第02讲 分式方程及其应用（复习讲义3考点+11题型+3重点）（解析版）-【数学】2026年中考一轮复习讲练测

第二章方程（组）与不等式（组）第02讲分式方程及其应用目录01·TOC\o"1-1"\h\z\u考情剖析·命题前瞻 102·知识导航·网络构建 303·考点解析·知识通关 504·命题洞悉·题型预测 15命题点一解分式方程题型01解分式方程中判断去分母是否正确题型02解分式方程命题点二分式方程的解题型01已知分式方程的解正负求参数题型02已知分式方程增根或无解求参数题型03已知分式方程的整数解求参数命题点三分式方程的实际应用题型01列分式方程题型02分式方程实际应用之行程问题题型03分式方程实际应用之工程问题题型04分式方程实际应用之销售问题题型05分式方程实际应用之和差倍问题题型06分式方程实际应用之其它问题05·重难突破·思维进阶 133突破一解分式方程中新定义类题型突破二分式方程实际应用之物理类跨学科题型突破三分式方程中探究类题型考点课标要求考法分析解一元一次分式方程学生要熟练掌握将分式方程化为一元一次方程的解题流程，包括找最简公分母(分母是多项式时需先因式分解)、去分母转化整式方程、解一元一次方程这几个关键步骤。同时明确验根的必要性，能通过最简公分母是否为0判断解的有效性，清楚增根产生的原因是去分母时最简公分母为0。多以填空题、解答题形式出现，侧重考查解题步骤的完整性，验根是得分要点（如2025·江苏镇江卷，2025·湖北武汉卷等）；判断去分母的变形正误（基础送分题）：常以选择题形式考查去分母的步骤，考验对等式性质的掌握（如2025·广东卷，2025·湖南卷）。分式方程的解①掌握解的求解与检验方法：学生要能熟练将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解后，通过代入最简公分母检验该解是否为原分式方程的有效解，清晰辨别增根，明确增根是使最简公分母为0的根，且增根不是原分式方程的解。②会根据解的条件求参数：能结合分式方程的解的特殊限制条件，如正整数解、负数解等，求解方程中参数的取值范围；同时能准确区分分式方程无解的两种情况，即整式方程本身无解，或是整式方程的解为原分式方程的增根，进而求出对应参数的值。直接求分式方程的解(基础必考题)：该考法侧重考查解题步骤的完整性，常以选择题、填空题或解答题的基础小题形式出现，验根是得分关键。（2025·四川资阳卷、2025·浙江卷等）；根据解的正负性等求参数范围(高频中档题)：此类题型需先解分式方程，再根据解的正负性、整数性等条件列不等式，同时兼顾分母不为0的限制，进而确定参数取值（2025·黑龙江卷、2025·四川眉山卷）；已知分式方程有解、无解、增根等条件求参数的取值范围（2025·黑龙江齐齐哈尔卷、2025·四川凉山卷等）分式方程的实际应用①建模能力要求：能从工程、行程、销售、浓度等实际问题中，找出等量关系，列出可化为一元一次方程的分式方程。②求解与检验要求：熟练掌握分式方程的解法，严格按照“去分母→解整式方程→验根”的步骤求解；③验根需兼顾双重要求：一是检验是否为增根(代入最简公分母),二是检验解是否符合实际意义(如时间、数量、单价不能为负数或零)。多为解答题，难度中等。常考分式方程中行程问题（2025·山东淄博卷、2025·吉林长春卷等）；分式方程中经济类问题（2025·江苏盐城卷、2025·山东济南卷等）；分式方程中工程问题（2025·江苏常州卷、2025·广东广州卷等）；分式方程中其它类问题（2025·云南卷、2025·四川南充等）。命题预测命题趋势：基础核心稳守，情境与综合双升核心考点聚焦分式方程的求解、含参问题及实际应用，题型分布稳定(选择、填空、解答题均有涉及),分值保持在10分左右，重点考查通分、因式分解、验根等基本功，且验根、避免去分母漏乘等细节仍是主要失分点筛查方向。同时命题呈现两大升级：一是应用情境创新，紧密结合生态保护、绿色经济、购物消费等社会热点与生活实际，部分融入地方特色或跨学科素材(如物理行程、化学浓度),题干信息更复杂，侧重建模能力考查；二是综合难度提升，含参问题(增根、无解、解的范围限定)成为中档拉分题，且常与不等式组、函数等知识融合，开放探究型题目(自编应用题、参数探究)有所增加，凸显素养导向。备考建议：流程化夯实基础，靶向性突破难点一方面，建立标准化解题流程，解分式方程严格遵循“因式分解找公分母→去分母化整式方程→求解→双重验根(公分母非零+实际意义)”,每天强化基础题训练，重点攻克去分母漏乘、约分不分解因式等高频错误，熟练掌握“根号2加减1“等常考根式的运算技巧。另一方面，靶向突破核心难点：分类总结含参问题解题模型(增根先求根再代整式方程，无解分整式方程无解与增根两类),针对行程、工程、销售三大应用题型提炼等量关系模板；额外练习热点情境题和开放探究题，梳理近3-5年本地真题规律，通过错题分类复盘(基础错误、建模错误、综合错误)强化薄弱点，适配命题创新趋势。考点一解分式方程1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，核心区别于整式方程(分母不含未知数)。示例：2x−1=3是分式方程；2.核心解题思想转化思想：通过去分母，将分式方程转化为整式方程求解。3.增根的概念增根是去分母后整式方程的解，但代入原分式方程的最简公分母会使分母为0，导致分式无意义，因此增根不是原分式方程的解。4.解分式方程步骤（以3x=1.找最简公分母：分析各分母的因式，取所有因式的最高次幂的积作为最简公分母。本题分母为x和x-1,最简公分母为x(x-1)。若分母是多项式，需先因式分解(如2.去分母，化为整式方程：方程两边同时乘以最简公分母，注意每一项都要乘(包括不含分母的常数项)，约去分母得到整式方程。（本题两边同乘x(x−1)，得：3(x−1)=2x）3.解整式方程：按照一元一次方程(或其他整式方程)的解法求解。本题展开：3x−3=2x→移项得：x=3.。4.验根(必不可少的步骤)：将整式方程的解代入最简公分母检验：①若最简公分母≠0,则是原分式方程的解；②若最简公分母=0,则是增根，原方程无解。本题把x=3代入x(x-1),得3×2=6≠0,故5.写出结论：明确原方程的解或无解的最终结果。1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程5x+2=A．x=2 B．x=3 C．x=−3【答案】B【分析】此题考查了解分式方程，去分母将分式方程转化为整式方程，然后求解并验证分母不为零．【详解】∵5x去分母得，5x5x解得x=3检验：当x=3时，x故方程的解为x=3故选：B．2．（2025·陕西·中考真题）解方程：x2【答案】x【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤．利用解分式方程的步骤进行求解即可．【详解】解：xxx−2=2x=4经检验，x=43．（2025·江苏镇江·中考真题）解方程：3−x【答案】x【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．方程两边同乘以24+【详解】解：3−x方程两边同乘以24+x，得去括号，得6−2x移项，得−2x合并同类项，得−3x系数化为1，得x=经检验，x=所以方程的解为x=4．（2025·浙江·中考真题）解分式方程：3x【答案】x【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程并检验即可得到答案．【详解】解：3方程两边同时乘以x−1x+1去括号得：3x移项，合并同类项得：2x系数化为1得：x=2检验，当x=2时，x∴x=2考点二根据分式方程增解的情况求参数题型1：已知分式方程有增根，求参数核心逻辑：增根的本质是使最简公分母为0的根，且是整式方程的解。解题步骤①找增根：令最简公分母等于0，求出所有可能的增根；②化整式方程：分式方程两边乘最简公分母，得到整式方程；③代根求参：将增根代入整式方程，解方程即可求出参数的值。题型2：已知分式方程无解，求参数核心逻辑：分式方程无解分两种情况，需分类讨论，缺一不可：情况1：整式方程的解是增根(即解使最简公分母为0)；情况2：整式方程本身无解(仅当整式方程是0·x=a且a≠0时成立)。解题步骤①去分母转化为整式方程；②分两类讨论：★整式方程有解，但解是增根→按“题型1”求参数；★整式方程无解→令整式方程的一次项系数为0,常数项不为0,求参数；③整合两类情况的参数值。1．