重难点07 最值模型之胡不归、阿氏圆、梯子滑行问题（7种题型）（复习讲义）（解析版）-【数学】2026年中考一轮复习讲练测

1/10重难点07最值模型之胡不归、阿氏圆、梯子滑行问题目录01TOC\o"1-1"\h\z\u深挖重难·固根基 102分层锤炼·验成效 53固·重难考点拓·创新能力题型01胡不归模型（几何问题）条件：已知A，B为定点，其中点A在定直线m上，点P在直线m上一动点，求k•PA+PB（k＜1）的最小值.图示：解题步骤：作射线AM使sin∠PAM=k（k＜1），且点M与点B位于直线m的两侧.2）过点P作PC⊥AM于点C，则PC=k•PA，此时k•PA+PB=PC+BP.3）过点B作BD⊥AM于点D，该垂线段长即为所求最小值，计算垂线段的解题大招：即当B，P，C三点共线时，k•PA+PB取最小值，最小值为BD的长度.模型总结：在求形如“k•PA+PB”的式子的最值问题中，关键是构造与k•PA相等的线段，将“k•PA+PB”型问题转化为“PC+PB”型.而这里的PA必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到k•PA的等线段注意：若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可.1．（2025·四川自贡·二模）等腰△ABC中AB=AC=5，tanA=2，CD⊥AB于D，点E是线段CD上一个动点．则BE+55A．25 B．23 C．35【答案】A【分析】本题考查解直角三角形的有关计算，画出图形，过E作EN⊥AC于N，过B作BM⊥AC于M，根据tanA=2结合AB=AC=5求出AD=5，CD=2AD=25，得到sin∠ACD=ADAC=55=EN【详解】解：如图，过E作EN⊥AC于N，过B作BM⊥AC于M，∵tanA=2，CD⊥AB于D∴tanA=2=∴CD=2AD，∵AD2+C∴AD解得AD=5∴CD=2AD=25∴sin∠ACD=∴EN=5∴BE+5∵BM⊥AC，AB=AC=5，∴S△ABC∴CD=BM=25∴BE+55CE故选：A．2．（2025·广东惠州·三模）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为1,2，点Q为直线y=x上一动点，则2PQ+OQ的最小值为（

A．2 B．2 C．3 D．2【答案】D【分析】本题考查了一次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．作QR⊥x轴于点R，求得QR=22OQ，推出2PQ+OQ=2PQ+2【详解】解：作QR⊥x轴于点R，∵点Q为直线y=x上一动点，∴QR=OR，∴∠QOR=45°，∴QR=2∵2PQ+OQ=∴当P、Q、R共线，且PR⊥x轴时，PQ+QR有最小值，∵点P的坐标为1,2，∴PR=2，即PQ+QR的最小值为2，∴2PQ+OQ的最小值为2故选：D．3．（2025·山西晋中·三模）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC,AB=2，点E为BD上一动点，连接AE，当AE+12BE取最小值时，DEA．1 B．2 C．33 D．【答案】C【分析】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的性质等知识，得到AE+12BE过A作AF⊥CB于F，过点E作EP⊥BC于P，故PE=12BE，得到AE+12【详解】解：过A作AF⊥CB于F，过点E作EP⊥BC于P，∵△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，∴∠DBC=30°，∴PE=1∴AE+12BE=AE+PE≥AF，即AE+∵AB=2，∴BF=FC=1∴AF=A∴AE+12BE此时点E是BD和AF的交点，如图，∵AF⊥BC，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，∴∠BAF=∠CAF=12∠BAC=30°，∴DE=1∵A∴2DE2解得DE=3故选：C．4．（22-23九年级上·山东济宁·期末）如图，△ABC中，AB=AC=15，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+55

A．35 B．65 C．5【答案】B【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tanA=BEAE=2，设AE=a，BE=2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明【详解】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．

∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，∵tan设AE=a，BE=2a，则有：225=2aa2解得a=35∴BE=2a=65∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB，则1∴CM=BE=65∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，∴sin∴DH=5∴CD+5当C、D、H三点共线时，CD+5∴CD+55BD故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．5．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，∠ADC=60°，CD=4，E是CD边上的一个动点，连接AE，AE的垂直平分线FG交AE于点G，交BD于点F，连接EF，则DF+2EF的最小值为．【答案】4【分析】过点F作FM⊥CD于点M，连接AF，AM，过点A作AH⊥CD于点H，求出∠BDC=12∠ADC=30°，得到EF=AF，然后得到DF+2EF【详解】如图，过点F作FM⊥CD于点M，连接AF，AM，过点A作AH⊥CD于点H．∵∠ADC=60°，∴∠BDC=1∵FM⊥CD∴DF=2FM．∵FG垂直平分AE∴EF=AF，∴DF+2EF=2FM+2AF=2FM+AF∴DF+2EF的最小值为2AH．∵∠ADC=60°，AD=CD=4，∴AH=AD⋅sin∴DF+2EF的最小值为43故答案为：43【点睛】此题考查了菱形的性质，三线合一，垂直平分线的性质，含30度角直角三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点．6．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC=3，∠CAB=30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为．【答案】3【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线．在∠BAC的外部作∠CAE=15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB=212PA+PB【详解】解：如图，在∠BAC的外部作∠CAE=15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，∴∠AFB=90°∵AB=AC，∴∠CAD=∠BAD=1∴∠EAD=∠CAE+∠CAD=30°，∴PF=1此时12PA+PB=PF+PB=BF，即12∴PA+2PB=21此时PA+2PB最小，在Rt△ABF中，AB=3∴BF=AB·sin∴PA+2PB最小故答案为：327．（2025·北京·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若CE=6，AE=2．