教学材料《运筹学》-第9章

第9章存贮论学习目标通过本章的学习，了解存贮论的基本概念及问题基本特征，认识确定型存贮模型和随机性存贮模型的各自特点，求解问题的基本思路、主要参数及其意义。掌握典型问题的求解方法，并理解它们的实践意义。上一页下一页返回第9章存贮论关键词汇存贮论(InventoryTheory)存贮策略(InventoryStrategy)经济订购批量(EconomicOrderingQuantity,EOQ)经济生产批量(EconomicManufacturingQuantity,EMQ)报童问题(NewsvendorProblem)上一页下一页返回第9章存贮论案例导引例一某单位每年需要一种备件26000个，这种备件需要自行生产。设该备件的单价为160元/个，年存贮费为单价的25%。每次生产的准备费用为2000元，年生产率为18000个/年，年工作时间为365天。

(1)在不允许缺货的条件下，确定间隔多少时间组织一次生产，每次生产多少产品，目标是使得总费用最少，并求最少的费用是多少。

(2)如果允许缺货，且一个备件缺货一年的缺货费为单价的30%。考虑间隔多少时间组织一次生产，每次生产多少产品，使得总费用最少，并求出最少的费用是多少。上一页下一页返回第9章存贮论

例二某企业生产的产品中有一外购件，年需求量为60000件，单价为35元。该外购件可在市场立即采购得到，并设不允许缺货。已知每组织一次采购需720元，每件每年的存贮费为该件单价的20%。以费用最省为目标，试求应多长时间订一次货?每次订货的批量应为多少?总费用是多少?如果允许缺货，但是需付缺货费用为货物单价的35%，试考虑同样的问题。例三商店要保证顾客的需求，需要考虑存贮问题;工厂要保证生产正常进行，也需要考虑原料和零件的存贮问题;医院储备各种药品和血浆等，均涉及存贮问题。案例思考题:(1)分析上面例题的共同特点是什么?提炼出问题特征。

(2)对于这类问题，我们关心哪些事情?如何得到我们关心的信息?若得到有关信息，我们可以进一步做哪些有益的工作?上一页返回下一页9.1存贮论中的基本概念

研究与解决存贮问题的理论与方法叫存贮论(InventoryTheory)。存贮论考虑费用最小，所要解决的问题概括起来主要有两个:存贮多少数量最为经济;间隔多长时间需要补充一次，以及补充多少的问题。对于一个生产企业，存贮的原材料不能太少，也不能太多。存储太少，难以维持生产;存贮太多，又会占用仓储空间，增加保管费用。对于一个销售企业，商品囤积不能过多也不能过少。过多会积压流动资金，带来经营风险，过少，又会因缺货而失去销售机会。所以考察存贮多少数量最为合适是一个非常重要的问题。既然存贮量有一个经济值，那么怎样补充进货才能保证这样的存贮量也顺理成章地成为了一个亟待解决的问题。补充进货是需要耗费一定成本的，考虑到生产能力有限制、订货到货有时滞等因素，寻找合理的补充间隔周期以及补充批量是相当重要的。下一页返回上一页9.1存贮论中的基本概念

寻求合理的存贮量、补充量和补充周期是存贮论研究的重要内容，由它们构成的方案叫存贮策略。在存贮论中，从定量的角度研究最优存贮策略，就是运用相应工具知识，对实际的存贮问题进行抽象分析，将它合理描述为某种典型数学模型，并求出最优量值的过程。不同的存贮问题抽象出的存贮模型是不同的，与其所对应的最优存贮策略也各不相同。但是，不同的存贮模型基本上都是由“需求”“补充”与“费用”三个因素所构成。下面我们对此作一些简单介绍。上一页下一页返回9.1存贮论中的基本概念1)需求存贮的目的是为了满足需求。需求可以是连续均匀的，如经常的稳定的生产过程对原材料的消耗;可以是间断、成批的，如铸造车间每隔一段时间交出一定数量的铸件给机加工车间;可以是非平稳的，如受季节性影响的城市生活用电量;也可以是随机的，如书店每天售出的书籍可能是500本，也可能是800本。通常，若需求量事先可以确定，或按某一确定的规则进行，则称之为确定性需求。若需求量是随机的，则称之为随机性需求。上一页下一页返回9.1存贮论中的基本概念2)补充存贮量消耗到一定程度就应补充。存贮论中的补充，可以分为外部订货和内部生产两种方式。订货有当即订货当即就到货的，也有订货后需要一段时间才能到货的;生产可以是连续均匀的，也可以是其他确定或随机的形式。如果所需货物能一次性得到满足，供应速率可以看做是无穷大，称为瞬时供货，当货物只能按某一速率供应时，称为边供应边需求。能够提供瞬时供货的并不多，供水、供电等可以看做是瞬时供货，而在经济生活中普遍存在的还是有一定滞后性的补充供货。一般地，从开始订货到货物到达为止的时间，称为提前时间(LPa,CIt1t11P;从开始生产到生产完毕的时间，称为生产时间。上一页下一页返回9.1存贮论中的基本概念3)费用与存储有关的费用主要有存贮费、订货费/生产费以及缺货费。下面我们逐一介绍。存贮费:这是与存储物直接相关的费用，包括仓库使用费(如仓库租金或仓库设施的运行费、维修费、管理人员工资等)、保险费、存贮货物损坏、变质等造成的损失费以及货物占用流动资金的利息等支出。这类费用与库存物数量的多少及库存时间的长短成正比，所以库存量越少越好。存贮费有一种常用的算法是单位物资在单位时间内的存贮费占该项物资单位成本的百分比。例如，一件物资成本为100元，月存贮费占1%，则月存贮费为1元。上一页下一页返回9.1存贮论中的基本概念

