重难点08 新定义与代数 + 几何阅读理解问题（5大类17种题型）（复习讲义）（答案版）-【数学】2026年中考一轮复习讲练测

1/10重难点08新定义与代数+几何阅读理解问题目录01TOC\o"1-1"\h\z\u深挖重难·固根基 102分层锤炼·验成效 36固·重难考点拓·创新能力核心要求：理解新定义规则，迁移代数运算与规律探究能力。特征：以“新数、新运算、新代数式、新规律”为载体，考查概念迁移与运算能力。考法：1）如“新定义数型：定义‘对称数’为各位数字左右对称的数，判断给定数是否为对称数，并探究对称数的整除特征”；2）如“新定义运算型：定义a※b=ab-3，计算（-3）※（-2）=？；3）如“新定义代数式型：定义‘特征多项式’为满足a+b+c=0，证明该多项式必有一个根为1”；4）如“新定义规律型：定义‘阶梯数串’为1,3,6,10,…，推导通项公式并求第10项的值”。二、方程与不等式新定义类核心要求：在新定义背景下，建立方程/不等式模型，求解与分析参数。特征：以“新方程、新根、新不等式”为载体，考查方程求解与参数分析能力。考法：1）如“新定义方程（组）型：定义‘和谐方程组’为解相同的两个方程组，判断给定方程组是否为和谐方程组，并求参数值”；2）如“新定义不等式（组）型：定义‘绝对不等式’为对任意实数都成立的不等式，证明x2+1>0是绝对不等式”；三、函数新定义类核心要求：理解新定义函数的概念与图像特征，结合几何性质求解综合问题。特征：以“新函数、新点、新图像”为载体，考查数形结合与分类讨论能力。考法：1）如“新定义函数概念型：定义‘一次关联函数’为y=kx+b满足k+b=1，探究该函数必过的定点”；2）如“新定义函数点型：定义‘不动点’为函数图像上满足y=x的点，求二次函数y=x2−2x+3的不动点坐标”；3）如“新定义函数图像型：定义‘平移组合图像’为一次函数图像向右平移2个单位后的图像，求平移后图像的解析式”；4）如“新定义函数综合型：定义‘函数距离’为两点(x1,y1)、(x2,y2)在函数图像上的水平距离与垂直距离之和，求二次函数上两点的最小函数距离”。四、几何新定义类核心要求：理解新定义几何概念与变换，结合图形性质计算与推理。特征：以“新图形、新变换、新点线”为载体，考查几何性质与辅助线构造能力。考法：1）如“新定义几何概念型：定义‘准矩形’为有三个角是直角的四边形，判断准矩形的对角线是否相等，并证明”；2）如“新定义几何变换型：定义‘旋转变换’为将图形绕某点旋转45°，作三角形经过该变换后的图形”；题型01新定义数型1．（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数231，因为3−1=2，所以它是“极差数”．【理解定义】三位数265是否为“极差数”？___________．【建模推理】（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a,b,c，则a与b,c的关系式为___________；（2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？2．（2025·山东青岛·模拟预测）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若ax=N(a>0,a≠1)，则x叫做以a为底N的对数，记作：x=logaN．比如，指数式24=16我们根据对数的定义可以得到对数的一个性质：log理由如下：设log∴M⋅N=由对数的定义，得m又∵m∴log解决下面问题(1)将指数式73=343转化为对数式为(2)log24=，

log381=，(3)证明：loga(4)计算：log34+log3．（2024·山东日照·中考真题）在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字．现有一列数：2,4，进行第1次构造，得到新的一列数：2,6,4，第2次构造后，得到一列数：2,8,6,10,4，…，第n次构造后得到一列数：2,x1,x2A．a3=84 B．an3为偶数 C．4．（2025·四川成都·中考真题）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：35=12+110．将311拆分成两个单位分数相加的形式为；一般地，对于任意奇数k（5．（2025·重庆·中考真题）我们规定：一个四位数M=abcd，若满足a+b=c+d=10，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为1+9=2+8=10，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是：一个“十全数”M=abcd，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数M'=dcba，记F(M)=M−M'909，G(M)=题型02新定义运算型1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：a⊗b=2ab−b2，则3n⊗2．（2024·甘肃·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为：m∗n=mn−mn（m，n均为整数，且m≠0）．例：2∗3=23．（2025·山东滨州·中考真题）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．华罗庚解释如下：①由103=1000，1003=1000000，1000<59319<1000000，可得②59319的个位上的数是9，因为只有93的个位上的数是9，所以3③如果划去59319后面的三位数319得到59，而33=27，43=64，又已知373248是一个整数的立方，请你按照上述方法，确定373248的立方根是．4．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】对正实数a，b，定义运算“⊗”，满足a⊗b=ab例如：当a>0时，2a⊗1=（1）当a>0时，请计算：2a⊗【探究运算律】对正实数a，b，运算“⊗”是否满足交换律a⊗b=b⊗a？∵a⊗b=abb⊗a=ba∴a⊗b=b⊗a．∴运算“⊗”满足交换律a⊗b=b⊗a．（2）对正实数a，b，c，运算“⊗”是否满足结合律a⊗b⊗c=a⊗【应用新运算】（3）如图，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH拼成，AF=a，BF=b，且a>b．若正方形ABCD与正方形EFGH的面积分别为26和16，则2a⊗b⊗题型03新定义代数式型1．（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则m=n3；若余数为1，则m=2n；若余数为2，则m=n+1．