①求BC的长；②点P为BC上一点，连接PA，PA+1【答案】(1)证明见解析；(2)①83；②PA+12【分析】本题考查与圆的性质概念，与圆有关的位置关系，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质并正确作出辅助线是解题关键．（1）连接OD、AD，由“直径所对的圆周角是直角”得∠ADB=90°，即有AD⊥BC，由已知、根据“等腰三角形三线合一”得BD=CD，从而得出：OD是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得OD∥AC，由已知、“一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条得DE⊥OD，根据切线的判定定理得证；（2）①由题意证明△DEC∽△ADC，求出CD，从而得出结论；②在Rt△ABD中，由边角关系可以求出∠ABC=30°，从而得出：AD=12AB=4，∠BAD=60°，过点P作PG⊥AB于点G，则由“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”得PG+12PB，延长AD到点F，使FD=AD=4，则由线段垂直平分线的性质可知：BC上任意一点P到点A与点F的距离都相等，即总有PF=PA，由“两点之间，线段最短”可知：当点F在直线PG上时，PF+PG【详解】（1）证明：连接OD、AD，如图：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，OA=OB，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．（2）解：①若CE=6，AE=2，则AB=AC=8，∵∠ADB=90°，∴∠ADC=90°，∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°=∠ADC，∵∠C=∠C，∴△DEC∽△ADC，∴DCAC∴CD2∵CD>0，∴CD=43∴BC=2CD=83即BC的长为83②点P为BC上一点，连接PA，PA+1在Rt△ABD中，BD=CD=43，∴∠BAD=60°，∴∠ABC=90°−60°=30°，∴AD=1过点P作PG⊥AB于点G，则PG=1延长AD到点F，使FD=AD=4，则BC上任意一点P到点A与点F的距离都相等，即总有PF=PA，由两点之间，线段最短可知：当点F在直线PG上时，PF+PG的长最小，从而PA+12PB此时，在Rt△AFG中，AF=AD+DF=8FG=AF×sin即PA+12PB题型02胡不归模型（函数问题）8．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c过点A−1,0，(1)求抛物线的表达式；(2)设P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；(3)若点M是线段OC上的一动点，连接AM，求AM+2【答案】(1)y=−(2)△PBC的最大面积为278，此时点P的坐标为(3)2【分析】本题考查了待定系数法，抛物线的最值，等腰直角三角形性质，熟练掌握抛物线的最值是解题的关键．（1）利用待定系数法可求解析式；（2）由待定系数法求出直线BC的解析式，过点P作y轴的平行线，交BC于Q，设Pm,−m2+2m+3，则S△PCB（3）连接AC，过点M作MN⊥BC于点N，证得△CMN是等腰直角三角形，可得MN=22CM，从而得到AM+22CM=AM+MN≥AN，当点A，M，N三点共线时，【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c过点A∴设抛物线解析式为y=ax−3把0,3代入得：3=a0−3解得a=−1，所以抛物线的解析式为y=−x−3（2）解：设直线BC的解析式为：y=kx+d，将B3,0，C3k+b=0b=3，解得k=−1∴直线BC的解析式为：y=−x+3，如图，过点P作y轴的平行线，交BC于Q，设Pm,−m2+2m+3，则∴S====−=−3即当m=32时，△PBC的面积最大，最大为即△PBC的最大面积为278，此时点P的坐标为3（3）解：如图，连接AC，过点M作MN⊥BC于点N，∵A−1,0，B3,0，∴OB=OC=3，OA=1，∴AB=4,BC=O∵∠BOC=90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠OCB=45°，∴△CMN是等腰直角三角形，∴MN=2∴AM+2即当点A，M，N三点共线时，AM+22CM∵S△ABC∴12∴AN=22∴AM+22CM9．（2025·河北唐山·二模）最值是数学中的常见问题，嘉嘉和淇淇利用所学知识研究如下最值问题.(1)如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC和AD的中点，连接EF，P为EF上的一动点.若AB=3，BC=4，则AP+BP得最小值为_______.(2)如图1，抛物线y=ax2+22x+c与x轴交于A，B两点，点B的坐标为①求抛物线的函数解析式.②抛物线的对称轴为直线l，P为直线l上的一动点，求BP+CP的最小值.③如图2，M为直线AC上的一点，连接OM，请直接写出12【答案】(1)5(2)①y=24x2【分析】（1）连接AC，交EF于点P，由AP+BP≥AC得到当点P在EF和AC的交点上时，AP+BP有最小值，利用勾股定理求解；（2）①点B2,0，C0,−22②连接AC，与l交于点P，根据点P在抛物线的对称轴l上，得到BP+CP的值最小，最小值为AC的长，求出点A的坐标，代入解析式求解；③过点A作直线AN，使得∠NAC=30°，过点O作ON⊥AN，交AC于点M，过点O作OE⊥AC于点E，利用解直角三角形的知识求出OE和CE，再利用解直角三角形的知识求解．【详解】（1）解：连接AC，交EF于点P，如下图∵AP+BP≥AC，E，F分别为BC和AD的中点，∴当点P在EF和AC的交点上时，AP+BP有最小值，最小值为AC的长度．∵AB=3，BC=4，∴AC=3∴AP+BP的最小值为：5．故答案为：5．（2）解：①将点B2,0，C0,−22得4a+解得a=2∴抛物线的函数解析式为y=2②如图1，连接AC，与l交于点P．∵点P在抛物线的对称轴l上，∴PB=PA，即此时BP+CP的值最小，最小值为AC的长，令y=0，则24解得x=−4或x=2，∴点A−4,0则AC=4即BP+CP的最小值为26③26如图2，过点A作直线AN，使得∠NAC=30°，过点O作ON⊥AN，交AC于点M，则点M即为所求．∵∠MAN=30°，∴MN=1则12过点O作OE⊥AC于点E，则∠MOE=90°−∠OME=90°−∠AMN=∠MAN=30°．∵AC=26则sin∠ACO=AOAC在Rt△COE中，OE=OC⋅同理，可得CE=2在Rt△OMERt△COE中，ME=OE⋅tan则AM=AC−ME−CE=26∴MN=2则12AM+OM的最小值【点晴】本题考查了根据矩形的性质求线段的最小值，抛物线解析式求法，勾股定理，解直角三角形，理解相关知识是解答关键．10．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c关于直线x=−3对称，与x轴交于A−1,0、B两点，与(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线对称轴上一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转90°，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标；(3)在线段OC上是否存在点Q，使2AQ+2CQ存在最小值？