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于x的分式方程x+kx−4−A．k<−4 B．k>−4 C．k<−4且k≠−4【答案】A【分析】本题考查了分式方程，首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于k的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定k的范围．【详解】解：x+得x+3得x+3解得：x=根据题意，解x=即3k解得：k<−4∵分母x−4≠0即x≠4即3k解得：k≠−∴k故选：A．2．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组3x−12≤x+2x+1≥−xA．8 B．14 C．18 D．38【答案】B【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，先解不等式组，确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可．【详解】解：3解①得：x解②得：x≥∵关于x的不等式组3x∴不等式组的解集为a−1∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数．当a−12≤4此时a≤9分式方程a−1x−1解得x=要求解为正整数且x≠1，则a即a为大于等于6的偶数．∵a≤9∴a=6当a=6时，不等式组的解集为2.5≤x≤5当a=8时，不等式组的解集为3.5≤x≤5则所有满足条件的整数a之和为6+8=14，故选：B．3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于x的分式方程mx1−x+xxA．m=1 B．m=−1 C．m=1或m=−1 【答案】C【分析】本题考查分式方程无解，分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解．需将原方程化简，分别讨论这两种情况对应的m值即可．【详解】解：方程去分母，得：mx−整理，得：m+1∵原方程无解，∴①整式方程无解，则：m+1=0，解得：m②分式方程有增根，则：x−1=0，解得：x把x=1代入m+1x=2，得：综上：m=1或故选C．4．（2025·四川遂宁·中考真题）若关于x的分式方程3−ax2−x=aA．2 B．3 C．0或2 D．−1或3【答案】D【分析】本题考查了分式方程无解问题，掌握求解的方法是解题的关键；将分式方程转化为整式方程，分析无解的两种情况：整式方程无解或解为增根（使分母为零），分别求解即可．【详解】解：原方程两边同乘x−2，得：化简得：ax−3=即a+1当整式方程无解时：即当a+1=0且a+5≠0时，即当解为增根时：即当解x=解得a=3，此时x综上，a的值为−1或3；故选：D．考点三已知分式方程解的正负求参数解分式方程实际应用的一般思路步骤具体操作关键注意事项①审题标注已知量、未知量，梳理各量之间的公式关系（如路程=速度×时间）抓住“相等”“多/少“提前”/推迟”“相同”等关键词，锁定等量关系②设未知数①直接设元：求什么设什么（如求速度设为xkm/h）②间接设元：直接设元列方程复杂时，设中间量（如求时间设速度为x）设未知数时要带单位③列分式方程根据等量关系，用含未知数的代数式表示各量，列出方程确保方程两边的量纲统一，避免单位混乱④解方程按照“找最简公分母→去分母化整式方程→解整式方程”的步骤求解去分母时，方程中所有项都要乘最简公分母，常数项不能漏乘⑤双重验根①增根检验：将解代入最简公分母，若为0则是增根，舍去②实际检验：判断解是否符合实际意义（如速度、单价、时间不能为负或0）双重验根是得分关键，缺一不可⑥作答写出最终结论，带单位结论要与题目所求一致，语言简洁规范1．（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校240km的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动．(1)一部分师生乘大巴车先行，出发36min后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度；(2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？【答案】(1)80(2)190【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系列方程．（1）设大巴车的速度为x千米/小时，根据路程、速度和时间的关系，结合两车行驶时间的关系列出方程求解；（2）设参加本次活动的学生人数是y人，根据门票费用的等量关系列出方程求解．【详解】（1）设大巴车的速度为x千米/小时，则中巴车速度为1.25x根据题意，可列方程：240x解得x=80经检验，x=80答：大巴车的速度是80千米/小时．（2）设参加本次活动的学生人数是y人，则成人人数为200−y根据题意，可列方程：10y解得y=190答：参加本次活动的学生人数是190人．2．（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买A、B两款机器人．已知A款机器人的单价比B款机器人的单价多1万元，用25万元购买A款机器人的数量与用20万元购买B款机器人的数量相同．(1)求A、B两款机器人的单价分别是多少万元？(2)如果购买A、B两款机器人共12台，且购买A款机器人的数量不少于B款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案．【答案】(1)A款机器人的单价为5万元，B款机器人的单价为4万元(2)购买成本最少的方案是购买A款机器人4台，B款机器人8台【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．（1）设A款机器人的单价为x万元，则B款机器人的单价为(x−1)万元，根据用25万元购买A款机器人的数量与用20万元购买（2）设购买A款机器人m台，则购买B款机器人(12−m)台，根据购买A款机器人的数量不少于B款机器人数量的一半，列出一元一次不等式，解得m≥4，再设购买成本为w万元，根据题意列出w【详解】（1）解：设A款机器人的单价为x万元，则B款机器人的单价为(x根据题意得：25x解得：x=5经检验，x=5∴x答：A款机器人的单价为5万元，则B款机器人的单价为4万元；（2）解：设购买A款机器人m台，则购买B款机器人(12−m根据题意得：m≥解得：m≥4设购买成本为w万元，根据题意得：w=5∵1>0，∴w随m∴当m=4时，w此时，12−m答：购买成本最少的方案是购买A款机器人4台，B款机器人8台．3．（2025·江苏常州·中考真题）某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减少1吨，20吨水可以使用的天数是原来的2倍．问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？【答案】浇水方式改进后平均每天用水1吨【分析】本题考查分式方程的应用．理解题意，找准等量关系，列出方程是解题的关键．设浇水方式改进后平均每天用水x吨，则浇水方式改进前平均每天用水x+1【详解】设浇水方式改进后平均每天用水x吨，则浇水方式改进前平均每天用水x+1根据题意，得20解得：x=1经检验，x=1答：浇水方式改进后平均每天用水1吨．4．（2025·四川广元·中考真题）某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同．(1)求篮球和足球的单价；(2)学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的23，设购买篮球x个，总费用为y元，求总费用y（元）与x（个）的函数关系式，并求出x【答案】(1)篮球的单价为100元，足球的单价为80元(2)y=20x+9600，72≤【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．