2026届四川省名校数学高一下期末学业质量监测模拟试题含解析

2026届四川省名校数学高一下期末学业质量监测模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图，为正方体，下面结论错误的是（）A．平面B．C．平面D．异面直线与所成的角为2．已知数据，2的平均值为2，方差为1，则数据相对于原数据()A．一样稳定 B．变得比较稳定C．变得比较不稳定 D．稳定性不可以判断3．设是内任意一点，表示的面积，记，定义，已知，是的重心，则（）A．点在内 B．点在内C．点在内 D．点与点重合4．圆的半径为()A．1 B．2 C．3 D．45．在等比数列中，若，则（）A．3 B． C．9 D．136．已知数列满足，，则数列的前10项和为（）A． B． C． D．7．下列大小关系正确的是()A.B.C.D.8．已知β为锐角，角α的终边过点（3，4），sin（α+β）＝，则cosβ＝（）A． B． C． D．或9．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为()A．30° B．45° C．60° D．90°10．若实数x，y满足，则z＝x+y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设函数的部分图象如图所示，则的表达式______．12．若存在实数使得关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是____.13．底面边长为，高为的直三棱柱形容器内放置一气球，使气球充气且尽可能的膨胀（保持球的形状），则气球表面积的最大值为_______．14．若Sn为等比数列an的前n项的和，8a15．已知圆C的方程为，一定点为A(1,2)，要使过A点作圆的切线有两条，则a的取值范围是____________16．计算：______．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．求函数的最大值18．已知函数.（1）求函数在上的单调递增区间；（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.求证：存在无穷多个互不相同的整数，使得.19．已知数列{}的首项.(1)求证：数列为等比数列；(2)记，若，求最大正整数.20．已知圆C：内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点.（1）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；(2)当直线l的倾斜角为45º时，求弦AB的长.21．如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为nmile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

在正方体中与

平行，因此有与平面

平行，A正确；在平面

内的射影垂直于，因此有，B正确；与B同理有与

垂直，从而

平面

，C正确；由知与所成角为45°，D错．故选D．2、C【解析】

根据均值定义列式计算可得的和，从而得它们的均值，再由方差公式可得，从而得方差．然后判断．【详解】由题可得：平均值为2，由，，所以变得不稳定.故选：C.【点睛】本题考查均值与方差的计算公式，考查方差的含义．属于基础题．3、A【解析】解：由已知得，f（P）=（λ1，λ2，λ3）中的三个坐标分别为P分△ABC所得三个三角形的高与△ABC的高的比值，∵f（Q）=（1/2，1/3，1/6）∴P离线段AB的距离最近，故点Q在△GAB内由分析知，应选A．4、A【解析】

将圆的一般方程化为标准方程，确定所求.【详解】因为圆，所以，所以，故选A.【点睛】本题考查圆的标准方程与一般方程互化，圆的标准方程通过展开化为一般方程，圆的一般方程通过配方化为标准方程，属于简单题.5、A【解析】

根据等比数列性质即可得解.【详解】在等比数列中，，，所以，所以，.故选：A【点睛】此题考查等比数列的性质，根据性质求数列中的项的关系，关键在于熟练掌握相关性质，准确计算.6、C【解析】

由判断出数列是等比数列，再求出，利用等比数列前项和公式求解即可.【详解】由，得，所以数列是以为公比的等比数列，又，所以，由等比数列前项和公式，.故选：C【点睛】本题主要考查等比数列的定义和等比数列前项和公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.7、C【解析】试题分析：因为，，，所以。故选C。考点：不等式的性质点评：对于指数函数和对数函数，若，则函数都为增函数；若，则函数都为减函数。8、B【解析】

由题意利用任意角的三角函数的定义求得sinα和cosα，再利用同角三角函数的基本关系求得cos（α+β）的值，再利用两角差的余弦公式求得cosβ＝cos[（α+β）﹣α]的值．【详解】β为锐角，角α的终边过点（3，4），∴sinα，cosα，sin（α+β）sinα，∴α+β为钝角，∴cos（α+β），则cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα••，故选B．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式的应用，属于基础题．9、C【解析】连接，由三角形中位线定理及平行四边形性质可得，所以是与所成角，由正方体的性质可知是等边三角形，所以，与所成角是,故选C.10、D【解析】