若存在，请直接写出点【答案】(1)y=(2)P−3,2或(3)存在，Q0,1，2AQ+2【分析】（1）对称性求出B点坐标，两点式写出函数解析式即可；（2）设对称轴与x轴交于点E，设P−3,p，E−3,0，分点P在x轴上方和点P在（3）在x轴上取点M5,0，连接AC,CM，过点A作AH⊥CM于点H，交y轴于Q'，过点Q作QG⊥CM于点G，易得△QGC为等腰直角三角形，进而得到QG=CG=22CQ，推出2AQ+2CQ=2AQ+22CQ=2AQ+QG≥2AH，得到当点【详解】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c关于直线x=−3对称，与x轴交于A∴B−5,0∴抛物线的解析式为：y=x+1（2）∵点P在对称轴上，设对称轴与x轴交于点E∴设P−3,p，E∵旋转，∴PB=PD,∠BPD=90°，当点P在x轴上方时，∵A,B关于对称轴对称，∴PA=PB，∴当∠APB=90°时，满足题意，此时点D与点A重合，PE=1∵A−1,0，B∴AB=4，∴PE=2，∴P−3,2当点P在x轴下方时，如图，作DF⊥对称轴于点F，则：∠DFP=90°=∠BEP=∠BPD，∴∠BPE=∠PDF=90°−∠DPF，又∵BP=DP，∴△BPE≌△PDF，∴DF=PE,PF=BE，∵B−5,0∴DF=PE=−p,PF=BE=2，OE=3，∴EF=−p+2，∴Dp−3,p−2把Dp−3,p−2代入y=x2解得：x=−1或x=2（舍去）；∴P−3,−1综上：P−3,2或P（3）存在；在x轴上取点M5,0，连接AC,CM，过点A作AH⊥CM于点H，交y轴于Q'，过点Q作QG⊥CM于点G，则：OM=5，∵y=x∴当x=0时，y=5，∴C0,5∴OC=OM=5，∴CM=2∴△QGC为等腰直角三角形，∴QG=CG=2∴2AQ+2∴当点Q与点Q'重合时，2AQ+2CQ∵A−1,0∴OA=1，AM=6，∵S△ACM∴6×5=52∴AH=32∴2AQ+2CQ的最小值为在Rt△AHM中，∠AMH=45°∴∠MAH=45°，∴△OAQ∴OQ∴Q0,1综上：Q0,1，2AQ+2CQ【点睛】本题考查二次函数的综合应用，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．11．（2025·四川德阳·二模）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A1,0，B3,0两点，与y轴交于点(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)点P为抛物线上位于直线BC下方的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；(3)若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+3【答案】(1)y=x2−4x+3，顶点(2)点P的坐标为P(3)存在最小值，最小值为3【分析】本题主要考查二次函数的解析式求解、顶点坐标计算、三角形面积最大值求解以及利用几何构造求线段和的最小值．（1）通过代入已知点坐标，求出解析式及顶点坐标；（2）作PM∥y轴，交BC于点M，设设Pp,p2−4p+3，计算PM的长度，利用三角形面积公式求解．当p=32时，（3）将直线CQ绕着Q点逆时针旋转30°，并过点C作其垂线，垂足为N，分别连接AQ，QN，CN，通过构造含30°角的直角三角形，利用几何性质求解AQ+NQ的最小值．当A、Q、N三点共线时，AQ+NQ取得最小值，计算得到最小值为33【详解】（1）解：由题意，设抛物线解析式为y=ax−1x−3，其中∵点C的坐标为C0,3将C0,3代入y=ax−1x−3∴y=x−1∴抛物线的解析式为y=x∵对称轴为直线x=−−4∴将x=2代入y=x2−4x+3∴顶点D的坐标为D2,−1（2）解：∵B3,0，C∴直线BC的解析式为：y=−x+3．∵点P在抛物线上，且位于直线BC下方，∴设Pp,p2如图所示，作PM∥y轴，交BC于点M，∴Mp,−p+3∴PM=y∵S△PBC=S△PMB∴S∴S整理可得：S△PBC=−3∵−3∴当p=32时，将p=32代入y=x∴此时点P的坐标为P3（3）解：存在最小值，理由如下：如图所示，将直线CQ绕着Q点逆时针旋转30°，并过点C作其垂线，垂足为N，分别连接AQ，QN，CN，则∠CQN=30°，∠CNQ=90°．∴在Rt△CNQ中，cos∴随着Q点的运动，总有NQ=3∴AQ+3要使得AQ+3即要使得AQ+NQ取得最小值，如下图，当A、Q、N三点共线时，满足AQ+NQ取得最小值，此时，∠CNQ=∠AOQ=90°，∠CQN=∠AQO=30°，∵OA=1，∴AQ=2，OQ=3∴CQ=OC−OQ=3−3∴NQ=CQ⋅cos∴AQ+NQ=2+3∴AQ+32CQ12．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线y=x2−x+c与x轴交于点A−1,0和点B，与(1)求抛物线的解析式；(2)当0<x≤2时，求y=x(3)将拋物线的顶点向下平移34个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PA+【答案】(1)y=(2)−(3)PA+55【分析】（1）直接利用待定系数法求解二次函数的解析式即可；（2）求解y=x2−x−2的对称轴为直线x=−（3）求解C0,−2，B2,0，可得AB=3，求解直线AC为y=−2x−2，及M12,−3，证明M在直线AC上，如图，过P作PG⊥AC于G，连接MB，过P作PH⊥MB于H，可得AC=5，sin∠ACO=【详解】（1）解：∵抛物线y=x2−x+c与x∴1+1+c=0，解得：c=−2，∴抛物线的解析式为：y=x（2）解：∵y=x2−x−2的对称轴为直线x=−∴函数最小值为：y=1当x=0时，y=−2，当x=2时，y=4−2−2=0，∴函数值的范围为：−9（3）解：∵y=x当x=0时，y=−2，∴C0,−2当y=x解得：x1=−1，∴B2,0∴AB=3，设直线AC为y=kx−2，∴−k−2=0，∴k=−2，∴直线AC为y=−2x−2，∵拋物线的顶点向下平移34个单位长度得到点M，而顶点为1∴M1∴M在直线AC上，如图，过P作PG⊥AC于G，连接MB，过P作PH⊥MB于H，∵A−1,0，C∴AC=5，sin∵对称轴与y轴平行，∴∠AMP=∠ACO，∴sin∠AMP=∴PG=5由抛物线的对称性可得：PG=PH，∠MAB=∠MBA，∴PA+5当A,P,H三点共线时取等号，∴sin∠MAB=∴AH3∴AH=6即PA+55PM【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解线段和的最小值，锐角三角函数的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键．13．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图1，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C(1)求抛物线表达式；(2)如图2，点P为抛物线在y轴左侧的一个动点，过点P作PF∥y轴，交直线AC于点E，交x轴于点F，连接PC,BE,BC，若S△PECS△BEC(3)如图3，点M是抛物线的顶点，点P为抛物线对称轴上的一个动点，连接AP，求2AP+PM【答案】(1)y=−(2)P点坐标为−4,24或−4−4(3)30【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键：（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）求出直线AC的解析式，设点F的坐标为m,0，则：Em,2m+16,Pm,−m2−6m+16，分点P在直线（3）构造一个以PM为斜边的等腰直角△MPG，如图，延长MG交x轴于点N，MP交x轴于点H，连接AG，把2AP+PM转化为2AP+2【详解】（1）解：二次函数y=−x2+bx+c图象与y∴c=16．∵二次函数y=−x2+bx+c图象经过点D∴−−6∴b=−6．