（1）设篮球的单价为x元，则足球的单价为x−20（2）设购买篮球x个，则购买足球120−x个，根据总费用等于购买篮球的费用加上购买足球的费用求出y与x的函数关系式，根据足球的数量不能多于篮球数量的23列出不等式求出x的取值范围，再根据一次函数的性质确定y最小时【详解】（1）解：设篮球的单价为x元，则足球的单价为x−20由题意得，10000x解得x=100经检验，x=100∴x−20=80答：篮球的单价为100元，足球的单价为80元；（2）解：由题意得，y=100∵足球的数量不能多于篮球数量的23∴120−x∴x≥72∵两种球都要购买，∴72≤x<120，且∵y=20x+9600∴y随x增大而增大，∴当x=72时，y有最小值，此时120−答：y=20x+9600，72≤5．（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘．(1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示）(2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克．【答案】(1)0.7a(2)这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果1000千克．【分析】本题考查的是列代数式，分式方程的应用；（1）根据人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%，再列代数式即可；（2）设一个工人每天采摘该种水果x千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天5x【详解】（1）解：∵用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%．∴用智能机器人采摘的成本是1−30%a（2）解：设一个工人每天采摘该种水果x千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天5x∴40005解得：x=200经检验x=200∴5x答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果1000千克．命题点一解分式方程►题型01解分式方程中判断去分母是否正确解分式方程中判断去分母是否正确常见错误点易错点类型具体表现判断方法漏乘常数项或整式项只给分式项乘最简公分母，忽略无分母的常数项/整式项检查方程中所有项是否都乘了最简公分母，无分母的项也要乘最简公分母找错1.分母是多项式时，未因式分解直接找公分母2.忽略分母间的公因式分母是多项式时，先因式分解，再取各因式的最高次幂的积作为最简公分母符号处理失误1.分母互为相反数时（如x−2和2−x），未统一符号直接乘2.去分母时忽略分子的括号，导致符号错误1.遇到a−b和b−a，先转化为相同形式（提取负号）2.分子是多项式时，去分母后保留括号，再去括号错用“约分”代替去分母直接将两个分式的分子分母交叉约分，破坏等式结构去分母必须是方程两边同乘最简公分母，不能直接交叉约分；约分仅适用于分式内部的分子分母忽略分母不为0的前提去分母后未考虑最简公分母可能为0，直接判定整式方程的解是原方程的解去分母是“等价变形”的前提是最简公分母≠0，因此去分母后必须验根，不能直接判定解的有效性【典例】（2025·湖南娄底·三模）将关于x的分式方程2x−3A．2x+4+3x=0 C．2x+3x+4=0 【答案】B【分析】本题主要考查解分式方程，将原分式方程两边同乘xx+4【详解】解：2x方程两边同乘xx+4得2x+4故选：B．【变式1】（2025·贵州遵义·三模）解分式方程2xx−2−1=3x−1A．2x−1=3x−1 B．2x−(x−2)=3x−1C．2x−(x−2)=−3x−1 D．2x−(x−2)=−3x+1【答案】D【分析】此题考查了解分式方程，根据去分母的过程进行解答即可，熟练掌握解分式方程方法步骤是解题关键．【详解】解：2xx−2去分母得，2x−x−2故选：D．【变式2】（2025·新疆喀什·二模）解分式方程3x−2+x+3A．3+x+3=4x−2C．3−x+3=4 【答案】D【分析】本题考查解分式方程，方程两边同时乘以最简公分母，将方程转化为整式方程进行判断即可．【详解】解：方程两边同时乘以x−2，得：3−x+3故选：D．【变式3】（2025·江苏无锡·一模）解分式方程31−2x=2xA．3=−2x−5 B．3=2x−5C．32x−1=2x1−2x【答案】D【分析】本题考查解分式方程-去分母，将原方程两边同乘最简公分母1−2x进行去分母即可．【详解】解：原方程两边同乘1−2x得：3=−2x−51−2x故选：D．►题型02解分式方程快速避错口诀①去分母，遍乘无遗漏，因式分解找公分母；②符号变，分子括起来，互为相反数先转化；③解整式，验根不可少，公分母零就是增根；④遇参数，分类要全面，增根无解两情况。【典例】（2025·四川成都·二模）分式方程3−xx−2=1A．x=6 B．x=2 C．x=0 D．无解【答案】C【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：3−x去分母得：3−x=−1−2x−2解得：x=0，检验：当x=0时，x−2≠0，∴原方程的解为x=0．故选：C【变式1】（2025·江苏·一模）解方程：4x【答案】x=8【分析】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握相关的解法及注意事项是解答本题的关键．先化为整式方程，求解后进行检验即可；【详解】解：4x两边同时乘以xx−24x−24x−8−3x=0，4x−3x=8，x=8，检验：当x=8时，xx−2所以原分式方程的解是x=8；【变式2】（2025·广东清远·三模）解方程：2x−2【答案】x=10【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键．按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解并检验即可．【详解】解：2x−22x+22x+4=3x−6，−x=−10，解得：x=10，经检验，x=10是原方程的解，∴原方程的解为x=10．【变式3】（2025·青海西宁·一模）解分式方程：3−1【答案】x=【分析】本题考查解分式方程．去分母，将分式方程化为整式方程后，验根即可．【详解】解：去分母，得36x−2去括号，得18x−6−2=4，解得x=2检验，当x=23时，∴原方程的解为x=2命题点二分式方程的解►题型01已知分式方程的解正负求参数已知分式方程的解为正数或负数，求参数的取值范围，是中考分式方程含参问题的高频题型。解题核心是“先解整式方程，再结合解的符号限制+增根排除条件，双管齐下确定参数范围”，具体方法如下：一、通用解题步骤（四步法）去分母，化分式方程为整式方程方程两边同乘最简公分母，消去分母，转化为一元一次整式方程（形如ax=b)注意：去分母时每一项都要乘，常数项、整式项不能漏乘；分母是多项式先因式分解，分母互为相反数先统一符号。二、解整式方程，用参数表示解把参数当作已知数，解出整式方程的解，结果用含参数的代数式表示（如x=m+2，m为参数）注意：若整式方程的一次项系数含参数，需先讨论系数是否为0：若系数为0且常数项≠0→整式方程无解，原分式方程也无解；若系数为0且常数项=0→整式方程有无数解，结合分母限制判断是否符合题意。三、列不等式，限制解的符号若解为正数→列不等式：解大于0；若解为负数→列不等式：解大于0；解不等式，初步确定参数的取值范围。四、排除增根，补充限制条件增根是使最简公分母为0的解，增根不是原分式方程的解，因此需满足：解增根（即解代入最简公分母≠0）。结合此条件，进一步缩小参数的取值范围。【典例】（2025·四川绵阳·一模）已知关于x的分式方程mx−1+2=−31−x的解为非负数，则所有正整数A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】本题考查了分式方程的解的问题求参数．考虑到分式方程有可能产生增根的情形是解题的关键．利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，由题意得到不等式；分式方程有可能产生使分母为0的增根，所以原方程的解不等于1，由以上两个条件即可得出答案．【详解】解：去分母，得：m+2x−1移项，合并同类项，系数化1得：x=5−m∵解为非负数，∴5−m2∴m≤5．∵原分式方程有可能产生增根x=1，∴5−m2∴m≠3，∴正整数m的值为5、4、2、1，故有4个，故选：A．