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数n=4，根据4除以3的余数为1，由4×2=8知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由8+1=9知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由（1）对正整数15进行三次变换，得到的数为；（2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为．2．（2025·福建·中考真题）已知整式M:a4x4+(1)若M=x−14，求(2)若pq+p+q=9，且a4≥a3>a2≥a1≥a03（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方(a+b)n(a+b)4【应用体验】已知(x+2)4=x44．（2025·重庆·中考真题）已知整式M:a0+a1x+a2x2+⋯+an①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式；②当n=3时，满足条件的所有整式M的和为4x③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个．其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3题型04新定义规律型1（2025·西藏·中考真题）观察下列一组数：1.9，3.99，5.999，7.9999，9.99999，…按此规律，第n个数是（

）A．2n−0.1n C．2n−1+0.9n 2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作a1=2；图（2）有3个三角形，记作a2=3；图（3）有6个三角形，记作a3=6；图（4）有11个三角形，记作a3．（2025·甘肃·中考真题）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有个正方形．4（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（

）A．18 B．20 C．22 D．245．（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数．3，4，57，24，2511，60，6115，112，11319，180，1814，3，58，15，1712，35，3716，63，6520，21，295，12，139，12，1513，84，8517，144，14521，28，356，8，1010，___，2614，48，5018，80，8222，120，122(1)请补全上表中的勾股数．(2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明．(3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1 m题型05新定义方程（组）型1．（2025·云南临沧·模拟预测）已知关于x1，x2是一元二次方程ax(1)下列是“差根方程”的是___________；（填写序号）①(2)已知关于x的方程x2+2ax=0是“差根方程”，求(3)已知△ABC是直角三角形，BC的长为5，若△ABC的两边AB、AC的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程．2．（2025·湖南长沙·二模）我们知道：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c均为整数），如果b2−4ac≥0时，这个方程的实数根就可以表示为x=−b±b2−4ac2a，其中b2−4ac就叫做一元二次方程根的判别式，我们用Δ表示，即例：方程2x2−x−1=0，Δ=b2−4ac=(−1)2−4×2×(−1)=9=32，Δ的值是一个完全平方数，但是该方程的根为x1我们定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式4ac−b24a的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用F(a,b,c)表示，即F(a,b,c)=4ac−b24a．若有另一个“幸运方程”px2+qx+r=0（p≠0，p(1)关于x的一元二次方程x2①当m=2时，该幸运方程的“幸运数”是______；②若该幸运方程的“幸运数”是−1，则m的值为______．(2)若关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x+m2−2m−3=0（m(3)若关于x的一元二次方程x2−mx+m+1=0与x2−(n+2)x+2n=0（m、3．（2025·山东潍坊·一模）定义：如果关于x的一元二次方程ax(1)若x+3x−m=0是“邻根方程”，求(2)若一元二次方程x2+bx+c=0（b，c均为常数）为“邻根方程”，请写出b，题型06新定义不等式（组）型1．（2025·四川内江·中考真题）对于x、y定义了一种新运算G，规定Gx,y=x+3y．若关于a的不等式组Ga,1−2a≥−2G2．（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数a, b，定义新运算：a※b=aa≥b−aa<b，给出下列结论：①8※2=8；②若x※3=6，则x=6；③a※b=−a※−b；④若2x−4A．1 B．2 C．3 D．43．（2025·湖北·模拟预测）对于任意实数a，b，定义一种运算a∗b=ab−b．例如：2∗3=2×3−3=3．根据上述定义，不等式组3∗x≥02x−2∗1≥−5的解集为（A．x≥0 B．x≥−1 C．−1≤x≤0 D．无解4．（2025吉林五中模拟预测）定义一种新运算：x⊗y=mx+2ny，若1⊗2=7，2⊗3=12．(1)求m、n的值；(2)若关于x的不等式组x⊗x−1≥0x−p(3)若ax−2b⊗3a+bx≥3a+2b的解集为x≤5．（2025石景山区模拟）对x，y定义一种新的运算T，规定：Tx,y=ax−yx≥yax+yx<y，其中(1)计算：T2,1=______（用含(2)若T2,1=3，关于x的不等式组Tx+1,x(3)若T2,a+T−2,a6．（2025·山东淄博·三模）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程2x−7=1的解为x=4，不等式组x−5<03x>6的解集为2<x<5．因为2<4<5，所以称方程2x−7=1是不等式组x−5<0(1)若不等式组为x−3<1x+2≤0则方程2(2)若关于x的方程2x−a=1是不等式组3x−2>3+xx−3≥2x−6的相伴方程，求a(3)若方程5x+10=0和2x−43=−2都是关于x的不等式组kx−2x<k−2k≠2题型07新定义方程根型1．（2025·湖南永州·三模）【定义】在平面直角坐标系中，与x轴有交点的函数称为：“零点函数”，交点的横坐标称为“零点”．例如：函数y=x−1与x轴的交点坐标是1,0，所以函数y=x−1是“零点函数”，1是该函数的零点．【探究】运用上述定义解决下列问题：（1）下列函数是“零点函数”的是______，其零点是：______．①y=2x

