

）A．2B．C．D．【答案】B【解析】由，解得，因为点A，B关于x轴对称，所以，在中，由余弦定理得，即，即，解得，所以或（舍去），故选：B【变式6-5】已知双曲线：的左､右焦点分别是，，是双曲线上的一点，且，，，则双曲线的离心率是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】设双曲线的半焦距为.由题意，点在双曲线的右支上，，，由余弦定理得，解得，即，，根据双曲线定义得，解得，故双曲线的离心率.故选：D题型七：双曲线的简单几何性质问题【例7】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于B点，则的内切圆的半径为．【答案】【解析】双曲线C：的左焦点为，到渐近线的距离,联立方程组，解得可得，设的内切圆的半径为，在中，，故答案为：.【变式7-1】已知双曲线（，）的一条渐近线恰好平分第一、三象限，若的虚轴长为4，则的实轴长为.【答案】4【解析】由题意可知，双曲线的一条渐近线为直线，故，故其实轴长为.【变式7-2】已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于两点，则.【答案】【解析】双曲线的离心率为，可得，所以，所以双曲线的渐近线方程为：，一条渐近线与圆交于，两点，圆的圆心，半径为1，圆的圆心到直线的距离为：，所以．故答案为：．【解题方法总结】处理双曲线的问题的时候，如果需要画图，注意作图规范，结合图象分析，另外因为双曲线有两条渐近线，所以要分清楚，到底是点在双曲线上还是渐近线上，切勿搞混．题型八：求解轨迹【例8】设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段的中点，则点M的轨迹方程为．【答案】【解析】设，，则，即，又，则，整理得，即点M的轨迹方程为.故答案为：【变式8-1】已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1和圆C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为.【答案】【解析】设动圆圆心的坐标为，半径为，则由题意可得，，相减可得，故点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，由题意可得，，，故点的轨迹方程为．故答案为：【变式8-2】已知点，，，动圆与直线切于点，分别过点且与圆相切的两条直线相交于点，则点的轨迹方程为.【答案】【解析】如图所示：设PM，PN分别与圆C相切与R，Q，由圆的切线长定理得PQ=PR，MR=MB，NQ=NB，所以PM-PN=RM-QN=MB-NB=2<MN，所以点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，且c=3，a=1，所以点的轨迹方程为故答案为：【变式8-3】若动圆过定点且和定圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是.【答案】【解析】设动圆的半径为，则有，再由两圆外切得到，进而得到，再利用双曲线的定义求解.定圆的圆心为，与关于原点对称，设动圆的半径为，则有，因为两圆外切，所以，即，所以点的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，则，，，所以轨迹方程为故答案为：【解题方法总结】常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断．焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围．题型九：双曲线的渐近线【例9】若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为．【答案】【解析】，，即，，双曲线方程为，渐近线方程为．故答案为：【变式9-1】已知为双曲线上一点，以为切点的切线为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，则（为坐标原点）的面积为．【答案】【解析】双曲线的渐近线为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，显然直线不垂直于y轴，设直线，，由得点的纵坐标，由得点的纵坐标，由消去x得，于是，化简得，直线与x轴交点的横坐标为，所以的面积.故答案为：【变式9-2】已知双曲线的左右焦点分别为，过作渐近线的垂线交双曲线的左支于点，已知，则双曲线的渐近线方程为．【答案】【解析】依题意，，，则，令双曲线半焦距为c，双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线的距离，有，在中，由余弦定理，得，整理得，即，解得，所以双曲线的渐近线方程为.故答案为：【解题方法总结】掌握双曲线方程与其渐近线方程的互求；由双曲线方程容易求得渐近线方程；反之，由渐近线方程可得出，的关系式，为求双曲线方程提供了一个条件．另外，焦点到渐近线的距离为虚半轴长．第06讲双曲线及其性质1．已知双曲线的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，则的面积为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为双曲线的渐近线方程为，，所以根据点到直线的距离公式可得，．又，则，所以的面积为．故选：B.2．已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，F是C的焦点，点P为C的右支上位于第一象限的点，且轴.若直线PB与直线PA的斜率之比为3，则C的离心率为（

）A．B．C．2D．3【答案】C【解析】由题意可得，，，点的横坐标为，代入，又，所以，，，则，可得．即双曲线的离心率为2．故选：C．3．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于两点，若的周长为，则当取得最大值时，该双曲线的离心率为（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，由代入双曲线的方程可得，则有，，，，，由题意可得，结合，上式化简可得，当时，取得最大值4，，，，双曲线离心率．故选：A．4．已知点F是双曲线（）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是锐角三角形，则该双