专题03 方程（组）与不等式（组）的实际应用（11种题型）（专项训练）（原卷版）-【数学】2026年中考一轮复习讲练测

1/10第二章方程与不等式专题03方程（组）与不等式（组）的实际应用

（11种题型）目录刷考点精准巩固，扫清盲区提能力聚焦过程，优化策略测综合跨界融合，挑战创新考点一：销售问题解｜题｜技｜巧设未知数（通常设“售价/销量/成本”为x）；根据“利润/总利润/利润率”的等量关系列方程（组）；若涉及“最值/方案选择”，结合不等式（组）确定取值范围，再计算最优解。易｜混｜易｜错混淆“标价”与“实际售价”；计算利润率时，分母应为“成本”而非“售价”。1．（2025·四川广元·一模）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的甲型号手机二月份比一月份售价每台降价500元．如果卖出相同数量的甲型号手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元．(1)一月份甲型号手机每台售价为多少元？(2)为了提高利润，该店计划三月份加入乙型号手机销售，已知甲型号每台进价为3500元，乙型号每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？(3)若三月份甲型号手机售价与二月份一样，乙型号手机售价比甲型号手机三月份的售价贵800元，在（2）的前提下哪种方案获利最大？2．（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种：①一次性购买A型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售．②一次性购买B型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售．若购买30本A型相册和10本B型相册，共需支付2240元；若购买20本A型相册和40本B型相册，共需支付3100元．(1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？(2)若该社团计划购买A型和B型相册共15本，要求A型相册数量大于或等于B型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案．3．（2025·辽宁·模拟预测）某商场计划购进甲，乙两种商品，已知购进甲种商品2个和乙种商品3个共需270元；购进甲种商品3个和乙种商品2个共需230元．(1)甲，乙两种商品每个的进价分别是多少元？(2)商场决定甲种商品以40元/个的价格出售，乙种商品以90元/个的价格出售，为满足市场需求，需购进甲，乙两种商品共100个，当购进的甲，乙两种商品全部售出后，该商场要想获得利润不低于1200元，则最多购进甲种商品多少个？4．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下：x（元/个）…52535455…y（个）…760740720700…(1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围；(2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？5．（2025·辽宁盘锦·一模）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了A、B两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个A种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个．(1)求购进A、B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？(2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进A、B两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？6．（2025·四川德阳·中考真题）中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元．(1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？(2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？考点二：工程问题解｜题｜技｜巧设“单独完成工作的时间”为x，表示出工作效率；根据“合作完成的工作量”列方程（如“甲做a天+乙做b天=总工作量”）；若涉及“工期限制”，结合不等式确定工作时间的范围。易｜混｜易｜错漏算“合作时间”与“单独工作时间”的区分；工作总量未统一（如部分用“具体工程量”，部分用“1”）。7．（2025·贵州·模拟预测）喜迎熊猫丫丫回国，贵阳一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个，工作5天后，增加了工人人数，每天比增加前多加工20个，又加工了两天完成了任务．(1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数；(2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工148．（2025·安徽蚌埠·三模）南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？清淤机清淤船时间方案一1台2台8天方案二2台1台7天9．（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有A，B两条不同的粽子生产线，A生产线每小时加工粽子400个，B生产线每小时加工粽子500个．(1)若生产线A，B一共加工11小时，且生产粽子总数量不少于5000个，则B生产线至少加工多少小时？(2)原计划A，B生产线每天均工作8小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，A生产线每小时比原计划多生产100a个（a>0），B生产线每小时比原计划多生产100个．若A生产线每天比原计划少工作2a小时，B生产线每天比原计划少工作a小时，这样一天恰好生产粽子6000个，求a的值．10．（2025·云南·模拟预测）随着“碳中和”理念普及，校园旧物回收活动愈发火热．某校初三（1）班学生利用课余时间整理可回收废品，发现改进分类方法后，工作效率大幅提高．已知该班同学改进前整理60千克废品所用的时间，与改进后整理90千克废品所用的时间相同，且改进后每小时比改进前多整理15千克废品．请问该班同学改进前每小时整理多少千克废品？11．（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成．(1)乙队单独完成这项工程需要几个月？(2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做a个月（a为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？考点三：行程问题解｜题｜技｜巧设“速度/时间”为x；根据“路程关系（相遇/追及/航行）”列方程；复杂行程（如分段速度）需分段表示路程，再汇总等量关系。