②y=x（2）已知二次函数y=x2−(a−1)x+14a(a−5)是“零点函数”，且两个零点x1【应用】如图：已知二次函数y=x2−bx−c（b，c为常数，b>0）的一个零点为−1，点M(t,0)是x轴正半轴上的动点，点Qb+1题型08新定义函数点型1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）定义：若点Am,n，点A1−m,−n都在同一函数图象上，则称点A和点A1为该函数的一组“奇对称点对”，记为A,A1．规定：A,A1与A1,A为同一组“奇对称点对”．例如：点B1,2和点B1−1,−2①点A1,1，点A1−1,−1，则点A和点A1为二次函数y=x2+x−1的一组“奇对称点对”；②反比例函数y=1x有无数组“奇对称点对”；③点C1,2，点C1−1,−2，若C,C1为函数y=ax2+bx−1的一组“奇对称点对”，则a=2，b=2；④由函数y=−x2．（2025·江苏宿迁·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于k的点叫“k阶近轴点”，所有的“k阶近轴点”组成的图形记为图形W．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域．(1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是___________；①y=1x；②y=−x+3；③(2)若一次函数y=2x+m的图像上存在“3阶近轴点”，求实数m的取值范围；(3)特别地，当点P在图形W上，且横坐标是纵坐标的k倍时，称点P是图形W的“k阶完美点”，若二次函数y=ax2−ax−2a+23．（2025·江西·中考真题）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量x0=m时，其对应的函数值y0=m，那么我们称该函数为“不动点函数”，点m,m为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数y=x2中，当x=1时，探究1（1）对一次函数y=kx+bk≠0①y=x+2是“不动点函数”，且只有一个不动点；②y=−3x+2是“不动点函数”，且不动点是12③y=x是“不动点函数”，且有无数个不动点．以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）．（2）若一次函数y=kx+bk≠0是“不动点函数”，请直接写出k，b探究2：（3）对二次函数y=ax2+bx+ca≠0进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线y=x探究3：（4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出12−x件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义．4．（2024·辽宁抚顺·二模）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点．【定义解析】例如：函数y=12x+1上的点(2,2)，−23,2（1）若点(a+1,−2a)是一次函数y=kx+4第四象限图象的完美点，求k的值；（2）求二次函数y=x【定义应用】（3）若二次函数y=ax2−2x+c(a>0)【定义应用】（4）若二次函数y=(x−m)2+3m−2(m≥0)的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于m题型09新定义函数图像型1．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，对于点A和⊙C给出如下定义：若⊙C上存在两个不同的点M，N，对于⊙C上任意满足AP=AQ的两个不同的点P，Q，都有∠PAQ≤∠MAN，则称点A是⊙C的关联点，称∠MAN的大小为点A与⊙C的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角）(1)如图，⊙O的半径为1．①在点A112,0，A243,0，A3②点B1,m在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD，BD上所有的点都是⊙O的关联点，则m(2)已知点E1,3,F4,3,Tt,0，⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，记这些点与⊙T的关联角度的最大值为α2．（2025·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，对于图W上或内部有一点N（不与原点O重合），及平面内一点P，给出如下定义：若点P关于直线ON的对称点P'在图W上或内部，则称点P是图W(1)如图1，已知图W1：线段AB，A−1,−1，B1,−1．在P1−1,0(2)如图2，已知图W2：正方形ABCD，A−1,−1，B1,−1，C1,1，D−1,1．若直线：l:y=x+b上存在点P(3)如图3，已知图W3：⊙T，圆心为T0,t，半径为1．若x轴上存在点P是图W33．（2025·湖北·中考真题）抛物线y=12x2−x+c与x轴相交于点A−1,0和点B，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，(1)求c的值；(2)如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求PH(3)定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧MN（含端点M和N）．过M，N分别作x轴的垂线l1,l2，过抛物线弧MN的最高点和最低点分别作y轴的垂线l3,l4，直线l1,l①求f关于t的函数解析式；②过点P作PQ∥x轴，交抛物线于点Q，点Q与点C不重合．记抛物线弧CQ的特征矩形的周长为g．若f+g=112，直接写出4．（2025·广东清远·一模）【定义】两个图形任意两点之间的距离的最小值为两个图形之间的距离．例如：如下图，直线x=1与y轴的距离为1．【应用】根据定义回答下列问题：（1）如图：直线y=−x+3与直线y=−x−2的距离是；（2）如图：已知点A1,0，圆A的半径为1，将直线y=−12x+4向下平移m个单位后与圆【拓展】（3）如图，某城市规划局要在地铁线附近规划建设一工业园区，工业园区的下边界是抛物线的一部分，建立如图所示的坐标系后，工业园区下边界所在的抛物线为y=18x2（−6≤x≤6）（单位长度为百米），地铁线所在的直线为y=−34x−3题型10新定义函数运算型1．（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点P成中心对称，则称这两个函数关于点P互为“对称函数”．