【变式1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知关于x的分式方程mx−3+43−x=1A．m<1 B．m≤1 C．m≥1且m≠4 D．m>1且m≠4【答案】B【分析】本题主要考查根据分式方程的根求参数，掌握解分式方程的方法，根据根的情况求参数的方法，求一元一次不等式的解的方法是解题的关键．表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于m的不等式，解出m的范围即可．【详解】解：去分母得：m−4=x−3，解得：x=m−1，∵方程的解为非正数，∴m−1≤0，解得m≤1，又∵x−3≠0，∴x≠3，∴m−1≠3，∴m≠4，∴m的取值范围是m≤1．故选：B．【变式2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知关于x的分式方程2x−3+mxx2A．m≥3且m≠10 B．m>3且m≠10C．m≤3且m≠−4 D．m>3且m≠4【答案】B【分析】本题考查分式方程的解法，一元一次不等式组的解法，解题的关键在于根据分式方程解的情况建立不等式组．根据题意，先解出分式方程，再根据其解是非正数，建立不等式组求解，注意考虑分母不为0即可．【详解】解：222x+6+mx=5x−15m−3x=−21∵分式方程的解是非正数，∴x=−21m−3≤0∵m−3≠0，整理得：m−3>0，且21≠9−3m，解得m>3，且m≠−4，m≠10，综上所述，则m取值范围是m>3且m≠10，故选：B。【变式3】（2025·江苏扬州·三模）已知关于x的分式方程2xx−1=mx−1+5【答案】m<5且m≠2【分析】本题考查利用分式方程的解的情况求参数，掌握分式方程的解法是解题的关键．先解分式方程可得x=5−m3，再根据解为正数，结合方程的增根建立关于【详解】解：2x去分母，得2x=m+5x−1解得：x=5−m分式方程的增根为：x=1∵分式方程2xx−1∴5−m3解得：m<5，且m≠2．故答案为：m<5且m≠2．【变式4】（2025·西藏日喀则·一模）分式方程2x−1=1+ax−1的解为正数，则【答案】a<3且a≠2【分析】本题考查了解分式方程和解一元一次不等式，先解分式方程，求出方程的解x=3−a，根据题意列出不等式3−a>0且3−a≠1，求出不等式的解集即可．【详解】解：分式方程去分母得：2=x−1+a，解得：x=3−a，根据题意得：3−a>0且3−a≠1，解得：a<3且a≠2，故答案为：a<3且a≠2．►题型02已知分式方程增根或无解求参数已知分式方程有增根或无解求参数的值/取值范围，是中考分式方程含参问题的核心题型。解题的核心逻辑是“先转化为整式方程，再结合增根、无解的本质条件分类讨论”，具体思路拆解如下：概念本质特征关键区别增根1.是去分母后整式方程的解2.代入原分式方程的最简公分母=0（使分母无意义）增根是“整式方程的解，但不是分式方程的解”；有增根≠分式方程无解无解分式方程无解分两类情况：1.整式方程的解都是增根2.去分母后的整式方程本身无解（仅一元一次方程中0⋅x=a，a=0时成立）无解包含“有增根导致无解”和“整式方程无解导致无解”两种情况【典例】（2025·陕西延安·一模）解关于x的分式方程5+xx−2=m2−xA．0 B．−2 C．2 D．2或−2【答案】B【分析】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是明确增根的定义（使分式方程分母为零的根），先求出增根，再将增根代入去分母后的整式方程求解m的值．先确定分式方程的分母为x−2和2−x，令分母为零得增根x=2；再将分式方程两边同乘最简公分母x−2化为整式方程；最后把增根x=2代入整式方程，计算得出m的值，进而判断选项．【详解】解：分式方程5+xx−2=m2−x令分母为零，得增根x=2．方程两边同乘x−2去分母，得：5(x−2)+x=−m．将增根x=2代入整式方程：5×(2−2)+2=−m，即0+2=−m，解得m=−2．故选：B．【变式1】（2025·黑龙江佳木斯·一模）如果关于x的分式方程mxx+2+xA．−1 B．1或0 C．1 D．1或−1【答案】D【分析】本题考查分式方程的解，理解其意义是解题的关键．将原方程去分母得mx+x=2x+4，整理得m−1x=4，根据题意分情况讨论并求得对应的m【详解】解：原方程去分母得mx+x=2x+4，整理得m−1x=4当m−1=0，m=1时，0x=4无解，那么原方程无解，符合题意，当m≠1时，若方程无解，那么它有增根x=−2，则−2m−1解得：m=−1，综上，m的值为1或−1，故选：D．【变式2】（2025·四川自贡·二模）若分式方程2x=mx−1无解，则A．0 B．2 C．0或2 D．1或2【答案】C【分析】本题主要考查分式方程无解的情况，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先将分式方程转化为整式方程，再分一元一次方程无解和分式方程有增根进行讨论即可．【详解】解：22x−2=mx2−m∵分式方程2x∴2−m=0，∴m=2；∴xx−1当x=0时，0≠2，不成立；当x−1=0时，x=1，则2−m=2，∴m=0，综上所述，若分式方程2x=mx−1无解，则m的值为故答案为：C．【变式3】（2025·甘肃定西·三模）已知关于x的分式方程x+ax−3−7x=1A．−3 B．3或0 C．−3或4 D．4【答案】C【分析】本题考查了分式方程无解问题，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．将方程去分母，整理得a−4x=−21．分两种情况讨论：①若a−4=0，则该整式方程无解，原分式方程无解，可求得此时a=4；②若a−4≠0，则整式方程的解为x=−21a−4，根据原分式方程无解，得到当x=−21a−4【详解】解：x+ax−3方程两边同乘xx−3，得x整理，得a−4x=−21①若a−4=0，则该整式方程无解，原分式方程无解，此时a=4；②若a−4≠0，则整式方程的解为：x=−21∵原分式方程无解，∴当x=−21a−4时，即−21∴−21a−4=0解得：a=−3，综上所述，a的值为4或−3．故选：C．►题型03已知分式方程的整数解求参数高频易错点规避1.忽略参数的限定条件如例题变式中，题目要求参数如k是正整数，若遗漏此条件，会扩大参数的取值范围。规避：审题时圈画参数的限定词（如“整数”“正整数”“负整数”）。2.未排除增根直接求参数只考虑解是整数，忘记检验解是否为增根，导致答案错误。规避：步骤4是必做环节，增根一定要排除。3.解的形式为分式时，不会分析倍数关系如解为x=m+32技巧：若x=4.忽略整式方程无解的情况当整式方程一次项系数含参数时，未讨论系数为0的情况，直接求解导致漏解或错解。规避：先讨论系数是否为0，再分析整数解条件。【典例】（2025·重庆·模拟预测）若关于x的不等式组6x−1>x+ax2+1≥52x−9所有整数解的和为14，且关于y的分式方程【答案】14【分析】此题考查了含有字母参数的一元一次不等式组和分式方程问题的解决能力，先通过解一元一次不等式组和分式方程确定所有满足条件的整数a的值，再进行计算求解．关键是能准确理解并运用以上知识进行计算求解．【详解】解：6x−1>x+a①解不等式①，得x>1+a解不等式②，得x≤5，∴该不等式组的解集为1+a5∵该不等式组所有整数解的和为14，∴该不等式组的整数解为5,4,3,2或5,4,3,2,1,0,−1，∴1≤1+a5<2解得4≤a<9或−11≤a<−6；解分式方程a−1y−1得y=a−2∵解为非负整数，∴−11≤a<−6这种情况应舍去，∴a−22≥0，即a≥2且由题意得，当a=8时，y=8−2当a=6时，y=6−2当a=4时，y=4−2∴所有满足条件的整数a的值为8、6，∵8+6=14，∴所有满足条件的整数a的值之和为14，故答案为：14．【变式1】（2025·四川眉山·一模）若关于x的不等式组3x+1>a−2x+1,2x−1≤1+x,恰有4个整数解，关于t的分式方程31−t−【答案】−12【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，不等式组整理后，表示出解集，由不等式组有解且最多有4个整数解确定出a的范围，再由分式方程解为整数，确定出满足题意整数a的值，求出之和即可．