易｜混｜易｜错追及问题中“路程差”的判定错误（如忽略初始距离）；航行问题中“顺水/逆水”速度的混淆。12．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题：(1)A，C两区相距__________米，a=__________；(2)求线段EF所在直线的函数解析式；(3)机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可）13．（2025·广西·中考真题）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下：湖南境内路段广西境内特定路段广西境内其他路段周一至周四9.5折周五至周日9.5折全免5折(1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？(2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元．14．（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍．(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？(2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（a>0），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值．15．（2025·吉林长春·中考真题）小吉和小林从同一地点出发跑800米，小吉的平均速度是小林的1.25倍，结果小吉比小林少用40秒到达终点．求小林跑步的平均速度．16．（2022·河南洛阳·一模）已知一列慢车与一列快车相继从泰州开往上海，慢车先出发，一小时后快车出发，设慢车行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y与(1)请解释图中点C的实际意义；(2)分别求慢车和快车的速度、泰州与上海的距离；(3)如果两车都配有对讲机，并且二车相距不超过15km考点四：分配问题解｜题｜技｜巧设“分配数量”为x；根据“总资源=各部分分配量之和”列方程（组）；若涉及“分配限制（如‘至少/至多’）”，结合不等式（组）筛选可行方案。17．（2025·重庆·模拟预测）列方程（组）解决下面问题修正带是学生常用的一种学习用品，因其修改书写错误方便，受到学生的欢迎．(1)某修正带有一个外壳和两个齿轮构成，某文具厂一个工人每天可生产2000个外壳或生产8000个齿轮，现打算安排30名工人生产修正带，如何安排使每天生产的修正带外壳和齿轮数量恰好配套？(2)阳光文具店打算向厂家购进A牌和B牌两种修正带，每个A牌修正带比B牌修正带便宜0.5元．用1800购进A牌修正带的数量，比用1500元购进B牌修正带的数量多60%．求每个B18．（2025·江西宜春·三模）中华民族拥有灿烂的华夏文明，而文化古迹则是文明的见证者．为了让学生感受王勃笔中“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”的美景，某校组织一支研学队伍到滕王阁进行研学旅行，若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位．(1)求计划调配36座新能源客车的数量及这支研学队伍的人数．(2)若同时调配36座和22座两种新能源客车若干辆，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？19．（2025·福建·一模）福建的传统手工艺品独具魅力，油纸伞和角梳是“福州三宝”之二．某工艺品店计划从当地手工艺人处购进油纸伞和角梳用于售卖，已知购买4把油纸伞的费用比购买1把角梳的费用多20元，购买5把油纸伞和2把角梳一共花费220元．(1)求每把油纸伞和角梳的进价分别是多少元？(2)若油纸伞的售价为30元/把，角梳的售价为75元/把，该工艺品店计划花费不超过4000元购进油纸伞和角梳共100把，且购进商品全部售出，求怎样进货可使利润W最大，最大利润是多少？20．（2023·四川达州·模拟预测）我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物256吨和乙种货物200吨，准备租用A、B两种型号的汽车共40辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表：一汽二汽A型每辆费用（元）600mB型每辆费用（元）800n(1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多400元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为6500元．求表格中m，n的值；(2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由．考点五：和差倍分问题解｜题｜技｜巧设“较小的量”为x，用x表示出“和/差/倍/分”的其他量；根据“总量/差值”的等量关系列方程；多量关系（如三个数的和差倍）需设多个未知数，列方程组求解。21．（2025·江西·中考真题）某文物考古研究院用1:1复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（出酒率=出酒量类别原材料出酒率粮食酒粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水30%芋头酒芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水）20%如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍．(1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？(2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为1422．（2025·重庆永川·模拟预测）随着科技的发展，智能芯片技术也达到了新的高度．某科技公司研发了甲乙两型智能芯片．(1)已知一枚甲型芯片用时2秒进行的整数运算次数与一枚乙型芯用时片3秒进行的整数运算次数之和为46万亿次，一枚甲型芯片用时4秒进行的整数运算次数与一枚乙型芯用时片5秒进行的整数运算次数之和为84万亿次，求一枚甲芯片与一枚乙芯片每秒平均运算次数各为多少万亿次?(2)该科技公司对芯片进行算法优化，成功将甲型芯片每秒的整数运算次数提升到原来的110%23．（2025·安徽·模拟预测）春晚吉祥物“龙辰辰”发布后，某超市及时订购了甲、乙两种“龙辰辰”布偶．每个甲种布偶的售价比乙种布偶贵10元，小明买2个甲种布偶和3个乙种布偶共花了270元．则甲、乙两种布偶每个的售价分别为多少元？24．（2025·广东韶关·二模）习近平总书记指出：“植树造林是实现天蓝地绿、水净的重要途径，是最普惠的民生工程．”据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克．(1)若一年滞尘1200毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘660毫克所需的国槐树叶的片数相同，分别求一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量．