第04讲 二次根式（复习讲义）（原卷版）-【数学】2026年中考一轮复习讲练测

1/10第一章数与式第04讲二次根式目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）01·TOC\o"1-1"\h\z\u考情剖析·命题前瞻 202·知识导航·网络构建 303·考点解析·知识通关 404·命题洞悉·题型预测 6命题点一二次根式的有关概念题型01二次根式有意义的条件题型02最简二次根式题型03同类二次根式命题点二二次根式的性质题型01利用二次根式的性质化简题型02二次根式与数轴命题点三二次根式的运算题型01二次根式加减运算题型02二次根式乘除运算题型03二次根式混合运算题型04二次根式的化简求值问题05·重难突破·思维进阶 9突破一比较二次根式的大小突破二复合二次根式的化简突破三分母有理化考点课标要求考法分析二次根式的有关概念理解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件（被开方数非负）.常考查二次根式有意义的自变量取值范围，多为选择题/填空题（如2025・河南卷、2025・福建卷）.二次根式的性质掌握二次根式的非负性、化简等性质.考查二次根式的化简或非负性应用，多为选择题/填空题（如2025・湖南卷、2025・四川凉山卷）。二次根式的运算掌握二次根式的加减、乘除及混合运算法则，能进行简单运算。直接考查运算，常与实数运算结合，题型为选择题/计算题（如2025・河北卷、2025・天津卷、2025・陕西卷）.命题预测命题趋势：二次根式部分是中考数学的基础内容，考查覆盖面广，题型以选择题、填空题为主，难度适中。其中，二次根式的混合运算和与其他考点的综合应用是重点，着重考查学生对运算规则、化简方法的熟练掌握程度，同时也会涉及到与分式、数轴、实数等知识的综合应用，考查学生的知识迁移能力和基础运算能力。备考建议：夯实核心概念：重点掌握“被开方数非负”的应用场景（如求自变量取值范围），以及()等性质的化简规则，确保基础题不丢分。强化运算规范：针对加减（先化简再合并同类二次根式）、乘除（法则应用）、混合运算（顺序+符号），多练典型题，避免计算错误。训练数形结合：结合数轴分析二次根式相关的实数大小、位置问题，提升图形与代数的转化能力。关注综合题型：练习与分式、实数运算结合的题目，熟悉多考点融合的解题思路。考点一二次根式的有关概念1.二次根式的有关概念二次根式一般地，我们把形如__________________的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数．最简二次根式同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：1）被开方数不含__________________；2）被开方数中不含能开得尽方的__________________.同类二次根式把几个二次根式化为最简二次根式后，若__________________相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式.2.二次根式有意义在二次根式a中，要求被开方数a必须满足条件__________________，即被开方数是非负的，所以当a≥0时，a有意义，当a＜0时，a无意义.常见类型：1）单个二次根式，如a有意义的条件是__________________；2）二次根式相加，如a+b有意义的条件是3）二次根式作为分母时，如1a有意义的条件是__________________1．（2025·江苏南通·中考真题）若x−3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为．2．（2025·广东广州·中考真题）要使代数式x+1x−3有意义，则x的取值范围是3．（2025·山东烟台·中考真题）实数32的整数部分为考点二二次根式的性质性质文字语言应用一个非负数的算术平方根是非负数若a+ba一个非负数的算术平方根的平方等于它本身正用公式：32=__________________

一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值正用公式：

逆用公式：1．（2025·湖南·中考真题）化简12=2．（2025·全国·一模）若3a+22=3a+2，则实数a的取值范围是3．（2025·上海·模拟预测）计算：2−5考点三二次根式的运算加减运算一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并，即.乘法运算除法运算混合运算二次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算.1．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（

）A．2+3=5 B．2×32．（2025·福建·中考真题）计算：23．（2025·甘肃·中考真题）计算：12−命题点一二次根式的有关概念►题型01二次根式有意义的条件1）二次根式：被开方数为非负数；2）分式：分母不等于0；3）“复合型”式子：取使各部分都有意义的字母的取值范围的公共部分.【典例1】（2025·青海西宁·中考真题）当x=1时，下列代数式在实数范围内有意义的是（