故二次函数的表达式为y=−x（2）当y=−x2−6x+16=0∴A−8,0∵C0,16∴设直线AC的解析式为y=kx+16，把A−8,0代入，得：k=2∴直线AC表达式为y=2x+16．设点F的坐标为m,0，∴Em,2m+16①如图1，当点P在直线AC上方时，PE=−m2∴SS△EBC∵S∴12m∴P−4,24②如图2，当点P在直线AC下方时，PE=2m+16−∴SS△EBC∵S△PECS∵点P在y轴的左侧，∴m=−4−42∴P−4−4综上所述，P点坐标为−4,24或−4−42（3）∵y=−x∴抛物线的对称轴为直线x=−3，顶点M−3,25∵2∴构造一个以PM为斜边的等腰直角△MPG，如图，延长MG交x轴于点N，MP交x轴于点H，连接AG，则：MH=25,OH=3，∠PMN=45°，∴点G在直线MN上运动，PG=22PM∴△MHN为等腰直角三角形，∴ON+OH=MH=25，MN=2MH=252∴ON=22，∴N22,0，AN=22+8=30∵AP+2∴当A,P,G三点共线时，AG取得最小值，即AP+2又∵G点在直线y=−x+22上运动，∴当AG⊥MN时，AG取得最小值，此时△AGN为等腰直角三角形，∴AG=2∴2AP+PM的最小值为∴2题型03隐圆+胡不归模型14．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE=BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG=2GB，则OM+1

A．4 B．5 C．8 D．10【答案】B【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明△ADE≌△BAFSAS得到∠ADE=∠BAE，进而得到∠DOF=90°，则由直角三角形的性质可得OM=12DF，如图所示，在AB延长线上截取BH=BG，连接FH，易证明△FBG≌△FBHSAS，则FH=FG，可得当H、D、F三点共线时，DF+HF有最小值，即此时OM+12FG有最小值，最小值即为DH的长的一半，求出【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，又∵AE=BF，∴△ADE≌△BAFSAS∴∠ADE=∠BAF，∴∠DOF=∠ADO+∠DAO=∠BAF+∠DAO=∠DAB=90°，∵点M是DF的中点，∴OM=1如图所示，在AB延长线上截取BH=BG，连接FH，

∵∠FBG=∠FBH=90°，∴△FBG≌△FBHSAS∴FH=FG，∴OM+1∴当H、D、F三点共线时，DF+HF有最小值，即此时OM+12FG∵AG=2GB，AB=6，∴BH=BG=2，∴AH=8，在Rt△ADH中，由勾股定理得DH=∴OM+1故选：B．题型04阿氏圆（系数小于1）15．（2025·广西梧州·二模）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，点D是线段AB上的一个动点，以AD为直径作圆O．(1)当AD=6时，如图1，求证：圆O与BC相切；(2)如图2，连接CD，CD与圆O相交于点E，连接BE，请你求出BE的最小值并说明理由；(3)如图3，AD=4，若点P是圆O上的一个动点，且点P在△ABC内，连接BP、CP，请你直接写出CP+1【答案】(1)见解析(2)BE最小值为73−3(3)2【分析】（1）过点O作OH⊥BC与点H，易证△ABC∽△HBO，求出OH=3=OD，即可证明结论；（2）连接AE,CE，取AC中点为F，以AC为直径作圆弧AG⏜交BC于点G，连接BF，易得点E在AG⏜上运动，当B,E,F三点共线时，（3）在AB上取点Q，使得OQ=23，且位于点O上方，连接PQ,OP,CQ，证明△POQ∽△BOP，推出PQ=13BP，当Q,P,C三点共线时，CP+PQ【详解】（1）证明：过点O作OH⊥BC与点H，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，∴BC=A∵AD=6，∴OA=OD=3，∴OB=AB−OA=5，∵∠BAC=∠BHO=90°,∠B=∠B，∴△ABC∽△HBO，∴OHAC∴OH=3=OD，∴点H在⊙O上，且OH⊥BC，∴圆O与BC相切；（2）解：BE最小值为73−3连接AE,CE，取AC中点为F，以AC为直径作圆弧AG⏜交BC于点G，连接BF∵∠AED=90°，∴∠AEC=90°，∴点E在AG⏜当B,E,F三点共线时，BE有最小值，此时，∵AB=8,AF=EF=1∴BF=AB+A∴BE最小值为BF−EF=73（3）解：在AB上取点Q，使得OQ=23，且位于点O上方，连接∵AD=4，∴OP=OA=2，∴OB=6，∴OQOP∵∠POQ=∠BOP，∴△POQ∽△BOP，∴PQBP∴PQ=1∴CP+1当Q,P,C三点共线时，CP+PQ有最小值，即CP+13BP此时，AQ=OA+OQ=8∴CQ=A【点睛】本题主要考查点到圆上的最值问题，切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，构造三角形相似是解题的关键．16．（2025·广东广州·二模）已知抛物线C：y=ax−1x−3的最小值为(1)求a的值；(2)已知直线l：y=kx−4k+6，记mx=maxax−1(3)如图，Ax0,y0为抛物线C上一点，B4−3x0,−3y0，直线AB【答案】(1)2(2)m(3)5【分析】（1）由抛物线C的解析式可知对称轴为直线x=2，进而可得x=2时y=−a=−2，从而可解得a；（2）先求出直线l：y=kx−4k+6过定点4,6，且4,6在抛物线C：y=2x−1x−3=2x2−8x+6的图象上，令kx−4k+6=2x2−8x+6，可得2x2−8+k（3）连接MP,MD，求出AB=41−x02+y02，则PA=12BA=21−x02【详解】（1）解：∵抛物线C的解析式为y=ax−1∴抛物线C的图象与x轴的交点坐标为1,0,∴抛物线C图象的对称轴为直线x=2，∴x=2时，函数的最小值为−a=−2，∴a=2；（2）解：∵y=kx−4k+6=kx−4当x=4时，则y=6，∴直线l：y=kx−4k+6过定点4,6，将x=4代入抛物线C：y=2x−1x−3中，则∴4,6在抛物线C：y=2x−1令kx−4k+6=2x2−8x+6设方程2x2−∴x1∵x=4是方程的一个解，∴方程的另一个解为k2故mx当k<0时，一次函数的函数值y随x的增大而减小，即x=4时，mx当k=0时，y=kx−4k+6=6，即mx当0<k<4时，一次函数的函数值y随x的增大而增大，即x=k2时，mx∵抛物线的对称轴为直线x=2，当k≥4时，直线x=2≤k故此时mx的最小值为在抛物线顶点处取得，即最小值为−2综上，mx（3）解：如图所示，连接MP,MD，由题意可得AB=4−4则PA=1又AM=1−故AMPA又∵∠A=∠A，∴△PMA∽△BPA，∴PMPB∴PM=1∴12∵D5,3∴DM=5−12+【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，包括对称轴，最值，一次函数的图象和性质，根系关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系，熟练掌握以上内容综合分析是解题关键．17．（2025·广东汕头·二模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A−1,0，B两点，(1)求b，c的值；(2)点P是抛物线上一动点①当∠PAD=45°时，则点P的坐标为______．②当S△ADP=S(3)如图2，以B为圆心，2为半径作圆，N为圆B上任一点，求CN+1【答案】(1)b=−2(2)①52,−74；②(3)最小值为17【分析】（1）由AB=4，A−1,0，求得B点坐标为3,0，代入y=（2）①连接AD，作DE⊥AD交AP于点E，作EF⊥y轴于点F，证明△AOD≌△DFEAAS，得AO=DF，OD=FE，进而可得E3,−2，设直线AP为y=kx+m，代入A−1,0，E3,−2求得y=−12x−12，联立得y=−12x−12y=x2−2x−3，解之得答案；②过点O作直线l∥AD，由（3）取H2,0，连接NH，BN，由BH=1，BN=2，BA=4，∠HBN=∠NBA，可证明△HBN∽△NBA，得HNAN=BNBA=12，即【详解】（1）解：∵AB=4，A−1,0∴B点坐标为3,0，将A−1,0，3,0代入y=得1−b+c=09+3b+c=0解得，b=−2c=−3（2）解：①如图，∠PAD=45°，连接AD，作DE⊥AD交AP于点E，作EF⊥y轴于点F，∴∠ADE=90°，∠PAD=∠AED=45°，∠AOD=∠EFD=90°，∴AD=DE，∵∠ADO+∠EDF=∠EDF+∠DEF=90°，∴∠DEF=∠ADO，∴△AOD≌△DFEAAS∴AO=DF，OD=FE，∵A−1,0x=0时，y=−3，∴OA=1，OD=3，