【详解】解：3x+1>a−2x+1由①得：x>a−3由②得：x≤2，∴不等式组的解集为a−35∵不等式组有解且最多有4个整数解，∴−2≤a−3解得：−7≤a<−2，∵31−t分式方程去分母得：3+a=−2(1−t)，解得：t=a+52，且∴a≠−3，∵分式方程的解为整数，−7≤a<−2∴a=−7或−5，则满足题意整数a之和为−7−5=−12．故答案为：−12．【变式2】（2025·重庆渝中·二模）关于x的不等式组3x−2≥m−xx+13>x−12只有4个整数解，且关于y的方程y+m【答案】1【分析】此题考查了含字母参数的一元一次不等式组和分式方程的求解能力，关键是能准确计算、讨论．先分别解该不等式组和分式方程求得所有满足条件的整数m的值，再求和计算．【详解】解：解不等式组3x−2≥m−xx+1得m+24可得其4个整数解为：1，2，3，4∴0<m+2解得−2<m≤2；解方程y+my−1y=−m+2，∴−m+2≥0且−m+2−1≠0，解得m≤2且m≠1，∴−2<m≤2且m≠1，∴所有满足条件的整数m的值为：−1，0，2，∴−1+0+2=1，即所有满足条件的整数m的值之和为1，故答案为：1．【变式2】（2025·重庆·一模）若关于x的不等式组3x+62≥x+26x−a<1有解且最多有4个整数解，且关于y的分式方程ay−3=3−【答案】−1【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，不等式组整理后，表示出解集，由不等式组有解且最多有4个整数解确定出a的范围，再由分式方程解为整数，确定出满足题意整数a的值，求出之和即可．【详解】解：3x+62由①得：x≥−2，由②得：x<a+1∵关于x的不等式组3x+62∴−2≤x<a+1∵不等式组有解且最多有4个整数解，∴−2<a+1解得：−13<a≤11，∵ay−3分式方程去分母得：a=3y−9+2y，解得：y=a+95，且∵分式方程的解为整数，−13<a≤11∴a=−9或−4或1或11，则满足题意整数a之和为−9−4+1+11=−1．故答案为：−1【变式3】（2025·重庆渝北·一模）若关于x的不等式组3x+52>2x−16x−2≥2x+a有且只有3个奇数解，且关于y的分式方程y+a−31−y+【答案】2【分析】本题考查解不等式组，解分式方程，根据解的情况确定参数．先解不等式组，结合不等式组有且只有3个奇数解得到不等式组的解为a+24≤x<7，奇数解为x=1,3,5，从而确定a的取值范围．解分式方程y+a−31−y+2ay−1=1【详解】解：由不等式3x+52>2x−16x−2≥2x+a∵不等式组有且只有3个奇数解，∴不等式组的解为a+24≤x<7，奇数解为∴−1<∴−6<a≤2．解分式方程y+a−31−y+2a∵该分式方程的解为正整数，∴a+4是2的倍数，即a是偶数．a≠−4，又当y=a+42时，1−y≠0，即∴a≠−2，综上所述，a应满足−6<a≤2且a是偶数且a≠−2，a≠−4∴整数a=0,2，它们的和为0+2=2．故答案为：2命题点三二元一次方程组的解►题型01列分式方程【典例】（2024·甘肃甘南·中考真题）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的52倍，求规定时间．设规定时间为xA．800x−2=5C．800x−1=2【答案】A【分析】本题考查了分式方程的应用，设规定时间为x天，则慢马送达所需时间为x+1天，快马送达所需时间为x−2天．慢马速度为800x+1里/天，快马速度为800x−2里/天．根据快马速度是慢马速度的【详解】解：∵慢马所需时间比规定时间多1天，即x+1天，∴慢马速度为800x+1∵快马所需时间比规定时间少2天，即x−2天，∴快马速度为800x−2又∵快马速度是慢马速度的52∴800x−2故选：A．【变式1】（2025·四川成都·模拟预测）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题∶“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽有x株，则符合题意的方程是（

）(椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆)A．6210x=3 B．6210x−1=3 C．【答案】D【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，根据每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，以及这批椽的价钱为6210文可分别表示出1株椽的价钱，据此可建立方程．【详解】解：∵每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，∴1株椽的价钱为3x−1∵这批椽的价钱为6210文，∴1株椽的价钱为6210x∴3x−1故选：D．【变式2】（2025·甘肃临夏·一模）DeepSeek掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时，若两模型合作处理，仅需1.5小时即可完成．设R2A．1x+1x+2=1.5 B．1x【答案】B【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出方程．设R2单独处理需要x小时，则R1单独处理数据的时间x+2小时，根据两模型合作【详解】解：设R2单独处理需要x小时，则R1单独处理数据的时间1故选：B．【变式2】（2025·四川成都·二模）某车间加工1300个零件后，采用了新工艺，工效提升了30%，这样加工同样多的零件就少用10小时．采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？设采用新工艺前每小时加工xA．1300x−1300C．x1.300−1+30【答案】A【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据题意可得工效提升了30%后，每小时加工(1+30%)x个零件，再根据题意可得等量关系：采用新工艺前加工1300个零件所用时间−采用新工艺后加工1300个零件所用时间=10，根据等量关系列出方程即可．【详解】解：设采用新工艺前每小时加工x个零件，根据题意得，1300故选：A．【变式3】（2025·湖北十堰·三模）汉十高铁全长约400千米，动车运行后的平均速度是原来火车的2.5倍，这样由十堰到武汉的行驶时间缩短了3小时．设原来火车的平均速度为x千米/时，则下列方程正确的是（

）A．400x+2.5=400C．400x+3=400【答案】D【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是根据路程、速度和时间的关系，分别表示出两种交通工具的行驶时间，再依据时间差列出方程．根据路程除以速度等于时间，分别求出原来火车行驶全程的时间和动车行驶全程的时间；由于动车行驶时间比原来火车缩短了3小时，即原来火车的行驶时间减去3小时等于动车的行驶时间，据此列出方程．【详解】解：设原来火车的平均速度为x千米/时，则动车运行后的平均速度为2.5x千米/时．原来火车行驶汉十高铁全长400千米所需的时间为400x动车行驶汉十高铁全长400千米所需的时间为4002.5x因为动车行驶时间比原来火车缩短了3小时，所以原来火车的行驶时间减去3小时等于动车的行驶时间，即400x故选：D．【变式4】（2025·江西抚州·一模）在物理学中，物质的密度ρ等于物体的质量m与它的体积V之比，即ρ=mV．已知A,B两个物体的密度之比为3:5，当物体A的质量是100g，物体B的质量是200g时，物体B的体积比物体A的体积小27cm3．如果设物体A的体积是A．3×100x=5×C．3×100x=5×【答案】D【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意直接进行求解【详解】解：设物体A的体积是xcm3，则物体B的体积是(x−27)cm故选D．►题型02分式方程实际应用之行程问题分式方程解决行程问题的核心是利用“路程、速度、时间”的基本关系，抓住题干中“时间差”“速度差”等关键词建立等量关系，再通过分式方程建模求解，具体思路如下：核心公式与等量关系1.基本公式：路程（s）=速度（v）×时间（t）⇒s=vt,t=行程问题中，时间的表达式是列分式方程的关键（因为分式方程的分母通常为速度）。2.