(2)某公园打算种一批国槐树和银杏树共100棵，据估计这批树中，一棵国槐树约有15000片树叶，一棵银杏树约有20000片树叶，如果想让这批树一年的滞尘总量至少为60千克，那么最多种植多少棵国槐树？(1千克=1000000毫克)考点六：几何问题解｜题｜技｜巧设“几何量（边长/半径/高）”为x；根据“周长/面积/体积的等量关系（如‘变形前后面积不变’‘拼接后周长变化’）”列方程；涉及“图形存在性（如‘能否围成三角形’）”时，结合不等式（组）验证（如三角形三边关系）。易｜混｜易｜错图形变形后，混淆“周长”与“面积”的变化（如矩形拉成平行四边形，周长不变、面积改变）；勾股定理应用时，错判直角边与斜边。25．（2025·北京·中考真题）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是1:1:2．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中BC的长是门条长的59，AB26．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等．(1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个?(2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片?27．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为60m方案一方案二如图1，围成一个面积为450m如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3m的进出口（此处不用栅栏）．(1)求方案一中与墙垂直的边的长度；(2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？考点七：古代问题28．（2025·安徽合肥·三模）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六、问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？29．（2025·陕西西安·模拟预测）《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”大意是一群人出行，如果三人同乘一辆车，则空余两辆车，其余车恰好坐满；如果两人同乘一辆车，则所有车都坐满后还有九人步行．请问共有多少人出行？30．（2025·陕西榆林·一模）我国古代数学名著《九章算术》中记载“粟米之法；粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而春之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为3531．（2025·安徽·模拟预测）我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜36文，问两种布每尺各多少钱？32．（2025·安徽淮北·三模）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．问客房几间？房客几人？请解答上述问题．考点八：阶梯收费问题易｜混｜易｜错漏算“分界点处的费用”（如超出部分计算时，重复或遗漏基础段费用）；未分情况讨论，直接按单一单价计算。33．（2025·广东深圳·三模）（1）【生活与应用】：为加强居民节水意识，决定对居民用水实行“阶梯价”，见价目表；问题：若该居民2、3月份共用水30吨（3月份用水超过2月份），共交水费97元，则该居民2、3月份各用水多少吨？价目表每月用水量单价不超出15吨的部分3元/吨超15吨的部分4元/吨注：水费按月结算（2）【观察与思考】：①根据图1流程图中的运算程序，当输入数据x=−1时，输出结果y为_____；②根据图2所示的计算程序，若输出的值y=5，则输入的值x=_____．该同学进行综合复习时，产生能否用流程图设计自动运算的想法，请你帮助该同学补全流程图（3）问题：若该居民1月用水量为x吨，请设计“计算框图”，使得输入数据为用水量x，输出数为水费y；补全“计算框图”则①_____②_____；34．（2025·江苏淮安·一模）综合与实践【背景】近年来，涟水以高质量发展为首要任务，实现经济迅猛腾飞，成为江苏省最年轻、淮安市唯一的全国百强县.涟水更是风光与美食交织的宝藏之地，让游客流“涟”忘返.住在涟水的小美想给亲朋好友寄送当地特产．【素材1】她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如下表：计费单位收费标准江浙沪地区江西省首重aa+3续重bb+4收费说明：①每件快递按送达地分别计算运费；②运费计算方式：首重价格+续重×续重运费．首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以1千克为计重单位（不足1千克按1千克计算）．【素材2】电子存单1电子存单2托寄物：捆蹄、萝卜干目的地：江苏常州计量重量：2千克件数：1总费用：10元托寄物：鸡糕、捆蹄目的地：江西南昌计量重量：3千克件数：1总费用：23元【问题解决】(1)求a、b的值；(2)小美给在上海的哥哥寄出了4.8千克的涟水特产，她需要支付多少元快递费？(3)小美给在江西的外婆寄特产花了59元快递费，求这份特产重量的取值范围．35．（2025·内蒙古·二模）金师傅购买了一辆某型号的新能源车，其电池电量为60千瓦时．目前有两种充电方案供选择（如表），经测算金师傅发现电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）关系如图．方案安装费用每千瓦时所需费用方案一：私家安装充电桩2520元0.6元方案二：公共充电桩充电01.8元（含服务费）(1)已知新能源车充电时一般损耗率为1.2，电池剩余电量为零时，使用家用充电桩一次性充满电需要费用为60×1.2×0.6＝43.2（元），则电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要多少费用？(2)当已行驶里程大于300千米时，求出电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）的函数解析式，当电池剩余电量为10%时，会提示充电，此时理论上还能继续行驶多少千米？(3)金师傅都是在电池剩余电量不低于30千瓦时就开始充电，请问累计行驶里程为多少千米时，选择私家安装充电桩充电（含安装费用）更合算．考点九：数字问题解｜题｜技｜巧设“数位上的数字”为未知数（如设个位为x，十位为y）；根据“数字间的关系（如‘个位数字比十位大3’‘数的倍数关系’）”列方程；验证解的实际意义（数字为0-9的整数，首位数字不为0）。36．（2025·湖南长沙·模拟预测）小明问小白：“你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？”看着小白一脸的茫然，小明热心地为小白讲解：【小明提出问题】利用一元一次方程将0.7【小明的解答】解：设0.7⋅=x方程两边都乘以10，得10×0.7⋅=10x．