重难点06 最值模型之将军饮马、垂线段最短问题（6种题型）（复习讲义）（原卷版）-【数学】2026年中考一轮复习讲练测

1/10重难点06最值模型之将军饮马、垂线段最短问题目录01TOC\o"1-1"\h\z\u深挖重难·固根基 202分层锤炼·验成效 12固·重难考点拓·创新能力题型01将军饮马求和模型（几何）1．（2025·广东广州·中考真题）如图，⊙O的直径AB=4，C为AB中点，点D在弧BC上，BD=13BC，点P是AB上的一个动点，则A．2+7 B．2+23 C．3+72．（2025·四川南充·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD=4，则PE+PF的最小值是（

）A．4 B．27 C．6 D．3．（2025·西藏·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，连接BD，点P是BD上的一个动点，连接PA，PC，则PA+PB+PC的最小值是．4．（2025·四川内江·中考真题）如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，AB=22，点D、E、F分别是边BC、AB、AC上的动点，则△DEF周长的最小值是5．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AC=4，BD=2，E为线段AC上的动点，四边形DAEF为平行四边形，则BE+BF的最小值为．6．（2025·山东滨州·中考真题）如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上．（1）只用无刻度的直尺在AC上找一点D，使得BD最短（保留作图痕迹）．（2）在（1）的基础上，在BC边上找一点M，使得MA+MD最小，最小值为．题型02将军饮马求和模型（函数）7．（2025·河南濮阳·一模）如图，两座城市A和B在平面直角坐标系中的坐标为A3,6、B1,2，铁路所在的直线为y=x，计划在铁路上修建一个站点P，使站点P到两城市的距离和最小，则站点P的坐标为8．（2025·四川凉山·中考真题）如图，一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数y2=k(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)利用图像，直接写出不等式ax+b>k(3)在x轴上找一点C，使△ABC的周长最小，并求出最小值．9．（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于点A−1,0，(1)求抛物线的函数解析式；(2)如图2，连接BC，过点C作CD⊥BC与抛物线相交于另一点D．①求点D的坐标；②如图3，点E，F为线段BC上两个动点（点E在点F的右侧），且EF=2，连接OF，DE．求OF+DE题型03将军饮马求差模型10．（2022·四川乐山·二模）如图，直线y=kx+b与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y=4xx>0相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC=2(1)求直线的解析式；(2)若点M1,m为双曲线上的一点，点Q为y轴上的一动点，当QP−QM的值达到最大值时，求点Q11．（2025·浙江·中考真题）在菱形ABCD中，AB=5，(1)如图1，求sin∠BAC(2)如图2，E是AD延长线上的一点，连接BE，作△FBE与△ABE关于直线BE对称，EF交射线AC于点P，连接BP．①当EF⊥AC时，求AE的长．②求PA−PB的最小值．12．（2025·内蒙古赤峰·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=−x2+bx+c经过点2,3，与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，对称轴直线l(1)求该抛物线的函数解析式及顶点坐标．(2)设点C关于直线l的对称点为点D，P是直线l上的一个动点，是否存在点P，使PA−PD有最大值？若存在，求出PA−PD的最大值；若不存在，请说明理由．(3)M为抛物线上一点，连接MC，过点M作MN⊥CM交直线l于点N，若tan∠MCN=2313．（2025·重庆·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y(1)求AB的长；(2)点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PM∥BC交x轴于点M，点N为直线BC上一动点，过点N作NQ∥x轴交PM于点Q，连接PC，PB，PN，QA．当(3)如图2，将原抛物线沿射线BC方向平移，使平移后的新抛物线y'过点C，点D为新抛物线y'的对称轴与x轴的交点，点F为新抛物线y'对称轴上一动点，连接FC，FO．若FO平分∠CFD，请直接写出所有符合条件的点F14．（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3a≠0与x轴交于A−1,0，B3,0两点，与(1)求抛物线的解析式；(2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使PA−PD有最大值？若存在，求出PA−PD的最大值；若不存在，请说明理由；(3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接MC，过点M作MN⊥CM交直线l于点N．若tan∠MCN=23题型04垂线段最短模型15．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AB=4，AD=DC=2，E是线段AD的中点，F是线段AB上的一个动点．现将△AEF沿EF所在直线翻折得到△A'EF（如图的所有点在同一平面内），连接A'B，AA．2−2 B．3−2 C．10−16．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=4，对角线BD=43，点P是边CD的中点，点M是对角线BD上的一个动点，连接PM、CM．则PM+CM的最小值是17．（2025·山东·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8．点P为边AC上异于A的一点，以PA，PB为邻边作▱PAQB，则线段PQ的最小值是18．（2025·山东东营·中考真题）如图，在△ABC中，AB=6，∠BAC=30∘，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是19．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，AB=3，BC=33，点M是边BC上一个动点，点N在射线CD上，∠MAN=60∘．线段AM的垂直平分线分别交直线AB、AM、AN、CD于点E、F(1)直接写出∠ACB=___________°，EHAM(2)当BM=1时，求EF+GH的值；(3)如图2，连接MG并延长交直线CD于点P．①求证：MG=PG；②如图3，过点P作直线EH的垂线，分别交直线EH、AN于点T、Q，连接DQ，求线段DQ的最小值．20．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，OA=2，OB=6，D是直线BC上方抛物线上一动点，作DF⊥AB交BC于点E，垂足为点F(1)求抛物线的表达式；(2)设点D的横坐标为t，①用含有t的代数式表示线段DE的长度；②是否存在点D，使△CDE是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接OE，将线段OE绕点O按顺时针方向旋转90°得到线段OG，连接AG，请直接写出线段AG长度的最小值．题型05马道驿站模型（造桥选址问题）21．（21-22八年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知P(4,3)，B(−2,0)，点Q从点P出发，先沿直线移动到y轴上的点M处，再沿垂直于y轴的方向向左移动1个单位至点N处，最后沿直线移动到点B处停止．当点Q移动的路径最短时（即三条线段PM、MN、NB长度之和最小），点M的坐标是（）A．0,12 B．0,35 C．22．已知，如图，线段CD长为8，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，AC=4，BD=3，EF为线段CD上两动点，F在E右侧且EF=1，则由A到B的路径：AE+EF+FB的最小值为．23．（2020九年级·全国·专题练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，BC=12，∠ABC=60°，点E、F是AD边上的动点，且EF=2，则四边形BEFC周长的最小值为．