请同学们解决以下问题：(1)求函数y=x−1关于点(0,0)的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤：第一步：在函数y=x−1的图象上取两点(1,0)和(0,−1)；第二步：分别求出这两个点关于点(0,0)的对称点_____和______；第三步：函数y=x−1关于点(0,0)的“对称函数”为______．(2)是否存在点P，使得函数y=1x+1关于点P(3)函数C1:y=ax2−2ax+2a(a>0)关于点(2,2)的“对称函数”为C2，函数①若a=12，求②若W内至少有9个“整点”，至多有13个“整点”，求a的取值范围．2．（2025·辽宁阜新·一模）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：y=ax2+bx+ca≠0图象上的点Ax,y的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点A1x,x+y．他们把这个点A：定义为点A(1)点P1,2(2)如果抛物线y=x2+bx+3(3)已知抛物线y=x2+bx+c图象上的点Bx,y的“和点”是B1①当0≤c≤5时，求n的取值范围．②小明发现，当c取不同值时，所有的顶点p,q组成一条新的抛物线，设为yp，所有的顶点m,n也组成一条新的抛物线，设为y3．（2025·黑龙江大庆·二模）新定义【定义与性质】如图，记二次函数y=ax−b2+c和y=−ax−p2定义：若抛物线C1的顶点Qp,q在抛物线C上，则称C1性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；②若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点Pb,c【理解与运用】（1）若二次函数y=−13x−32+m和y=−13x−n2【思考与探究】（2）设函数y=x2−2kx+6k+3①若函数y=−x2+dx+e的图象为抛物线C0，且C2始终是C②如图（2），在①的条件下，抛物线C0与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，P为抛物线上任意一点，当tan∠PCD=2时，求点③在①的条件下，若抛物线C2与x轴有两个不同的交点x1,0，x2,04．（2025·江苏盐城·中考真题）请根据小明的数学探究活动单，完成下列任务．“θ变换”研究内容提出概念已知点Px,y．如果点P'x',y'满足x理解概念已知点P33,3，θ=60°，求点P的“θ探究性质如图（1），已知点P33,3和点Q①请在图（1）中分别画出点P、Q对应的“θ变换”点P'、Q②研究发现：线段P'Q'可由线段PQ通过一次图形变换得到，点P运用性质如图（2），在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为A−2,2，B−32,−32，C2,−2，曲线l是反比例函数y=2x（x<0）图像的“θ变换”线，θ=45°，l交边BC于点M、N，直线OM、ON分别交边AD于点E、F，记△BOM、△CON、△DOE5．（2025·河北邢台·二模）【了解概念】对于给定的一次函数y=kx+b（其中k，b为常数，且k≠0），称函数y=−kx+bx≥0kx+b(x<0)【理解运用】(1)例如：一次函数y=−3x−1的关联函数为y=若点P(2,m)在一次函数y=−3x−1的关联函数的图象上，则m的值为________．(2)已知一次函数y=−3x−1，我们可以根据学习函数的经验，对它的关联函数y=3x−1(x≥0)①填表：x…−1012…y……②根据①中的结果，请在所给的平面直角坐标系中画出一次函数y=−3x−1的关联函数的图象；③若−1≤x≤2，则y的取值范围为________．题型11新定义函数性质型1．（2025·江苏泰州·二模）综合实践项目主题：从函数角度探究“大型滑滑梯的设计”．抽象建模如图1为滑滑梯实物图．首先，把滑滑梯的滑道抽象地看成一条曲线，如图2所示．其次，建立平面直角坐标系：以水平面为x轴，过曲线最高点A垂直于水平面的直线为y轴，探究发现该曲线整体不是单一的二次函数或反比例函数图像的一部分，但可近似看成是某个二次函数图像一部分与某个反比例函数图像一部分的结合．整条曲线共为AB、BC、CD三段，其中，曲线AB为冲刺部分，曲线BC为缓冲部分，曲线CD为降速部分．数据与定义已知A(0,5)，B(2,2)，C(4,1)．现给出如下定义：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，a称作该二次函数图像的“曲度”；对于反比例函数y=kx(k≠0)，1k问题解决(1)从二次函数及反比例函数图像特征看，降速部分是________（只需填序号：①二次函数图像的一部分②反比例函数图像的一部分）；(2)根据曲度的定义，为使滑梯更安全，曲线AB所在的函数图像“曲度”应该调________（填“大”或“小”）；(3)兴趣小组发现整条曲线各段所在函数图像的“曲度”是一致的，且缓冲部分曲线BC是冲刺部分曲线AB或降速部分曲线CD所在函数图像的一部分，为进一步验证，可计算曲线BC上一点到这两段曲线所在函数图像的竖直距离，通过比较距离大小来判断（距离越小，则属于该函数的图像的可能性越大）．现测得缓冲部分一点E(3,1.33)，通过计算判断曲线BC更可能是哪段曲线所在函数图像的一部分．2．（2025·辽宁丹东·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，Ax,y是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“y−x”称为点A【举例】已知点A1,3在函数y=2x+1的图象上，则点A1,3的“纵横值”为y−x=3−1=2．函数y=2x+1的图象上所有点的“纵横值”可以表示为当3≤x≤6时，x+1的最大值为6+1=7，故函数y=2x+13≤x≤6【问题】根据定义，解答下列问题：(1)点B−5,−2(2)求函数y=6(3)已知二次函数y=−x①求证：无论b取何值，该二次函数的“最优值”为定值；②当−1≤x≤4时，此二次函数的“最优值”为4，求出b的值；③若此函数的顶点记为点M，它的“最优值”所在点记为点N，点M与点N到直线y=3的距离相等，直接写出b的值．3．（2024·四川·中考真题）【定义与性质】如图，记二次函数y=ax−b2+c和y=−ax−p2定义：若抛物线C1的顶点Qp,q在抛物线C上，则称C1性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；②若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点Pb,c【理解与运用】（1）若二次函数y=−12x−22+m和y=−12【思考与探究】（2）设函数y=x2−2kx+4k+5①若函数y=−x2+dx+e的图象为抛物线C0，且C2始终是C②若抛物线C2与x轴有两个不同的交点x1,0，x2,0