由0.7⋅=0.7777⋯⋯【小明的问题】将0.4【小白的答案】49(1)请你仿照小明的方法把下列两个小数化成分数：①1.3⋅2(2)你能通过上面的解答判断0.937．（2025·河北唐山·三模）某两位数，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，设原两位数的个位数字为x．(1)请用含x的式子表示得到的新的两位数，并说明这个新的两位数能被9整除；(2)若新的两位数比原来的两位数大45，试通过列一元一次方程的方法求出x的值．38．（2025·陕西西安·模拟预测）算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数中，个位数字是十位数字的2倍，若把个位数字与十位数字对调，所得的新的三位数比原三位数大36，请帮小明求出这个三位数．39．（2025·安徽亳州·三模）“洛书”（图1）是世界上最早的“幻方”．“九宫格”来源于“洛书”，将不重复的9个数依次填入3×3方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．如图2、图3都是只能看到部分数值的“九宫格”．(1)写出图2中a和b之间的数量关系；(2)求出图3中x和y的值．40．（2025·福建龙岩·二模）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字，八进制数换算成十进制数是：(3745)8=3×8(1)把八进制数3751换算成十进制数是_________；(2)小聪设计了一个n进制数126，换算成十进制数是105，求n的值．41．（2025·广东深圳·二模）2025年6月26日−28日是深圳市中考的日子，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．考点十：方案问题42．（2025·北京·模拟预测）在“一盔一带”为主题的交通安全宣传和教育下，人们骑电动车、摩托车佩戴头盔的安全意识不断提高．某安全用品商店计划购进一批安全头盔进行销售．于是商店老板联系了批发商，他们之间的对话如下：你好！请问你那里的安全头盔批发价是多少？我有三种型号的安全头盔，批发价分别是A型100元/个；B型120元/个；C型150元/个．如果你买的多的话还有下面的优惠方案：①一次性累计购买50个及以上九五折优惠②一次性累计购买100个及以上九折优惠(1)若该商店计划一次性购进A型安全头盔30个和B型安全头盔20个，共需多少钱？(2)若该商店计划用9900元一次性购进两种不同型号的安全头盔100个，请你研究一下该商店的进货方案有哪几种？43．（2025·湖南·模拟预测）试题情境：编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲．(1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？(2)为筹备下一次编钟演奏活动，工作人员要采购A．B两种不同材质的编钟配件，A配件每个30元，B配件每个50元，一共准备花费500元，在保证钱都花完且两种配件都要买的情况下，有几种采购方案？44．（2025·黑龙江·中考真题）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元．(1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？(2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？(3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？45．（2025·四川遂宁·中考真题）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A、B两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料：材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元．材料二：据统计该社区需购买A、B两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15300元，且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的23请根据以上材料，完成下列任务：任务一：求A、B两种型号的新型垃圾桶的单价？任务二：有哪几种购买方案？任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？46．（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍．(1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？(2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方案？考点十一：其它问题47．（2025·湖北·中考真题）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空．主题探究月历与幻方的奥秘活动一图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数．（1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则a是______，b是______；（2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则c是______，d是______；（注：用含n的代数式表示c和d．）活动二移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等．（3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e是______，f是______；（4）若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是______（用含n的代数式表示g）．48．（2025·贵州·中考真题）贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间．为满足市场需求，某抹茶车间准备安装A、B两种型号生产线.已知，同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共200t，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共280(1)求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨？(2)为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的A、B两种生产线共5条，该车间接到一个订单，要求4个月生产抹茶不少于2000t，至少需要安装多少条A49．（2025·四川德阳·模拟预测）学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有81人获得了安全意识．(1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？(2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？50．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；(2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．1．（2025·四川绵阳·中考真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一个问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，问快马几天可追上慢马？据此可知快马追上慢马的天数是（