常见的等量关系考法类型等量关系适用场景速度变化导致时间差原时间−现时间=提前时间现时间−原时间=推迟时间提速后提前到达、减速后迟到顺逆流/顺风逆风航行顺流时间−逆流时间=时间差或反之轮船航行、飞机飞行不同主体行驶同一路程甲的时间−乙的时间=时间差两人同时出发，一人先到3.特殊场景速度公式顺流速度=静水速度+水流速度（v顺逆流速度=静水速度-水流速度（v逆顺风/逆风同理【典例】（2025·吉林长春·中考真题）小吉和小林从同一地点出发跑800米，小吉的平均速度是小林的1.25倍，结果小吉比小林少用40秒到达终点．求小林跑步的平均速度．【答案】小林跑步的平均速度为4米每秒【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．设小林跑步的平均速度为x米每秒，则小吉的平均速度为1.25x米每秒，分别表示出时间，根据“小吉比小林少用40秒到达终点”建立分式方程求解，再检验即可．【详解】解：设小林跑步的平均速度为x米每秒，则小吉的平均速度为1.25x米每秒，由题意得：8001.25x解得：x=4，经检验，x=4是原方程的解，且符合题意，∴原方程的解为：x=4，答：小林跑步的平均速度为4米每秒．【变式1】（2025·广东佛山·三模）2025年佛山50公里徒步活动，约40万市民迎着春光奔跑，用脚步丈量绿美佛山环城线中途设置了6个签到点，签到点与起点的距离如下表：起点第1签5第2签13.5第3签17第4签23.5第5签29.5第6签35.5终点50电视塔升平里欧C工业园悦城峯境绿岛湖智慧公园青年公园世纪莲求：小明从第4签到第6签的平均速度是起点到第3签的平均速度v的0.8倍，且他从第4签到第6签比起点到第3签少用25h，求【答案】v的值为5km/h【分析】此题考查了分式方程的应用，根据题意得17v【详解】解：根据题意得：17v解得：v=5，经检验，v=5是所列方程的解，且符合题意，答：v的值为5km/h【变式2】（2025·浙江衢州·一模）2024年“有礼杯”衢州马拉松于11月24日开跑，小明和小聪一起报名参加了“迷你跑”的比赛．小明以一定的速度跑到3000米处的补给点休息了一段时间后，继续以原速前行，在距离终点500米处因体力不支，最终以100米/分的速度坚持跑到终点；小聪在途中休息了5分钟后，以原来的43倍的速度冲向终点．如图是小明和小聪在比赛过程中所跑的路程s（米）和跑步时间t(1)求a的值；(2)求图中线段BC对应的函数表达式；(3)求小聪休息前的速度．【答案】(1)42.5(2)s=200t−2000(3)150米/分【分析】此题考查了一次函数的应用、从函数图象获取信息等知识，准确求出函数解析式是关键．（1）利用“在距离终点500米处因体力不支，最终以100米/分的速度坚持跑到终点”求解；（2）先求出B、C两点的坐标，再利用待定系数法求出线段BC的解析式；（3）先当t=32.5时，得出s=4500，再设小聪休息前的速度为v米/分，列出关于v的分式方程求解．【详解】（1）解：a=37.5+500÷100=42.5；（2）解：由题意得：小明共休息37.5−5500÷3000÷15∴点B的坐标为(25,3000)，点C的坐标为(37.5,5500)，设线段BC的解析式为s=kt+b，由题意得：25k+b=300037.5k+b=5500解得k=200b=−2000∴线段BC的解析式为：s=200t−200025≤t≤37.5（3）解：当t=32.5时，s=4500；由图可得小聪休息时所跑的路程为4500米，设小聪休息前的速度为v米/分，得：4500v解得：v=150，经检验v=150是原方程的解,，且符合题意，答：小聪休息前的速度为150米/分．【变式3】（2025·山西太原·二模）2025年低空经济的核心产业eVTOL（电动垂直起降飞行器）发展火热，其核心技术在于电动化，与燃油直升机相比，大大节约了飞行成本．经过对某款eVTOL飞行器和燃油直升机对比调查发现eVTOL飞行器平均每公里航程能源成本是燃油直升机的35倍，且eVTOL飞行器充电费21600元比燃油直升机燃油费28800元飞行航程多200公里，那么eVTOL【答案】21.6元【分析】本题主要考查了分式方程的应用，首先设燃油直升机平均每公里航程的飞行成本为x元，则eVTOL飞行器平均每公里航程的能源成本为35x元，根据eVTOL飞行器充电费21600元比燃油直升机燃油费28800元飞行航程多【详解】解：设燃油直升机平均每公里航程的飞行成本为x元，则eVTOL飞行器平均每公里航程的能源成本为35根据题意可得：216003解方程得：x=36，经检验，x=36是分式方程的解，则35答：eVTOL飞行器平均每公里航程的能源成本为21.6元．►题型03分式方程实际应用之工程问题分式方程解决工程问题的核心是以“工作总量、工作效率、工作时间”的基本关系为依托，抓住“时间差”“合作效率”等关键词建立等量关系，通过设工作总量为1的技巧简化运算，核心公式与等量关系1.基本公式工作总量=工作效率×工作时间变形公式：工作效率关键技巧：当题目未给出具体工作总量时，常设工作总量为1。此时单人工作效率12.常见等量关系考法类型等量关系适用场景单人效率变化原工作时间−现工作时间=提前完成时间提高效率后提前完工多人合作甲工作量+乙工作量=总工作量合作效率=甲效率+乙效率甲乙合作完成任务分段工作先做工作量+后做工作量=总工作量先单独做，再合作做【典例】（2025·山东青岛·中考真题）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单．(1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品；(2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？【答案】(1)甲车间每天能生产180件产品乙车；间每天能生产120件产品(2)安排甲车间生产20天，则乙车间生产10天【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式以及一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．（1）设乙车间每天能生产x件产品，则甲车间每天能生产1.5x件产品，分别表示出甲、乙两个车间合作完成的时间和乙车间单独完成的时间，再根据“前后共用10天完成这批订单”建立分式方程求解；（2）设安排甲车间生产m天，则乙车间生产30−m天，先根据“安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍”得到关于m的一元一次不等式，再设生产总量为w，建立w关于m的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解．【详解】（1）解：设乙车间每天能生产x件产品，则甲车间每天能生产1.5x件产品，由题意得：1500x+1.5x解得：x=120，经检验：x=120是原方程的解，且符合题意，则1.5×120=180（件），答：甲车间每天能生产180件产品，乙车间每天能生产120件产品（2）解：设安排甲车间生产m天，则乙车间生产30−m天，由题意得：m≤230−m解得：m≤20，设生产总量为w，由题意得：w=180m+12030−m∵m>0，∴w随着m的增大而增大，∴当m=20时，w最大，即这30天的生产总量最大，∴30−m=30−20=10，∴安排甲车间生产20天，则乙车间生产10天．【变式1】（2025·山西·一模）2024年1月上旬，太原市城市轨道交通1号线一期工程首列车在中车大连公司正式下线．为保障轨道交通1号线的顺利通车，某工厂加急生产一批零件，需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产20%【答案】实际每天生产的零件个数为200个，实际完成任务的天数为20天【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设原计划每天生产零件x个，由需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产20%，则提前4【详解】解：设原计划每天生产零件x个，由题意得：4800x解得：x=200，经检验，x=200是原方程的根，且符合题意，∴1.2×200=240（个），则实际完成任务的天数为：4800÷240=20（天），答：实际每天生产的零件个数为200个，实际完成任务的天数为20天．