4．（2024·广东深圳·三模）背景：双目视觉测距是一种通过测量出左、右两个相机视野中，同一物体的成像差异，来计算距离的方法．它在“AI”领域有着广泛的应用．材料一：基本介绍如图1，是双目视觉测距的平面图．两个相机的投影中心Ol，Or的连线叫做基线，距离为t，基线与左、右投影面均平行，到投影面的距离为相机焦距f，两投影面的长均为l（t，f，1是同型号双目相机中，内置的不变参数），两投影中心Ol，Or分别在左、右投影面的中心垂直线上．根据光的直线传播原理，可以确定目标点P在左、右相机的成像点，分别用点Pl，P材料二：重要定义①视差——点P在左、右相机的视差定义为d=d②盲区——相机固定位置后，在基线上方的某平面区域中，当目标点P位于该区域时，若在左、右投影面上均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，阴影区域是盲区之一）．③感应区——承上，若在左、右投影面均可形成成像点，则该区域称为感应区．材料三：公式推导片段以下是小明学习笔记的一部分：如图3，显然，△OlPlE∼△P所以，fz任务：(1)请在图2中（A，B，C，D是两投影面端点），画出感应区边界，并用阴影标示出感应区．(2)填空：材料三中的依据是指；已知某双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，则位于感应区的目标点P到基线的距离z（mm）与视差d（mm）之间的函数关系式为．(3)如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面CD长为10mm）正对天空连续拍摄时，一物体M正好从相机观测平面的上方从左往右飞过，已知M的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当M刚好进入感应区时，d1=0.05mm，当M刚好经过点Or的正上方时，视差d=0.02mm，在整个成像过程中，d呈现出大一小一大的变化规律，当d①小明以水平基线为x轴，右投影面的中心垂直线为y轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为（友情提示：注意横、纵轴上的单位：1m②求物体M刚好落入“盲区”时，距离基线的高度．5．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）我们定义：如果一个矩形的周长和面积相等，称这个矩形为“完美矩形”，如果一个矩形B周长和面积都是A矩形的n倍，那么我们就称矩形B是矩形A的“n倍契合矩形”．【概念辨析】（1）①边长为4的正方形______（填“是”或“不是”）“完美矩形”；②矩形A的周长是12，面积是8，它的“2倍契合矩形”的周长______，面积为______；【深入探究】（2）问题：长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？我们可以从函数的观点来研究“2倍契合矩形”，设“2倍契合矩形”的长和宽分别为x，y（x>0，y>0），依题意x+y=10，xy=12，则y=−x+10，y=12x，在图1的平面直角坐标系中作出了一次函数l1那么长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？若存在，请求出它的长，若不存在，请说明理由；（3）①如果长为x，宽为y（x>0，y>0）的矩形是一个“完美矩形”，求y与x的函数关系式，并在图2的平面直角坐标系中直接画出函数图象；②观察图象，直接写出周长为20的“完美矩形”的长．题型12新定义几何概念型1．（2025·河南焦作·二模）综合与实践对于几何图形，一般从组成图形的要素及相关要素之间的关系来研究它的定义、性质、判定、应用等方面的内容．请运用已有的经验对“筝形”进行研究．定义：以一条对角线所在直线为对称轴的四边形叫做筝形．(1)理解运用如图1，正方形网格中，每个小正方形的顶点为格点．点A,B,C在格点上，请在图1所给的两个网格中分别画出一个筝形ABDC，要求D在格点上．(2)性质探究根据定义可得出筝形边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形ABCD是筝形．对角线AC所在的直线是它的对称轴．①连接BD,AC与BD的位置关系是_____；②若AC=m,BD=n，求筝形ABCD的面积（用含m,n的式子表示）(3)拓展延伸如图3，在Rt△ABC中，∠A=90°,∠B=60°,AB=3，分别在边BC,AC上取点M,N，使四边形ABMN是筝形，请直接写出筝形2．（2024·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．【初步应用】（1）如图1，四边形ABCD是圆美四边形，∠A是美角．①∠A的度数为_________°；②连接BD，若⊙O的半径为5，求线段BD的长；【拓展提升】（2）如图2，已知四边形ABCD是圆美四边形，∠BAD是美角，连接CA，若CA平分∠BCD，若⊙O的半径为6，求BC+CD的最大值是多少？3．（2025·广东深圳·二模）【定义】若平行四边形的一条内角平分线平分它的一条边，则该平行四边形称为“角分平行四边形”，该角平分线称为“角分线”．例如：如图1，在▱ABCD中，∠BAD的角平分线AE交BC于点E，若E为BC边的中点，则称▱ABCD是“角分平行四边形”，AE是“角分线”．【性质】（1）如图1，从定义上我们可以得到“角分平行四边形ABCD”具有“平行四边形，AE平分∠BAD，BE=CE”的基本性质，除此之外，还有其它性质吗？请写出其中一条性质，并说明理由．【判定】（2）如图2，在▱ABCD中，AD=2AB．求证：四边形ABCD是“角分平行四边形”．【应用】（3）现计划在如图3所示的“角分平行四边形”ABCD绿地上进行景观美化，其中小路AE是它的“角分线”，另一条小路CM与边AB交于点M，且BM=2AM，在△AMN和△CEN区域种植同品种的花卉，若△AMN区域的花卉种植费用为a元，求△CEN区域的花卉种植费用（用含有a的式子表示）．题型13新定义几何性质型1（2025·河南·中考真题）定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P为边BC上一点，若△APC为“反直角三角形”，则BP的长为．2．（2025·广东深圳·中考真题）综合与探究【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形．【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在△ABC中，AB=AC，AC=AD，∠D=∠BAC．此时，四边形ABCD是“双等四边形”，△ABC是“伴随三角形”．【问题解决】如图3，在四边形ABCD中，AB=AC，AD=CD，∠D=∠BAC．求：①AD与BC的位置关系为：__________：②AC2_____AD⋅BC．（填“>”，“<”或“【方法应用】①如图4，若AC=BC，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE，点D恰好落在BC边上，求证：四边形ABDE是双等四边形．②如图5，在等腰三角形ABC中，AC=BC，cosB=35，AB=5，在平面内找一点D，使四边形ABCD是以△ABC3．（2025·吉林长春·中考真题）数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆．【探究一】线段的最小覆盖圆线段AB的覆盖圆有无数个，其中，以AB为直径的圆是其最小覆盖圆．理由如下：易知线段AB的最小覆盖圆一定经过点A、点B．如图①，以AB为直径作⊙O，再过A、B两点作⊙O'（O'与O不重合），连结O'A,O'∵O∴2O'A>AB，即⊙∴⊙O是线段AB的最小覆盖圆．“▲”处应填写的推理依据为．【探究二】直角三角形的最小覆盖圆要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题．这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆．如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．⊙O是以AB为直径的圆．请你判断点C与⊙O又由【探究一】可知，⊙O是Rt△ABC最长边AB的最小覆盖圆，所以，⊙O是Rt【拓展应用】矩形的最小覆盖圆如图③，在矩形ABCD中，AB=1cm，BC=2（1）用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形ABCD的最小覆盖圆：（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描点）（2）该矩形ABCD的最小覆盖圆的直径为cm；（3）若用两个等圆完全覆盖矩形ABCD．则这样的两个等圆的最小直径为cm．题型14新定义几何变换型1．（2025·江苏无锡·二模）将△OAB先绕点O逆时针旋转角α0∘<α<180∘，再以点O为位似中心，以k为相似比进行缩放，得到△OCD，且CD∥OA，CD=OA例如，图1中，OB=AB，∠ABO=90∘，△OAB到△OCD的“平等变换”规则是(1)直接写出下列条件中的“平等变换”规则：①如图2，OA=AB，∠OAB=90°：___________；②如图3，OA=3+1，OB=2(2)如图4，∠ABO=90°，∠AOB=30°，求证：△OAB经过“平等变换”后，A、B、D三点共线．(3)如图5，OA=OB，△OAB经过“平等变换”后，若点C在AB延长线上，且OB=BC，请直接写出该变换的规则．___________．2．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）在平面内，将一个图形G以任意点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ(0°<θ<180°)，得到图形G'，再以O为位似中心将图形G'放大或缩小得到图形G″，使图形G''与图形G的对应线段的比为k，我们把这种图形变换叫做【θ，k】变换，点O为变换中心．例如，把△ABC绕着点A逆时针旋转90°得△A'B'C'，再以(1)如图1，△ABC的边长AB为3cm，将它以点A为中心作【90°，23】变换，得到△ADE，连接BD，则线段BD的长为(2)如图2，△ABC是⊙O的内接正三角形，点D是BC的中点，连接BD并延长BD到点E，使BD=DE，连接CD和DE．△CDE可以看作是△ABC经过【θ，k】变换得到的吗？如果可以，请求出θ，k的值；如果不可以，请说明理由．(3)如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD为BC边上的高，将△ADC以点A为中心经过【θ，k】变换得到△ACE，求CE的长及△ADE(4)如图4，在（3）的条件下，若F为线段BD上一动点（点F不与点B，D重合），将△ABF以点A为中心经过【θ，k】变换得到△ACG．以AF，AG为边作矩形AFMG，连接CM．则△CMG面积的最大值为．3．（2025·广西·三模）【综合与探究】如图1，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度0°<θ<360°，并使各边长变为原来的n倍，得到△AB'C(1)如图1，对△ABC作变换A60°,3得到△AB'C'，请直接写出变换前后△AB'C(2)如图2，在△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC作变换A[θ,n]得到△AB'C'，当点B,C,C'在同一直线上，且四边形(3)如图3，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=36°,BC=2，对△ABC作变换A[θ,n]得到△AB'C'，使得点B'或点C'在BC所在直线上，且B'题型15跨学科情境型1．（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔gāo的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动．在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300N的物体，且OB=1m．若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小星发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小点A与点O的距离l11.522.53拉力的大小F300200150120a(1)表格中a的值是；(2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；(3)根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由．2．（2025·甘肃兰州·中考真题）综合与实践在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题．【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决．【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据：生长素浓度：x（标准单位）00.611.722.52.733.344.2发芽率y（%）35.0049.2856.0062.3763.0061.2559.5756.0051.1735.0029.12【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．说明：①当生长素浓度x=0时，种子的发芽率为自然发芽率；②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽；③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验．【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题：(1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式；(2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围．