）A．5天 B．10天 C．15天 D．20天2．（2025·四川绵阳·中考真题）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的1.5倍．若两种机器人分别装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用20分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（

）A．0.1吨 B．0.15吨 C．6吨 D．9吨3．（2025·山东德州·中考真题）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程1500x−1000A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个4．（2025·四川·中考真题）《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组（

）A．2x+5y=105x+2y=8 B．C．2x+5y=105x−2y=8 D．5．（2025·山东淄博·中考真题）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（见下图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（❶处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（

）A．1斗 B．78斗 C．34斗 D．6．（2025·四川巴中·中考真题）《九章算术》中记载：今有共买砖，人出半盈四；人出少半，不足三．问人数，砖价各几何？其大意是：今有人合伙买砖石，每人出12钱，会多出4钱，每人出13钱，又差3钱．问人数，砖价各是多少？设人数为x，砖价为y，则可列方程组为（A．y=12x−4y=13x+3 B．7．（2025·江苏常州·中考真题）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以v1米/分钟、v2米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以v2米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以54v1米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以v2A．B．C．D．8．（2025·四川资阳·中考真题）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有这样一个题目：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”大意是：今有人持金出五关，第1关收税金为所持金的12，第2关收税金为此时所持金的13，第3关收税金为此时所持金的14，第4关收税金为此时所持金的15，第5关收税金为此时所持金的A．65斤 B．75斤 C．85斤 9．（2025·江苏盐城·中考真题）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是分．10．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则xy=11．（2025·江苏南京·中考真题）某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满5杯按8折销售．小丽买了A，B饮料各1杯，用了20元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了56元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？12．（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为2x+y=113x+2y=7，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y13．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元．(1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元；(2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？14．（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校240km(1)一部分师生乘大巴车先行，出发36min(2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？15．（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买A、B两款机器人．已知A款机器人的单价比B款机器人的单价多1万元，用25万元购买A款机器人的数量与用20万元购买B款机器人的数量相同．(1)求A、B两款机器人的单价分别是多少万元？(2)如果购买A、B两款机器人共12台，且购买A款机器人的数量不少于B款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案．1．（2025·宁夏·中考真题）中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米．(1)编织这种中国结恰用绳25米，则大、小号各编织多少个？(2)计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为8元．当大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？2．（2025·湖北武汉·中考真题）某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动．【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直．【收集数据】某次羽毛球飞行的高度y（单位：m）与距发球点的水平距离x（单位：m）的对应值如下表（不考虑空气阻力）．水平距离x02356…竖直高度y1.12.32.62.62.3…【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、