）A．x−1x−1 B．x−1x C．x−2x−1【变式1-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若代数式xx−3+(x−2025)0有意义，则实数【变式1-2】（2025·广东·模拟预测）已知y=x−1+1−x+4，则【变式1-3】（2025·四川凉山·模拟预测）若x+2⋅1x−2=x+2►题型02最简二次根式判断一个二次根式是否是最简二次根式，应从以下三个方面进行:(1)被开方数中不含分母;(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式;(3)若被开方数是和或差的形式，则先尝试把被开方数写成积的形式，若无法写成积的形式则为最简二次根式，反之不是最简二次根式.【典例2】（2024·青海西宁·中考真题）在一个不透明的袋中装有5个相同的小球，分别写有0.2，13，6，10，27，随机摸出一个小球，上面的二次根式是最简二次根式的概率是【变式2-1】（2025·河北石家庄·模拟预测）若A=12×n，其中n为最简二次根式，A为有理数，【变式2-2】（2025·河北石家庄·二模）若2a−4是最简二次根式，则整数a的最小值为．►题型03同类二次根式判断两个根式是不是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，若它们的被开方数相同，则它们是同类二次根式，否则它们不是同类二次根式.注意：1）同类二次根式与根号外的因式无关．【典例3】（2025·河北唐山·三模）下列各数中，与2的差为有理数的是（

）A．3 B．3+2 C．22 【变式3-1】（2025·四川凉山·一模）若最简二次根式−2a−3与ba+1可以合并，则−【变式3-2】（2025天津模拟）最简二次根式x2+3x−11与5−3x是同类二次根式，则A．4或−4 B．2 C．−8 D．2或−8命题点二二次根式的性质►题型01利用二次根式的性质化简1）在实数范围内，式子表示非负数a的算术平方根，它具有双重非负性.2）“若几个非负数的和等于0，则表示这几个非负数都等于0”可以解决一些与算术平方根有关的问题.【典例4】（2024·四川乐山·中考真题）已知1<x<2，化简x−12+x−2A．−1 B．1 C．2x−3 D．3−2x【变式4-1】（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为a,b,c，三角形的面积S=14a2b2−►题型02二次根式与数轴【典例5】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数a,b在数轴上的对应位置如图所示，则(a−b)2−b−a−2A．2 B．2a−2 C．2−2b D．-2【变式5-1】（2025内蒙古模拟）实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则将a+22+b−2A．2a B．2b C．2a−2b D．4【变式5-2】（2025·福建三明·一模）如图，在数轴上有三个点，其中两个点分别表示−52，−43，点A表示的是位于这两点之间的整数，则这个整数为（A．−4 B．5 C．−6 D．−7命题点三二次根式的运算►题型01二次根式加减运算1）合并同类二次根式与合并同类项类似，即只把“系数”相加减，而根号部分不变.[注意]“系数”的结果若不是整数，则应写成假分数的形式，不能写成带分数形式，也不能写成小数形式.2）二次根式加减运算的实质：合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并．【典例6】（2025·青海·中考真题）计算：12【变式6-1】（2025·上海·模拟预测）记fx=x，则【变式6-2】（2025·河北沧州·模拟预测）若a<80−20<a+1，则正整数【变式6-3】（2025·广东深圳·模拟预测）计算：6+►题型02二次根式乘除运算1）只有当a≥0，b≥0时，才成立.2）只有当a≥0，b＞0时，才成立.3）若被开方数是带分数的，则要先将其化为假分数.4）二次根式运算时的注意事项：①结果要化为最简二次根式或整式；②如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件.【典例7】（2025·青海玉树·模拟预测）计算：23×2【变式7-1】（2025·河北邯郸·二模）计算：−232【变式7-2】（2025·河北·一模）5÷15×A．13 B．1 C．3 D．►题型03二次根式混合运算二次根式混合运算的“四注意”1）确定运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的；2）灵活运用运算律.3）正确使用乘法公式.4）有些运算中约分可使运算简便.【典例8】（2025·陕西·中考真题）计算：3×【变式8-1】（2025·山西临汾·二模）计算：5+3【变式8-2】（2025·云南丽江·模拟预测）估计5×A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间►题型04二次根式的化简求值问题对于复杂的代数式求值，一般不宜直接代入已知数求值，而是先将代数式化简，然后代入求值.【典例9】（2025·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：xx+2+x−12【变式9-1】（2025·福建南平·三模）先化简，再求值：1+1m−2÷【变式9-2】（2025·甘肃武威·模拟预测）先化简，再求值：x+1x2−x突破一比较二次根式的大小【典例1】（2025·湖南常德·二模）若a=2+3，b=1+A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．b>c>a【变式1-1】（2025遵义市四模）已知：a=6−5，b=7−6，c=22A．a<b<c B．c<a<b C．b<c<a D．c<b<a42．（2025·山东临沂·模拟预测）阅读下列解题过程，并解答问题．①13②211比较大小：2025−20242024−2023（填“>”或“