∴OF=2，EF=3，D0,−3∴E3设直线AP为y=kx+m，代入A−1,0，E解得k=−1∴y=−1联立y=−12x−得y=−1解得x=52y=−∴P5②过点O作直线l∥AD，∵S△ADP∴点P是直线l与抛物线的交点，设直线AD的解析式为y=k将A−1,0，D0,−3代入得，解得，k1∴直线AD的解析式为y=−3x−3，∴直线l的解析式为y=−3x，联立方程y=−3xy=解得，x1=−1+∴P−1+132（3）解：如图，取H2,0，连接NH，BN则BH=1，BN=2，BA=4，∴BH∵∠HBN=∠NBA，∴△HBN∽△NBA，∴HN∴HN=1∴CN+1∵CH=4∴CN+12AN【点睛】本题主要涉及二次函数的性质，直线方程的求解，相似三角形的性质、判定以及最值问题的求解．通过代入已知点求解参数，利用几何关系求解点的坐标以及通过相似三角形的性质求解最值是正确解答此题的关键．18．（2025·广东清远·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4．抛物线的对称轴直线x=3与经过点A的直线y=kx−1交于点D，与x(1)求抛物线的表达式；(2)若在抛物线上存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形，求出所有点M的坐标；(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，P为☉B上一个动点，请求出PC+【答案】(1)y=(2)存在，(4,−3)或(0,5)或(5,0)(3)41【分析】（1）根据题意，可求出点A,B的坐标，再运用待定系数法即可求解；（2）根据直角三角形的性质，分类讨论：①当∠DAM=90°时；②当∠ADM=90°时；分别求出直线的解析式，再联立二次函数为二元一次方程组求解即可；（3）如图，在AB上取点F，使BF=1，连接CF，可证△PBF∽△ABP，得PF=12PA，当点C、P、F【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴x=3，AB=4，∴A1,0，B∴将A(1,0),B(5,0)代入y=ax得a+b+5=025a+5b+5=0解得a=1b=−6∴抛物线的解析式为y=x（2）解：存在点M，理由如下：∵直线AD的解析式为y=kx−1，将A1,0k−1=0解得：k=1∴直线AD的解析式为：y=x−1∵抛物线对称轴x=3与x轴交于点E，∴当x=3时，y=x−1=2，∴D3,2①当∠DAM=90°时，设直线AM交对称轴于点F，∵A1,0，D3,2，二次函数对称轴为∴AE=3−1=2，DE=2，DE⊥x轴，∴△ADE是等腰直角三角形，∠EAD=∠EDA=45°，∵∠DAM=90°，∴∠MAE=45°，且∠FEA=90°=∠DEA，∵AE=AE∴△DAE≌△FAEASA∴ED=EF=2，∴点F坐标为(3,−2)，设直线AM的解析式为y=k1x+得k1解得k1∴直线AM的解析式为y=−x+1，解方程组y=−x+1y=得x=1y=0或x=4∴点M的坐标为(4,−3)；②∵A1,0，D3,2∴AD=2∴A∴△ABD是直角三角形，当∠ADM=90°时，根据点A,B关于抛物线对称轴对称，则直线DM经过点B坐标为(5,0)，设直线DM的解析式为y=k2x+得5k解得k2∴直线DM的解析式为y=−x+5，解方程组y=−x+5y=解得x=0y=5或x=5∴点M的坐标为(0,5)或(5,0)；综上，点M的坐标为(4,−3)或(0,5)或(5,0)；（3）解：已知B5,0，以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B如图，在AB上取点F，使BF=1，连接CF，∵PB=2，∴BFPB∵PB∴BF又∵∠PBF=∠ABP，∴△PBF∽△ABP，∴PFPA=∴PC+1∴当点C、P、F三点共线时，PC+12PA∵OC=5,OF=OB−1=5−1=4，∴CF=O∴PC+12PA【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与特殊三角形，圆的基础知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径等知识的综合，掌握二次函数图象的性质，特殊三角形的性质，最短路径的计算方法是解题的关键．题型05阿氏圆（系数大于1）19．（24-25九年级上·广东深圳·月考）在数学探究课上，王宇同学通过作辅助图形的方法，计算动点条件下线段和的最小值，其过程如下：(1)【观察发现】如图1，在等边△ABC中，AC=23，CD=12BC，E，F分别是AB和AC上的动点，且总有∵在等边△ABC中，AC=23，CD=∴点D为BC边上的中点，∠B=∠ACB．∴AD⊥BC．过点A作AG⊥AD，使AG=BD，连接GF．∴AG∥BC．∴∠GAC=∠ACB=∠B．又∵AF=BE，∴△AGF≌△BDE(SAS∴GF=DE．连接DG，DF，当D，F，G三点共线时，GF+DF的最小值等于线段DG的长．连接GC，可证四边形ADCG是矩形，∴DG=AC．∴DE+DF的最小值为．(2)【类比应用】如图2，已知正方形ABCD的边长为6，O为对角线的交点，M，N分别是AB，AD上的动点，且总有BM=DN，连接OM，CN，求OM+CN的最小值．(3)【拓展延伸】如图3，矩形ABCD中，AB=2，AD=22，E是AD的中点，F，G分别是BC和DC上的动点，且总有BF=2DG，求【答案】(1)2(2)3(3)2【分析】（1）根据题意可得四边形ADCG是矩形，从而得到DG=AC=23（2）类比第一问作辅助线，得出OM+CN=GN+CN，当G，N，C三点共线时，线段GC的长为GN+CN的最小值，进而求解即可；（3）由BF=2DG和前述思路可以构造2AG，所有延长AB到H，使BH=2AD，连接FH，从而△ADG∽△HBF，得到FH=2AG，连接EH，当E、F、H三点共线时，线段EH的长为EF+2AG的最小值，利用勾股定理求EH即可．【详解】（1）解：由作图可知，四边形ADCG是矩形，∴DG=AC=23∴DE+DF的最小值为23故答案为：23（2）解：如图，类比（1），过点D作DG⊥BD，使DG=OB，连接GN，∴∠GDN=∠ADB=∠OBM=45°在△GND和△OMB中，∵GD=OB，∴△GND≌△OMBSAS∴GN=OM．∴OM+CN=GN+CN．连接GC，当G，N，C三点共线时，线段GC的长为GN+CN的最小值．过点G作GH⊥CD，交CD的延长线于点H．在正方形ABCD中，BD为对角线，∴∠ADB=45°∵∠GDH+∠GDA=90°∴∠GDH=∠ADB=45°．∴Rt△HGD∵正方形ABCD的边长为6，∴BD=62∴DH=GH=2∴在Rt△HGC中，GC=∴OM+CN的最小值为310（3）解：如图，延长AB到H，使BH=2AD，连接FH．∵ADBH=DG∴△ADG∽△HBF，∴AGFH∴FH=2AG，∴EF+2AG=EF+FH，连接EH，当E、F、H三点共线时，线段EH的长为EF+2AG的最小值．