3．（2024·浙江温州·二模）实践活动：确定LED台灯内滑动变阻器的电阻范围．素材1：图1为某厂家设计的一款亮度可调的LED台灯．图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻R2来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中R=R1+R2，已知素材2：图3是该台灯电流和光照强度的关系．研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在300−750lux任务1：求I关于R的函数表达式；任务2：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定R24．（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计）实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大．总结公式：当小铝块位于液面上方时，F拉力当小铝块浸入液面后，F拉力【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数F拉力N与小铝块各自下降的高度【解决问题】(1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数．(2)当6≤x≤10时，求弹簧测力计A的示数F拉力关于x(3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为mN，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为mN，则乙液体中小铝块浸入的深度为ncm，直接写出m题型16材料信息迁移型1（2025·广东·中考真题）综合与实践【阅读材料】如图，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，则有asin【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究．【方案设计】工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）．测量过程：步骤1：如图，在空旷地找一点C；步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°，∠B≈51°；步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341 m，AC≈388.5【问题解决】（1）请你利用【阅读材料】中的结论计算A，B两岛间的距离．（参考数据：sin43°≈0.682，sin51°≈0.777，【评价反思】（2）设计其他方案计算A，B两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识．2．（2025·广东广州·中考真题）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题．发现问题确定目标涉水线设置限高架设置数学抽象绘制图形隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示．图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分ACB和矩形ADEB的三边构成．信息收集资料整理当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行．车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部ACB在竖直方向的空隙不小于0.3米．实地考察数据采集斜坡的坡角α为10°，并查得：sin10°≈0.174cos10°≈0.985tan10°≈0.176隧道的最高点C到地面DE距离为5.4米，两侧墙面高AD=BE=3米，地面跨度DE=10米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．问题解决：(1)如图2，求涉水线离坡底的距离MN（精确到0.01米）；(2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线ACB的解析式；(3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到0.1米）．3．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2−y(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）：N奇数4的倍数表示结果1=4=3=8=5=12=7=16=9=20=⋯⋯一般结论

2n−1=4n=______按上表规律，完成下列问题：（ⅰ）24=（

）2−（

）2（ⅱ）4n=______；(2)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，⋯这些形如4n−2（假设4n−2=x2−分下列三种情形分析：①若x，y均为偶数，设x=2k，y=2m，其中则x2−y而4n−2不是4的倍数，矛盾．故x，②若x，y均为奇数，设x=2k+1，y=2m+1，其中则x2−y而4n−2不是4的倍数，矛盾．故x，③若x，y一个是奇数一个是偶数，则而4n−2是偶数，矛盾．故x，由①②③可知，猜测正确．阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容．题型17开放探究型1．（2025·湖北·中考真题）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空．主题探究月历与幻方的奥秘活动一图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数．（1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则a是______，b是______；（2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则c是______，d是______；（注：用含n的代数式表示c和d．）活动二移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等．（3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e是______，f是______；（4）若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是______（用含n的代数式表示g）．2．（2025·安徽·中考真题）综合与实践【项目主题】某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地．