由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.【详解】由实数，满足作出可行域，如图：联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，此时有最小值为.故选：D.【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据图象的最高点得到，由图象得到，故得，然后通过代入最高点的坐标或运用“五点法”得到，进而可得函数的解析式．【详解】由图象可得，∴，∴，∴．又点在函数的图象上，∴，∴，∴．又，∴．∴．故答案为．【点睛】已知图象确定函数解析式的方法（1）由图象直接得到，即最高点的纵坐标．（2）由图象得到函数的周期，进而得到的值．（3）的确定方法有两种．①运用代点法求解，通过把图象的最高点或最低点的坐标代入函数的解析式求出的值；②运用“五点法”求解，即由函数最开始与轴的交点(最靠近原点)的横坐标为(即令，)确定．12、【解析】

先求得的取值范围，将题目所给不等式转化为含的绝对值不等式，对分成三种情况，结合绝对值不等式的解法和不等式恒成立的思想，求得的取值范围.【详解】由于，故可化简得恒成立.当时，显然成立.当时，可得，，可得且，可得，即，解得.当时，可得，可得且，可得，即，解得.综上所述，的取值范围是.【点睛】本小题主要考查三角函数的值域，考查含有绝对值不等式恒成立问题，考查存在性问题的求解策略，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.13、【解析】由题意，气球充气且尽可能地膨胀时，气球的半径为底面三角形内切圆的半径

∵底面三角形的边长分别为，∴底面三角形的边长为直角三角形,利用等面积可求得∴气球表面积为4π.14、-7【解析】设公比为q，则8a1q=-a115、【解析】

使过A点作圆的切线有两条，定点在圆外，代入圆方程计算得到答案.【详解】已知圆C的方程为，要使过A点作圆的切线有两条即点A(1,2)在圆C外：恒成立.综上所述：故答案为：【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，通过切线数量判断位置关系是解题的关键.16、【解析】

在分式的分子和分母中同时除以，然后利用常见的数列极限可计算出所求极限值.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查数列极限的计算，熟悉一些常见数列极限是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、最大值为5【解析】

本题首先可以根据同角三角函数关系以及配方将函数化简为，然后根据即可得出函数的最大值．【详解】，因为，所以当时，即，函数最大，令，，故最大值为．【点睛】本题考查同角三角函数关系以及一元二次函数的相关性质，考查的公式为，考查计算能力，体现了综合性，是中档题．18、（1）单调递增区间为；（2）见解析.【解析】

（1）利用二倍角的降幂公式以及辅助角公式可将函数的解析式化简为，然后求出函数在上的单调递增区间，与定义域取交集可得出答案；（2）利用三角函数图象变换得出，解出不等式的解集，可得知对中的任意一个，每个区间内至少有一个整数使得，从而得出结论.【详解】（1）.令，解得，所以，函数在上的单调递增区间为，，因此，函数在上的单调递增区间为；（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，由，对于中的任意一个，区间长度始终为，大于，每个区间至少含有一个整数，因此，存在无穷多个互不相同的整数，使得.【点睛】本题考查正弦型三角函数单调区间的求解，同时也考查了利用三角函数图象变换求函数解析式，以及三角不等式整数解的个数问题，考查运算求解能力，属于中等题.19、（1）详见解析；（2）99.【解析】

（1）利用数列递推公式取倒数，变形可得，从而可证数列为等比数列；（2）确定数列的通项，利用等比数列的求和公式求和，即可求最大的正整数．【详解】解（1）∵，∴，∵，∴∴数列为等比数列.（2）由（1）可求得，∴.∴.因为在上单调递增，又因为，∴【点睛】本题考查数列递推公式，考查等比数列的证明，考查等比数列的求和公式，属于中档题．20、（1）（2）【解析】分析：（1）为的中点，故，所以斜率，由此求解直线方程（2）已知直线方程，利用半径和点到直线的距离，求解弦长．详解：（1）P为AB中点C（1，0），P（2，2）（2）的方程为由已知，又直线过点P（2，2）直线的方程为即x-y=0C到直线l的距离，点睛：利用圆与直线的几何性质解圆有关的问题常见解法，圆心到直线的距离、半径、弦长之间的关系为．21、（1）24；（2）8【解析】

（1）利用已知条件，利用正弦定理求得AD的长．（2）在△ADC中由余弦定理可求得CD，答案可得．【详解】(1)在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45°由