∵AE=12AD=∴EH=A故答案为：213【点睛】本题主要考查最短距离问题，涉及矩形的性质、正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键．20．（20-21九年级上·江苏宿迁·期末）问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=4，CA=6，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，求AP+(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图1，连接CP，在CB上取一点D，使CD=1，连接PD，则CDCP=CPCB=12．又因为∠PCD=∠BCP，所以△PCD∽△BCP，所以PD(2)自主探案：在“问题提出”的条件不变的前提下，求13(3)拓展延伸：如图2，已知在扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，P是CD上一点，求2PA+PB的最小值．【答案】(1)见解析(2)2(3)13【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键．（1）连接AD，得到当点A，P，D在同一条直线上时，AP+PD最小，即AP+12BP的最小值为AD（2）连接CP，在CA上取点D，使CD=23，连接BD，PD，证明△PCD∽△ACP．得到PD=13AP．则13AP+BP=PD+BP．当点B，P，D在同一直线上时，BP+PD（3）延长OA到点E，使CE=6，连接PE，OP．证明△OAP∽△OPE．得到EP=2PA．2PA+PB=EP+PB．当E，P，B三点共线时，2PA+PB取得最小值，即2PA+PB的最小值为BE的长．进一步求出BE的长即可．【详解】（1）解：如图，连接AD，∵AP+12BP=AP+PD，要使AP+1∴当点A，P，D在同一条直线上时，AP+PD最小，即AP+12BP在Rt△ACD中，CD=1，AC=6，AD=∴AP+12BP（2）如图，连接CP，在CA上取点D，使CD=23，连接BD，PD，∵∠PCD=∠ACP，∴△PCD∽△ACP．∴PD∴PD=1∴1∵当点B，P，D在同一直线上时，BP+PD的值最小，即13AP+BP的最小值为在Rt△BCD中，BD=∴13AP+BP（3）如图，延长OA到点E，使CE=6，连接PE，OP．∴OE=OC+CE=6+6=12．∵OA=3，OP=OC=6，∴OA∵∠AOP=∠AOP，∴△OAP∽△OPE．∴PA∴EP=2PA．∴2PA+PB=EP+PB．∴当E，P，B三点共线时，2PA+PB取得最小值，即2PA+PB的最小值为BE的长．在Rt△BOE中，BE=∴∠PA+PB的最值为13．题型06隐圆+阿氏圆模型21．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=6，E为AD边上一动点，将△ABE沿BE翻折到△FBE的位置，点A与点F重合，连接DF，CF，则DF+1A．92 B．132 C．4 【答案】D【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到最小距离是解题的关键．在BC上取点G，使BG=32，连接FG，DG，证明△FBG∽△CBF，可得出FG=12CF，则DF+12FC=DF+GF≥DG，当D、F、【详解】解：如图，在BC上取点G，使BG=32，连接FG，∵△ABE沿BE边翻折到△FBE，∴BF=AB=3，又∵BC=6，∴BGBF=1∴BGBF又∠FBG=∠CBF，∴△FBG∽△CBF，∴GFCF∴FG=1∴DF+1当D、F、G三点共线时，DF+1在Rt△CDG中，CD=AB=3CG=BC−BG=4.5，∠BCD=90°，∴DG=C即DF+12FC故选：D．22．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，矩形ABCD中AB=8，AD=6，点E是矩形ABCD内部一个动点，且EB=4，连接CE，则DE+三分之二CE的最小值为（

）A．8 B．263 C．233 【答案】B【分析】根据题意可得：点E在以B为圆心，4为半径的圆弧上运动，在BC上取一点F，使BF=83，连接EF，由矩形的性质可得BC=AD=6，CD=AB=8，推出CF=103，证明△BEF∽△BCE，得到EF=23CE，推出DE+23CE=DE+EF，即当D、【详解】解：根据题意可得：点E在以B为圆心，4为半径的圆弧上运动，在BC上取一点F，使BF=83，连接∵矩形ABCD中，AB=8，AD=6，∴BC=AD=6，CD=AB=8，∴CF=BC−BF=6−8∵EB=4，∴BEBC又∵∠B=∠B，∴△BEF∽△BCE，∴EFCE∴EF=2∴DE+2∴当D、E、F共线时，DE+23CEDF=C故选:B．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，圆的性质，勾股定理，线段和最短问题，解题的关键是正确作出辅助线．23．（2025·四川达州·三模）如图，点E为矩形ABCD边CD上一点，连接AE，作点D关于直线AE的对称点F，连接CF，BF，若AB=4，BC=2，则2CF+BF的最小值为．

【答案】2【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，在AB上截取AG=1，连接AF,FG,CG，证明△FAB∽△GAF得出FB=2FG，根据2CF+BF=2CF+GF≥2CG，进而勾股定理求得【详解】解：如图，在AB上截取AG=1，连接AF,FG,CG，

依题意，AF=AD=2，∴AF∴AF又∵∠FAB=∠GAF∴△FAB∽△GAF∴FB∴FB=2FG∴2CF+BF=2∵CB=2,GB=AB−AG=4−1=3∴CG=∴2CF+BF的最小值为2故答案为：213题型07梯子滑行模型24．（23-24八年级下·湖北荆州·期末）如图，∠MON=90°，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB=4,BC=2，则点D到点O的最大距离是（

）A．22−12 B．22+2【答案】B【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理以及三角形三边关系，解决动态问题的最值问题一般转化为两点间线段最短或三角形三边关系问题．取AB中点E，连接OE、DE、OD，求出OE和DE值，利用三角形三边关系分析出当O、E、D三点共线时，OD最大为OE+DE．【详解】解：如图，取AB中点E，连接OE、DE、OD，∵∠MON=90°，∴OE=1∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AD=BC=2，∵点E是AB的中点，∴AE=1在Rt△DAE中，DE=在△ODE中，根据三角形三边关系可知DE+OE>OD，∴当O、E、D三点共线时，OD最大为OE+DE=22故选：B．25．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=6，BC=2．运动过程中点D到点O的最大距离是．【答案】3+【分析】取线段AB的中点E，连接OE，本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，矩形的性质，三角形不等式，熟练掌握三角形不等式，勾股定理是解题的关键．【详解】解：如图：取线段AB的中点E，连接OE，∵∠MON=90°，矩形ABCD，AB=6，BC=2，∴OE=AE=1∴DE=A∵OD≤OE+DE，∴当点D，点E，点O共线时，OD的长度最大．∴点D到点O的最大距离OD=OE+DE=3+13故答案为：3+1326．（2020·广东·中考真题）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC=90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN=4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为．【答案】2【分析】根据当B、D、E三点共线，距离最小，求出BE和BD即可得出答案．【详解】如图当B、D、E三点共线，距离最小，∵MN=4，E为MN的中点，∴BE=2，BD=4DE=BD−BE=25故答案为：25【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，两点间的距离线段最短，判断出距离最短的情况是解题关键．27．（23-24九年级上·广东佛山·月考）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，将含30°角的Rt△ABC放在第一象限，其中30°角的对边BC长为1，斜边AB的端点A、B分别在y轴的正半轴，x轴的正半轴上滑动，连接OC，则线段OC的长的最大值是