24．（2025·四川雅安·一模）如图：菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，点E，点F是对角线AC上的两动点，EF=2，连接BF，DE，则BF+DE的最小值为25．（2023·陕西咸阳·一模）【问题提出】（1）如图1，点A、B在直线l的同侧，点A到直线l的距离AC=2，点B到直线l的距离BD=4，A、B两点的水平距离CD=8，点P是直线l上的一个动点，则AP+BP的最小值是________；【问题探究】（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF=1，求GE+CF的最小值；【问题解决】（3）如图3，某公园有一块形状为四边形ABCD的空地，管理人员规划修两条小路AC和BD（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P），并在AD和BC上分别选取点M、N，沿PM、PN和MN修建地下水管，为了节约成本，要使得线段PM、PN与MN之和最小．已测出∠ACB=45°，∠ADB=60°，∠CPD=75°，PD=40m，PC=502m

26．（2025·湖南娄底·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4a≠0经过点−1,6，与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，连接AC，(1)求抛物线的表达式；(2)点G是x轴上方抛物线上的一点，x轴上是否存在一点H，使得以A，C，G，H为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．(3)点P是射线CA上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交AC于点D．点M是线段DE上一动点，MN⊥y轴，垂足为N，点F为线段BC的中点，连接AM，NF,当线段PD长度取得最大值时，求AM+MN+NF题型06鹊桥相会模型27．（23-24八年级下·陕西西安·期中）（1）如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为−1,0,3,0，现同时将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A,B的对应点C,D，连接AC，BD,CD，直接写出点C的坐标______，D的坐标______及四边形（2）如图2，A，B两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线l1,l2是街道两边沿），现准备修建一座过街人行天桥．天桥应建在何处才能使由A经过天桥走到28．（2020·湖北武汉·模拟预测）【问题探究】如图1，a//b，直线MN⊥a，垂足为M，交b于点N，点A到直线a的距离为2，点B到b的距离为1，MN=1，AB=5，则AM+BN的最小值是；（提示：将线段BN沿【关联运用】如图3，在等腰Rt△ABC和等腰Rt△DEF中，∠ACB=∠DFE=90°，EF在直线AB上，BC=2DF=4，连接CE、CF，则CE+CF的最小值是．

29．（2025·安徽·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AB=4，BC=3，AD=1，点E为边AB上的动点．将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接FB，FC，EC，则下列结论错误的是（

）A．EC−ED的最大值是25 B．FB的最小值是C．EC+ED的最小值是42 D．FC的最大值是30．（2025·新疆·中考真题）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=4，AD=aBN，点M是AB的中点，点D和点N分别是线段AC和BC上的动点．(1)当点D和点N分别是AC和BC的中点时，求a的值；(2)当a=2时，以点C，D，N为顶点的三角形与△BMN相似，求BN(3)当a=2时，求MN+ND31．（2025·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4a≠0交x轴于A、B4,0两点，与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式；(2)P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PM∥x轴交直线BC于点M，过点P作PN⊥BC于点N，H为直线BC上的一动点．当14PM+2(3)将该抛物线沿CA方向平移5个单位长度得到得新抛物线y'，Q为新抛物线y'上的一个动点．当∠QAC=∠BCA时，请求出所有符合条件点32．（2024·山东济南·模拟预测）数形结合思想可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．