【项目准备】（1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺．（2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为20cm（3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”．观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加40cm，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为40x+10自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加①个正六边形和②个正三角形，长度增加③cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④cm．【项目分析】（1）项目条件：场地为长7.4m、宽6（2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用．（3）方式确定：（i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺；（ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束；（iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止．（4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案．方案一：第一行沿着长度为6m的墙自左向右拼接（如图5）．根据规律，令40x+10≤600，解得x≤14.75，所以每行可以先拼14块拼接单元，即共用去14个正六边形和28个正三角形组件，由40×14+10=570知，所拼长度为570cm，剩余30cm恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用15个正六边形和28个正三角形组件，由5×15+1×28=103知，方案一每行的成本为由于每行宽度为203cm（按3=1.73计算），设拼成s行，则203s≤740，解得s≤373方案二：第一行沿着长度为7.4m类似于方案一的成本计算，令40x+10≤740⋯方案二每行的成本为⑤元，总成本为⑥元．【项目实施】根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）．请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________．3．（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用．【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间t(s)、运动快慢v(cm/s)【收集整理数据】运动时间t(048121620…运动快慢v(12108642…运动路程y(04480108128140…【数学建模探究】【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：v与t之间的关系可以近似地用______________函数表示，y与t之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例）【检验】根据猜想求出v与t,y与t之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证．【应用】当弹珠到达水平轨道上A点时，前方B点处有一辆电动小车以3cm/s的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么AB的最大值是多少？1．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】同学们，我们来学习利用完全平方公式：a±b近似计算算术平方根的方法．例如求67的近似值．因为64<67<81，所以8<67则67可以设成以下两种形式：①67=8+s，其中0<s<1②67=9−t，其中0<t<1小明以①的形式求67的近似值的过程如图．因为67=8+s所以67=8+s即67=64+16s+s因为s2将s2所以67≈64+16s，即16s≈67−64，得s≈67−64故67≈8+【尝试探究】（1）请用②的形式求67的近似值（结果保留2位小数）．【比较分析】（2）你认为用哪一种形式得出的67的近似值的精确度更高，请说明理由．2．（2025·广东·中考真题）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点．(1)如图，点P是线段MN的中外比点，MP>PN，MN=2，求PN的长．(2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段AB分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法）(3)如图，动点B在第一象限内，反比例函数y=kxk>0,x>0的图象分别与矩形OABC的边AB，BC相交于点D，E，与对角线OB相交于点F．当△ODE是等腰直角三角形时，探究点D，E，F是否分别为AB，BC3．（2025·山东潍坊·中考真题）黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．中国澳门发行的邮票小型张《科学与科技——黄金比例》（如图1）就是用黄金分割比作为主题设计的．

【阅读观察】材料1：黄金分割点的定义如图2，若线段AB上的点C满足BCAC=ACAB，则点C称作线段AB的黄金分割点，其中ACAB的比值称作黄金分割比φ=5−12，而

材料2：黄金分割点的作法（借助尺规作图可以用不同方法确定图2中线段AB的黄金分割点C）方法1：如图3，①过点B作l⊥AB；②在直线l上截取BD=12AB③在DA上截取DE=DB；④在AB上截取AC=AE，C即为所求．

方法2：如图4，①以AB为边作正方形ABED；②取AD中点F，连接BF；③以点F为圆心，FB为半径作圆弧，与DA的延长线交于点H；④以AH为边在AB一侧作正方形AHGC，GC交AB于点C，可得BCAC=AC

【思考探究】（1）说明图3中ACAB（2）用不同于（1）的方法，说明图4中BCAC【迁移拓展】如图5，作圆内接正五边形：①作⊙O的两条互相垂直的半径OA和OM，取OM的中点N，连接AN；②作∠ONA的平分线，交OA于点K；③过点K作OA的垂线，交⊙O于点B，E，连接AB，AE；④截取BC=BA，CD=CB，连接BC，CD，DE，五边形ABCDE即为所求．

（3）若OA=2，根据以上作法，证明：AB4．（2025·福建·中考真题）阅读材料，回答问题．主题两个正数的积与商的位数探究提出问题小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根