【答案】2【分析】取AB的中点F，连接CF、OF．根据含30°角的直角三角形的性质，求出OF=FC=1，根据三角形的三边关系可知OC≤OF+OC，推出当O、F、C共线时，OC的值最大，得出答案即可．【详解】解：如图，取AB的中点F，连接CF、OF．

∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，∴AB=2BC=2，∵∠AOB=90°，AF=FB，∴OF=FC=1∵OC≤OF+CF，∴当O、F、C共线时，OC的值最大，此时OC=OF+CF=1+1=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线定理、含30°角的直角三角形的性质、三角形的三边关系等知识，添加辅助线、利用三角形的三边关系解决最值问题是解题的关键．28．（2025·吉林·二模）【问题原型】如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=30°,AC=2,P是线段BC上任意一点，试探究PA+【问题探究】如图②，小明首先以BC为一边作∠CBM=30°．然后，作PH⊥BM，由三角函数的定义，将12PB转化为PH．于是求PA+12PB的最小值就转化为求PA+PH的最小值．当点A、P以下是小明的部分求解过程：由【问题探究】的作法可知过点B作射线BM使∠CBM=30°，作PH⊥BM于H∵∠ABC=30°∴∠ABM=∠ABC+∠CBM=60°在Rt△ABC中，∴AB=求解过程缺失请补全剩余的求解过程；【问题应用】如图③，在▱ABCD中，∠DAB=45°,AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点，直接写出PB+22PD【问题迁移】小明在此基础上想求解x2【答案】[问题探究]见解析；[问题应用]32，尺规作图见解析；[问题迁移]【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，解直角三角形，勾股定理，掌握用转化的思想思考问题是关键．[问题探究]按照题中思路将过程补充完整即可解答；[问题应用]过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，有锐角三角函数可得EP=22PD，即PB+22PD=PB+PE，则当点B，点P，点E三点共线且[问题迁移]根据题意画出图形求解即可，【详解】[问题探究]解：过点B作射线BM使∠CBM=30°，作PH⊥BM于H∵∠ABC=30°∴∠ABM=∠ABC+∠CBM=60°在Rt△ABC中，∴AB=AC∵PH=1∴PA+1当点A、P、H在一条直线上时，PA+1此时AH=AB⋅sin[问题应用]解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，，∵AB∥CD，∴∠EDP=∠DAB=45°，∴sin∴EP=2∴PB+2∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，∵sin∴BE=32故答案为：32尺规作图如下：以点B为顶点作∠ABE=∠A=45°，则∠AEB=90°，DC与BE的交点即为点；[问题迁移]解：如图，AB=3,BD=3,∠BDE=30°,∠ABD=90°，，令BC=x，根据勾股定理可得AC=x∵∠BDE=30°，CE⊥DF，∴CE=1∴求x2+3+当A,C,E三点共线时，AC+CE的值最小，为AE的长度，连接AD，∵tan∴∠ADB=30°，∴∠ADE=60°，根据勾股定理可得AD=A∴AE=AD⋅sin即x2+3+故答案为：3．29．（2025·广东潮州·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+4a≠0与x轴交于A(−2,0)、B(8,0)两点，与y轴交于点(1)求抛物线的表达式；(2)点P是抛物线上的一动点，当∠PCB=∠ABC时，求点P的坐标；(3)点D是线段OB上一点，且△BCD的面积是12．①求点D的坐标；②将线段OD绕点O逆时针旋转得到OD'，旋转角为α0°<a<90°，连接D【答案】(1)y=−(2)点P的坐标为6,4或34(3)①D2,0；②D'【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案；（2）分两种情况：点P在BC上方和点P在BC下方分别进行解答即可；（3）①根据S△BDC=12BD×OC=12求出OD=2,即可得到答案；②在y轴上取一点M使得OM=1，连接BM，在BM上取一点D'使得OD=OD'．证明△MOD【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于A−2,0∴4a−2b+4=064a+8b+4=0，解得∴抛物线的表达式为y=−1（2）解：∵抛物线的表达式为y=−1∴C0,4①当点P在BC上方时，如图2，∵∠PCB=∠ABC，∴PC∥AB∵点C,P的纵坐标相等，∴点P的纵坐标为4，令y=4，则−1解得：x=0（舍）或x=6，∴P6,4②当点P在BC下方时，如图3，设PC交x轴于点H，∵∠PCB=∠ABC，∴HC=HB．设HB=HC=m，∴OH=OB−HB=8−m，在Rt△COH中，∵O∴4解得：m=5，∴OH=3，∴H3,0设直线PC的解析式为y=kx+n，∴n=4解得：k=−4∴y=−4∴y=−解得：x1=0y∴P34综上：点P的坐标为6,4或343（3）解：①∵S∴BD=6，∴OD=2，∴D2,0②如图，在y轴上取一点M使得OM=1，连接BM，在BM上取一点D'使得O∵OD'∴OD∴O又∵∠COD∴△MOD∴M∴MD∴D此时D'B+1∴D'B+【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质、待定系数法求函数解析式、勾股定理等知识，分情况讨论是关键．30．（2025·四川资阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=−x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E(1)求线段AB的长；(2)点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，当△PBE的面积最大时，求此时P点坐标，并求出最大面积；(3)在（2）的情况下，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F在y轴上一点，求PH+HF+1【答案】(1)AB=2(2)32,(3)9【分析】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图象与性质、二次函数与面积综合、二次函数求最值等问题，数形结合是解决问题的关键．