(1)2002年世界数学家大会（ICM2002）在北京召开，这届大会会标（如图1）的中央图案是经过艺术处理的“弦图”（如图2），它由4个全等的直角三角形拼成，请观察“弦图”直接写出a、b、c满足的等量关系为______．(2)某数学兴趣小组，采用数形结合思想解决了如下问题：已知线段AB=8，点C在线段AB上，AC=x,BC=y，求x2他们解决问题的思路是：如图3，在线段AB的同侧构造了两个Rt△ACD和Rt△BCE，∠CAD=∠CBE=90°，令AD=2,BE=4，利用勾股定理，得出CD=x(3)如图4，在△ABC中，∠CAB=30°，点D、E分别为AB、BC上的动点，且BD=CE,AC=23,BC=2，求33．（2024·陕西榆林·二模）【问题提出】（1）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=8，BC=15，点E为AD的中点，点F为BC上一点，连接EF，EF∥【问题探究】（2）如图2，菱形ABCD的边长为8，且∠ABC=60°，E是CD的中点，F为对角线AC上一动点，连接DF、EF，求△DEF周长的最小值；【问题解决】（3）某校为了开展劳动教育，开辟出一块四边形空地，其平面示意图如图3中四边形ABCD所示，经测量，BC=24米，CD=16米，∠BCD=90°，并沿着对角线BD修建一条隔墙（厚度不计）将该空地分成△ABD和△BCD两个区域，其中△ABD区域为幼苗培育区，△BCD区域为作物观察区，BD的中点P处有一扇门，现计划在BC上取点E、F（点E在点F左侧），并沿EF修建一面结果记录墙（厚度不计），根据规划要求，EF=5米，且PE与DF的长度之和最小，请问PE+DF的值是否存在最小值？若存在，求出PE+DF的最小值；若不存在，请说明理由．34．（2025·陕西·中考真题）问题探究（1）在△ABC中，∠BAC=90°，BC=8，AD为BC边上的中线，则AD的长为_____；（2）如图①，在△ABC中，∠BAC=90°,AC=4,AB=6,P为边BC上一点，PM⊥AC,PN⊥AB，垂足分别为M,N，连接MN，求MN的最小值；问题解决（3）如图②，四边形ABCD是一个游乐场的平面示意图，出入口在点B处．已知∠DAB=∠ADC=90°，AB=800 m,AD=CD=600 m．为了进一步提升游乐场的服务功能，管理部门规划修建由MN,NP,PQ,QM四条直步道连接而成的观景环道及服务中心O，其中，点M在边CD上，点N在边AD上，点P,Q在边AB上，点O按照设计要求，MN的长为400 m,PQ的长为80 m，在点B与点O之间距离最短的情况下，使所修建的观景环道最短．请你帮助管理部门计算，当BO最小时NP+MQ35．（2025·陕西·中考真题）问题探究（1）如图①，在△ABC中，请画出一个▱BDEF，使得点D，E，F分别在边AB，AC，BC上；（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，P为矩形ABCD内一点，且满足S△BPC=9，问题解决（3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，△ABC区域为草地，线段BC为花海边沿，点A为游客服务中心，线段PQ为步道，点P和点Q为步道口，点O为观景台．按照设计要求，点P，Q分别在边AB，AC上，且满足BP:AQ=2:3，O为PQ的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使∠BOC最大．已知AB=120m，AC=BC=180m，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口P与游客服务中心A之间的距离36．（2025·江苏淮安·中考真题）综合与实践【主题】雨天撑伞的学问【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形MNPQ，MN=0.2米，MQ=1.6米，雨伞撑开的宽度AC=1米，伞柄的OG部分长为0.45米，点O为AC中点，OG⊥AC，点G到地面的距离是1.35米，手臂可以水平向前最长伸出0.5米，雨线AB与地面的夹角为θ，雨线AB与CD平行，AC与地面BD平行．【问题感知】（1）①在图（1）、图（2）中，点C到地面的距离是米；②如图（1）所示，θ=72°，若小丽将伞拿在胸前（OG与NP在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分PK=米．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，【问题探究】（2）如图（2）所示，θ=60°，设小丽将手臂水平前伸了x米（即线段EG的长度），身体被雨水淋湿部分PK的长度为y米，求y与x的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下x的取值范围．【问题解决】（3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点G顺时针旋转一定角度（点G到地面的距离保持不变），使得AC与雨线AB垂直，如图（3）所示，试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出EG的最小值；如果不可以，请说明理由．37．（2024·陕西西安·模拟预测）【问题提出】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．