【变式2】（2025·山东泰安·一模）如图，从A地到D地规划修建一条东西方向的笔直公路AD，勘测人员发现公路AD要穿过一座山，施工队原计划从B处开凿隧道通到C处，已知A，B，C，D四点在同一直线上，在C处的正南方取一观测点E，观测到点E在点B的南偏东53°方向上，观测点E到点B的距离为1500m．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80(1)求隧道两端BC间的距离；(2)原计划从B向C开挖，为了加快施工进度，实际从B，C两端同时相向施工，结果工作效率比原计划提高了20%【答案】(1)BC间的距离为1200(2)原计划单向开挖每天挖40【分析】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用．熟练掌握解直角三角形的应用，分式方程的应用是解题的关键．（1）由题意知，∠BCE=90°，∠E=53°，BE=1500m，则∠CBE=37°，根据BC=BE⋅（2）设原计划单向开挖每天挖xm，则相向施工时每天挖1.2xm，依题意得，【详解】（1）解：由题意知，∠BCE=90°，∠E=53°，BE=1500m∴∠CBE=180°−∠BCE−∠E=37°，∴BC=BE⋅cos∴BC间的距离为1200m（2）解：设原计划单向开挖每天挖xm，则相向施工时每天挖1.2x依题意得，1200x解得，x=40，经检验，x=40是原分式方程的解，∴原计划单向开挖每天挖40m【变式3】（2025·甘肃武威·二模）如图，某公路局施工队要修建一条公路MN，已知C点周围300米范围内为古建筑保护群，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走900米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上．（参考数据：2≈1.414，3(1)MN是否穿过古建筑保护群？为什么？(2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%【答案】(1)MN不会穿过古建筑保护群，理由见解析；(2)原计划完成这项工程需要25天．【分析】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，掌握相关知识是解题的关键．（1）要求MN是否穿过古建筑保护群，也就是求C到MN的距离，要构造直角三角形，再解直角三角形即可；（2）根据题意列方程求解即可．【详解】（1）解：MN不会穿过古建筑保护群，理由如下：如图，过C作CH⊥AB于H，设CH=x，由已知有∠EAC=45°，∠FBC=60°，则∠CAH=45°，∠CBA=30°在Rt△ACH中，AH=CH=x在Rt△HBC中，tan∵AH+HB=AB，∴x+3解得：x=9001+3∴MN不会穿过古建筑保护群；（2）解：设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成工程需要y−5天．根据题意得：1y−5解得：y=25，经检验知：y=25是原方程的根，答：原计划完成这项工程需要25天．►题型04分式方程实际应用之销售问题分式方程解决销售问题的核心是依托“总价、单价、数量”的基本关系，抓住题干中“总价相同”“数量差”“单价倍数”等关键词建立等量关系，通过分式方程建模求解。核心公式与等量关系1.基本公式：总价=单价×数量变形公式（列分式方程的关键）：数量=总价单价该变形是销售问题列分式方程的核心依据，因为分式方程的分母通常为单价。2.常见等量关系考法类型等量关系适用场景单价变化导致数量差原价购买数量−涨价后购买数量=少买的件数降价后购买数量−原价购买数量=多买的件数用固定总价买商品，单价变化引发数量变化两种商品单价对比甲单价=k×乙单价（k为倍数）甲购买数量=乙购买数量±差值已知两种商品单价关系和数量差，求单价总价相同的两种方案方案一总价=方案二总价不同单价和数量组合，总价相等【典例】（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同．(1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元．(2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？【答案】(1)甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元(2)购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元．【分析】（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为x+300元，根据题意，得50000x（2）根据题意，甲型健身器材买了a个，则购买乙型健身器材数量为20−a个，且a≤320−a，根据题意，得w=2800本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键．【详解】（1）解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为x+300元，根据题意，得50000x解得x=2500，经检验，x=2500是原方程的根．此时x+300=2800，答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元．（2）解：根据题意，甲型健身器材买了a个，则购买乙型健身器材数量为20−a个，且a≤320−a即a≤15，且a根据题意，得w=280020−a由k=−300<0，得w随a故当a=15时，w取得最小值，且最小值为w=−300×15+56000=51500（元），故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元．【变式1】（2025·山东潍坊·中考真题）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买A型机器人的总费用为90万元，购买B型机器人的总费用为60万元，B型机器人单价比A型机器人单价低3万元．(1)求A型、B型两种机器人的单价；(2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求A、B两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案．【答案】(1)A型机器人单价为9万元，B型机器人单价为6万元(2)方案一：A型机器人1台，B型机器人9台；方案二：A型机器人2台，B型机器人8台；方案三：A型机器人3台，B型机器人7台【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和不等式，是解题的关键：（1）设A型机器人单价为x万元，则B型机器人单价为x−3万元，根据采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买A型机器人的总费用为90万元，购买B型机器人的总费用为60万元，列出方程进行求解即可；（2）设配备A型机器人y台，则配备B型机器人10−y台，根据购买这10台机器人的总费用不超过70万元，列出不等式进行求解即可．【详解】（1）解：设A型机器人单价为x万元，则B型机器人单价为x−3万元，根据题意，得90x解得x=9，经检验，x=9是原分式方程的根，且符合题意，所以，x−3=6．所以，A型机器人单价为9万元，B型机器人单价为6万元．（2）设配备A型机器人y台，则配备B型机器人10−y台，根据题意，得9y+610−y解得y≤10∵要求A、B两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正整数∴y的取值为1，2，3，共有3种方案：方案一：A型机器人1台，B型机器人9台；方案二：A型机器人2台，B型机器人8台；方案三：A型机器人3台，B型机器人7台．【变式2】（2024·四川绵阳·中考真题）为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊，预算资金为2700元，其中1200元购买甲种花卉，其余资金购买乙种花卉．已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株．