（1）根据题意，令x=1，代入表达式求出y即可得到A(1,3)，再根据点B与点A关于抛物线的对称轴对称，即可求出B(3,3)，从而得到答案；（2）作PN∥y轴交BE于N，如图所示，设Pm,−m2（3）作直线OG交AB于G，使得∠COG=30°，作HK⊥OG于K交OC于F，如图所示，数形结合得PH+HF+1【详解】（1）解：∵点A在抛物线y=−x∴令x=1，则y=−12+4=3∵点B与点A关于抛物线的对称轴对称，∴B(3,3)，∴AB=2；（2）解：作PN∥y轴交BE于N，如图所示：设Pm,−∵直线BE的解析式为y=x，∴N(m,m)，∴SΔPEB∵−1<0，∴抛物线开口向下，有最大值，当m=32时，△PEB的面积最大为94（3）解：作直线OG交AB于G，使得∠COG=30°，作HK⊥OG于K交OC于F，如图所示：由（2）知点P32,∴PH=15∵FK=1∴PH+HF+12FO=PH+FH+FK=PH+HK∵12∴HK=3×∴PH+HF+12OF31．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于点A，B(1)求抛物线的表达式；(2)点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PD∥AC交BC于点D，点Q是直线AC上一动点，当PD的长度取最大值时，求(3)在（2）中PQ+55AQ取最小值的条件下，将该抛物线沿射线BC方向平移25个单位长度，点F为点C平移后的对应点，连接CF，点G为平移后的抛物线上一点，若∠GFC+∠DPQ=90【答案】(1)y=(2)3(3)G1−1,−4，【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求得直线BC的函数表达式为y=12x−2和点A坐标，利用勾股定理及其逆定理得到AC⊥BC，PD⊥BC．过点P作PD∥y轴交BC于点H，证明△PDH∽△BOC得到PD=255PH．设点Pm,12 m2−32 m−2，0<m<4，则点Hm,12 m−2（3）先求得平移后抛物线的函数表达式为y=12x2+52【详解】（1）解：把B4,0，C0,−2代入得8+4b+c=0c=−2解这个方程组，得b=−3所以，该抛物线的函数表达式为y=1（2）解：∵直线BC过点B4,0，∴直线BC的函数表达式为y=1在y=1令y=0，得12解这个方程，得x1=4（舍），∴A−1,0∴AC=AO2∵AB=1+4=5，且52∴AC∴AC⊥BC．∵PD∥∴PD⊥BC．过点P作PD∥y轴交BC于点H，则又∵PD⊥BC，∴△PDH∽△BOC，∴PD∴PD=2设点Pm,12 m∴PD==−5∵−5∴当m=−bPD的长度取得最大值，此时点P2,−3过点A作AK∥y轴，过点Q作QM⊥AK于点M，过点P作PN⊥AK于点在Rt△AMQ中，∠AMQ=∴QM=sin∴PQ+55AQ=PQ+PM≥PN，当点P、Q∴PQ+5（3）解：符合条件的点G的坐标有G1−1,−4，∵将该抛物线沿射线BC方向平移25个单位长度，点F为点C又∵B4,0，C0,−2，∴将该抛物线向左平移4个单位，再向下平移2个单位长度，得到平移后抛物线的函数表达式为y=12x+42−当∠G1FC=∠ABC∴在y=12x得12解这个方程，得x1=−4（舍），∴G当∠G∵BC=FC，AC⊥BC，∴AC垂直平分BF，∴AF=AB，∴∠AFC=∠ABC，即点G2是直线FA设直线FA的函数表达式为y=k将A−1,0，F−4,−4代入，得解得k1∴直线FA的函数表达式为y=4联立方程组y=43x+43∴G2综上，符合条件的点G的坐标有G1−1,−4，【点睛】本题考查二次函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、勾股定理及其逆定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、最短路径问题、坐标与图形、平行线和线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、解方程组等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．32．（2025·重庆开州·二模）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点D在AC边上，连接BD．(1)如图1，若α=30°，BD⊥AC，求tan∠DBC(2)如图2，若α=60°，将线段DB绕点D顺时针旋转120°得到线段DE，连接CE，点F为CE的中点，连接AF,DF，请探究并证明线段AF与DF之间的关系；(3)如图3，若α=90°，AB=AC=6，点K在AB边上，连接CK，AK=CD，在CB边上有一点P，当BD+CK取得最小值时，直接写出DP−2【答案】(1)2−(2)AF⊥DF且AF=3(3)9【分析】（1）设AB=AC=2a，由∠BAC=α=30°，BD⊥AC，可得BD=a，AD=3a，则（2）延长AF至G，使得AF=FG，连接EG，DG，先证明△AFC≌△GFESAS，得AC=EG，∠1=∠2，可知∠4=∠1+∠3=∠DEG，由题意可知，AB=AC，∠BAC=60°，则AC=EG=AB，∠5+∠ADB=120°，由旋转可知DB=DE，∠BDE=120°，则∠4+∠ADB=120°，进而证得△ABD≌△GEDSAS，得AD=DG，∠ADB=∠GDE，再证∠ADG=120°，则（3）由题意可知AB=AC=6，∠BAC=90°，过点A作AH∥BC，且AH=BC，则∠HAK=∠ABC=∠ACB=45°，可证明△AKH≌△CDBSAS，得KH=BD，则BD+CK=KH+CK≥CH，当点K在CH上时，取得等号，即当BD+CK取得最小值时，点K在CH上，此时∠AKH=∠BKC，可知△AKH≌△BKC，得AK=BK=12AB=3，则CD=3，过点C作DJ⊥BC于点J，则CJ=DJ=CD⋅sin45°=322，在DJ上取NJ=3214，连接CN，则DN=927，CN=157，得sin∠NCJ=NJCN=210，cos【详解】（1）解：设AB=AC=2a，∵∠BAC=α=30°，BD⊥AC，∴BD=12AB=a，AD=AB⋅在Rt△BCD中，tan（2）AF⊥DF且AF=3证明：延长AF至G，使得AF=FG，连接EG，DG，∵点F为CE的中点，∴EF=CF，∵∠AFC=∠GFE，∴△AFC≌△GFESAS∴AC=EG，∠1=∠2，∵∠4=∠2+∠3，∴∠4=∠1+∠3=∠DEG，由题意可知，AB=AC，∠BAC=60°，则AC=EG=AB，∠5+∠ADB=120°，由旋转可知DB=DE，∠BDE=120°，则∠4+∠ADB=120°，∴∠4=∠5=∠DEG，∴△ABD≌△GEDSAS∴AD=DG，∠ADB=∠GDE，∵∠4+∠ADB=120°，则∠4+∠GDE=120°，∴∠ADG=120°，则∠DAF=∠DGF=30°，∵AF=FG，∴AF⊥DF，DFAF∴AF=3（3）由题意可知AB=AC=6，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，过点A作AH∥BC，且AH=BC，则∠HAK=∠ABC=∠ACB=45°，∵AK=CD，∴△AKH≌△CDBSAS∴KH=BD，则BD+CK=KH+CK≥CH，当点K在CH上时，取得等号，即当BD+CK取得最小值时，点K在CH上，此时∠AKH=∠BKC，∴△AKH≌△BKC，∴AK=BK=12AB=3过点C作DJ⊥BC于点J，则CJ=DJ=CD⋅sin在DJ上取NJ=3214，连接CN，则DN=DJ−NJ=∴sin∠NCJ=NJCN过点D作DT⊥CN，∵∠TND=∠CNJ，则∠TDN=∠NCJ∴DT=DN⋅cos过点P作PQ⊥CN，则PQ=CP⋅sin∴DP−210CP=DP−PQ≥DP−PM=DM≥DT=95此时DP−210CP【点睛】本题考查解直角三角形，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，垂线段最短等知识点，添加辅助线构造全等三角形及直角三角形是解决问题的关键．33．（2024·广东广州