（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第7章 第01讲 等差数列及其前n项和 讲义+随堂检测（原卷版）

第页第01讲等差数列及其前n项和知识点一．等差数列的有关概念（1）等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）．（2）等差中项若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有．知识点二．等差数列的有关公式（1）等差数列的通项公式如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．（2）等差数列的前项和公式设等差数列的公差为，其前项和．知识点三．等差数列的常用性质已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．（1）通项公式的推广：．（2）在等差数列中，当时，．特别地，若，则．（3），…仍是等差数列，公差为．（4），…也成等差数列，公差为．（5）若，是等差数列，则也是等差数列．（6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的．（7）若项数为偶数，则；；．（8）若项数为奇数，则；；．（9）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值．知识点四．等差数列的前n项和公式与函数的关系．数列是等差数列⇔（为常数）．知识点五．等差数列的前n项和的最值公差为递增等差数列，有最小值；公差为递减等差数列，有最大值；公差为常数列．特别地若，则有最大值（所有正项或非负项之和）；若，则有最小值（所有负项或非正项之和）．知识点六．其他衍生等差数列．若已知等差数列，公差为，前项和为，则：①等间距抽取为等差数列，公差为．②等长度截取为等差数列，公差为．③算术平均值为等差数列，公差为．【解题方法总结】（1）等差数列中，若，则．（2）等差数列中，若，则．（3）等差数列中，若，则．（4）若与为等差数列，且前项和为与，则．题型一：等差数列的基本量运算【例1】已知数列满足：，且满足，则（

）A．1012B．1013C．2022D．2023【变式1-1】已知等差数列的前项和是，则（

）A．B．C．D．【变式1-2】记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则数列的公差为（

）A．B．C．2D．4【变式1-3】记为等差数列的前项和，若，则（

）A．30B．28C．26D．13题型二：等差数列的判定与证明【例2】已知数列的前项和为，且.(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列的前项和.【变式2-1】记为数列的前项和．(1)从下面两个条件中选一个，证明：数列是等差数列；①数列是等差数列；②(2)若数列为等差数列，且，，求数列的前项和．【变式2-2】已知数列满足，．(1)证明：是等差数列，并求出的通项．(2)证明：．【变式2-3】已知数列的前n项和为，数列的前n项积为，且满足．(1)求证：为等差数列；(2)记，求数列的前2023项的和M．题型三：等差数列的性质【例3】已知等差数列满足，则（

）A．B．C．D．【变式3-1】设为等差数列的前项和，若，则（

）A．5B．6C．7D．8【变式3-2】如果等差数列中，，那么（

）A．14B．12C．28D．36【变式3-3】已知数列是等差数列，若，则等于（

）A．7B．14C．21D．7(n-1)题型四：等差数列前n项和的性质【例4】两个等差数列，的前n项和分别为和，已知，则______．【变式4-1】设等差数列，的前n项和分别为，，且，则______.【变式4-2】若两个等差数列，的前n项和分别是，，已知，则______.【变式4-3】已知等差数列的前n项和为，若，，则___________【变式4-4】已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则______.题型五：等差数列前n项和的最值【例5】已知为等差数列的前项和，且，，则当取最大值时，的值为___________.【变式5-1】设等差数列的前项和为，已知，，则以下选项中，最大的是（

）A．B．C．D．【变式5-2】在数列中，若，前项和，则的最大值为______．【变式5-3】设是等差数列的前项和，若，，则数列中的最大项是第______项.【变式5-4】已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么当时，的最大值为．题型六：等差数列的实际应用【例6】从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为尺，前九个节气日影长度之和为尺，则谷雨这一天的日影长度为（

）A．尺B．尺C．尺D．尺【变式6-1】2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某网站全程转播了该次世界杯，为纪念本次世界杯，该网站举办了一针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被2整除余1且被7整除余1的可以获得精品足球一个；②对于不符合①中条件的可以获得普通足球一个.已知该网站的会员共有1456人（编号为1号到1456号，中间没有空缺），则获得精品足球的人数为（

）A．102B．103C．104D．105【变式6-2】天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2023年是癸卯年，请问：在100年后的2123年为（

）A．癸未年B．辛丑年C．己亥年D．戊戌年题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论【例7】已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)证明：当时，．【变式7-1】已知等差数列满足，．(1)求；(2)数列满足，为数列的前项和，求．【变式7-2】数列中，，前n项和满足．（1）证明：为等差数列；（2）求．题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题【例8】已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)若数列的前项和为，设，求的最小值.【变式8-1】记为等差数列的前项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．【变式8-2】已知等差数列的前n项和为，其中，．(1)求数列的通项；(2)求数列的前n项和为．题型九：利用等差数列的单调性求解【例9】已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【变式9-1】设是等差数列，则“”是“数列是递增数列”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【变式9-2】等差数列的前项和为，若，，则数列的通项公式可能是（

）A．B．C．D．【变式9-3】设函数，数列满足，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（

）A．B．C．D．题型十：等差数列中的范围与恒成立问题【例10】已知等差数列的前n项和为，并且，若对恒成立，则正整数的值为______.【变式10-1】已知数列的前项和为，（），且，.若恒成立，则实数的取值范围为______.【变式10-2】已知等差数列的首项，公差为，前项和为．若恒成立，则公差的取值范围是______．【变式10-3】等差数列的前n项和记为，已知，，若存在正数k，使得对任意，都有恒成立，则k的值为_________．第01讲等差数列及其前n项和1．在等差数列中，已知，且，则当取最大值时，（

）A．10B．11C．12或13D．132．现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（

）A．0.25升B．0.5升C．1升D．1.5升3．已知等差数列的前项和为，，则（

）A．54B．71C．80D．814．已知数列是等差数列，其前项和为，则等于（

）A．63B．C．45D．5．公差不为零的等差数列中，，则下列各式一定成立的是（

）A．B．C．D．6．设为等差数列的前n项和，且，都有，若，则（

）A．的最小值是B．的最小值是C．的最大值是D．的最大值是7．南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