(1)求甲、乙两种花卉每株的价格；(2)购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花卉均按原价八折销售．已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元．求购买这两种花卉有几种方案？并计算所需费用的最小值．【答案】(1)甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元．(2)购买这两种花卉有6种方案，所需费用的最小值为2680元．【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，找准等量关系，正确列出分式方程、一元一次不等式组、一次函数关系式成为解题的关键．（1）设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为1.2x元，根据购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株，列出分式方程求解即可；（2）设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉120−m株，根据总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元，列出一元一次不等式组，解得45≤m≤50，得出购买这两种花卉有6种方案，再设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元，由题意列出一次函数关系式，然后由一次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为1.2x元，由题意得：2700−12001.2x−1200经检验，x=25是原方程的解，且符合题意，所以1.2x=1.2×25=30．答：甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元．（2）解：设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉120−m株，由题意得：25×0.8m+30×0.8120−m≤270025×0.8m≤1000∵m为正整数，∴m=45，∴购买这两种花卉有6种方案，设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元，由题意得：y=25×0.8m+30×0.8120−m∵−4<0，∴y随m的增大而减小，∴当m=50时，y有最小值=−4×50+2880=2680．答：购买这两种花卉有6种方案，所需费用的最小值为2680元．【变式3】（2025·河南南阳·三模）山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为50000元，今年每辆销售价比去年降低300元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%A，A型车B型车进货价格/元10001300销售价格/元今年的销售价格1800(1)今年A型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答）(2)该车行计划新进一批A型车和款B型车共80辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的3倍，应如何进货才能使这批车获利最多？【答案】(1)1200元(2)购进A型车20辆、B型车60辆能使这批车获利最多【分析】（1）设今年A型车每辆售价x元，则去年A型车每辆售价x+300元，今年与去年的销售数量均为50000x+300辆，根据今年A型车每辆售价×今年A型车的销量=今年A型车的销售额列关于x（2）设购进A型车a辆，则购进B型车80−a辆，根据题意列关于a的一元一次不等式并求其解集，设这批车获利y元，写出y关于a的函数关系式，根据一次函数的增减性和a的取值范围，确定当a取值时y值最大，再求出此时80−a的值即可．【详解】（1）解：设今年A型车每辆售价x元，则去年A型车每辆售价x+300元，今年与去年的销售数量均为50000x+300根据题意，得50000xx+300解得x=1200，经检验，x=1200是所列分式方程的根，答：今年A型车每辆售价1200元；（2）解：设购进A型车a辆，则购进B型车80−a辆，根据题意，得80−a≤3a，解得a≥20，设这批车获利y元，则y=1200−1000∵−300<0，∴y随a的减小而增大，∵a≥20，∴当a=20时y值最大，则购进B型车80−20=60辆，答：购进A型车20辆、B型车60辆能使这批车获利最多．【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，掌握分式方程、一元一次不等式的解法及一次函数的增减性是解题的关键．►题型05分式方程实际应用之和差倍问题【典例】（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍．(1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？(2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方案？【答案】(1)A、B两款玩偶的单价分别是16元和8元；(2)4种【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和一元一次不等式组，是解题的关键：（1）设B款玩偶的单价是x元，根据购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍，列出方程进行求解即可；（2）设购进A款玩偶a个，根据B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，列出不等式组，求出整数解，即可．【详解】（1）解：设B款玩偶的单价是x元，由题意，得：24002x解得：x=8，经检验，x=8是原方程的解，且符合题意；∴2x=16；答：A、B两款玩偶的单价分别是16元和8元；（2）设购进A款玩偶a个，则购进B款玩偶100−a个，由题意，得：100−a≤2a16a+8解得：1003∵a为整数，∴a=34,35,36,37，∴100−a=66,65,64,63，故共有4种方案．【变式1】（2025·江苏·中考真题）某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的54【答案】乙款书签价格为16元，甲款书签价格为20元【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．设乙款书签价格为x（元），则甲款书签价格为54【详解】解：设乙款书签价格为x（元），则甲款书签价格为54由题意得：1005解得：x=16，经检验：x=16是原方程的解，且符合题意，∴则甲款书签价格为54答：乙款书签价格为16元，甲款书签价格为20元．【变式2】（2025·四川广安·中考真题）某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元．(1)求A，B两种帐篷的单价各多少元？(2)若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的13，则购买A，B【答案】(1)A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元(2)当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键．（1）设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为x+400元，根据用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等建立方程求解即可；（2）设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷20−m顶，总费用为W元，根据购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的13列出不等式求出m的取值范围，再列出W关于m【详解】（1）解：设A种帐篷