订货费/生产费:采用订购的方式补充进货会产生订货费，而采用自行生产的方式则要付出一定的生产费，每订购一批货物必须支付的有关费用。订货费等于订购费与货物费之和。订购费(SetupCost)是采购人员的差旅费、手续费、最低起运费等费用之和，与订货量无关，只与订货次数有关。货物费与订货数量有关，一般情况下它等于货物数量与货物单价的乘积。生产费是装配费与货物费之和。装配费是生产前进行组织准备，生产后进行清洗保养等费用的总和，只与生产次数有关。上一页下一页返回9.1存贮论中的基本概念

缺货费:也叫中断费用。是指因存贮不能满足需求而造成的损失费用。这些损失包括失去销售机会的销售损失、停工待料造成的生产损失、延期付货所支付的罚金损失，以及商誉降低所造成的无形损失等。在一些存贮问题中是不允许缺货的，这时的缺货费可视为无穷大。不过，缺货或供货中断，有时则是一种经营策略，如在商品销售中，有时允许一些商品短期少量缺货。这往往是一种经营策略，因为这样做可将节约的一部分资金用于热门货的订购和销售，加速资金周转，提高经济效益。缺货费的估计比较困难，即它一般难以用精确的数量来表示，这项费用的估计往往具有近似和任意的性质，但这并不意味着这项费用可以被忽视。上一页下一页返回9.1存贮论中的基本概念

如上所述，存贮问题是由“需求”“补充”与“费用”三项构成的，不同的“需求”“补充”与“费用”自然会构成不同的存贮问题。比如，根据需求的不同，有确定型存贮问题与随机型存贮问题;根据补充方式的不同，有批量订货问题与批量生产问题;根据费用构成的不同，又可分为允许缺货的存贮问题与不允许缺货的存贮问题。本章以下各节将按照这一思路，分别介绍一些常用的存贮问题，并从中得出相应的存贮策略。存贮问题可以分为两类，一类是确定型存贮问题，另一类是随机型存贮问题。在9.2节将讨论的存贮问题中，需求与补充的相关各量都是确定的，所以属于确定型存贮问题，这些是经典的存贮问题，也是存贮问题研究的起点和基础。上一页下一页返回9.1存贮论中的基本概念

存贮问题可以分为两类，一类是确定型存贮问题，另一类是随机型存贮问题。在9.2节将讨论的存贮问题中，需求与补充的相关各量都是确定的，所以属于确定型存贮问题，这些是经典的存贮问题，也是存贮问题研究的起点和基础。在实践中，人们遇到的需求量往往并不确定，常常可以表示为一个随机变量，在9.3节将讨论需求量为随机变量的随机性存贮问题。在这些存贮问题中，9.2节所研究的模型已经不能适用了。例如，商店对某种商品进货500件，这500件商品可能在一个月内售完，也有可能在两个月之后还有剩余。商店如果想既不因缺货而失去销售机会，又不因滞销而过多积压资金，就必须采用新的存贮策略。思考题请试举一些日常生活中存贮问题的实例，并分析其需求、补充与费用构成情况。上一页返回下一页9.2确定型存贮模型9.2.1不允许缺货的批量订购问题

9.2.1.1问题特征由9.1节的分析可知，不同的“需求”“补充”与“费用”构成不同的存贮问题，而不同的存贮问题，它的存贮策略也各不相同。本节中我们重点要介绍的是不允许缺货的批量订购问题，该问题的基本假设如下。

(1)需求是连续均匀的，需求速度(单位时间的需求量)几为已知常数。

(2)以一定周期循环订货，每次订货量不变。

(3)存贮量为零时，可立即得到补充。

(4)不允许缺货。

(5)这里仅需考虑两种费用:订货费和存贮费。每次订购费不变，单位时间内的存贮费不变。下一页返回上一页9.2确定型存贮模型

这个问题可简单表示为图9-1的形式。图中横坐标表示时间，纵坐标表示存贮量。由于“需求是连续均匀的，需求速度几为常数”，因此我们可以用斜率为一几的斜线来表示存贮量与时间的线性函数关系。又由于模型假设“存贮量为零时，可立即得到补充，且不允许缺货”，因此存贮量对时间的线性函数关系线到达零时，会立即上升一个高度，达到最大存贮量。同时，因为“每次订购量不变”，这个循环订货后上升的高度每次都是一样的。

9.2.1.2分析求解记订货量为Q，订货区间为t(周期性订货的时间间隔期，也称为订货周期)，则有Q=λt，由图9-1可知，t时间平均存贮量为上一页下一页返回9.2确定型存贮模型若单位时间内单位货物存贮费用为h，则t时间平均存贮费用为若每次订购费为A，货物单价为k，则t时间平均订货费为所以，t时间总平均费用为上一页下一页返回9.2确定型存贮模型对式(9-1)利用微积分求导，即可得到C(t)的最小值。得即每隔t*，时间订货一次可使C(t)最小。将式(9-2)代入式(9-1)，从而得上一页下一页返回9.2确定型存贮模型

这是存贮论中一个比较著名的结论，叫做经济订购批量(EconomicOrderingQuantity})公式，或简称EOQ公式。分析该式我们会发现，经济订购批量、最佳订货周期与价格k无关，只与需求速度、订购费和存贮费有关。这一结论与我们的直观判断是比较吻合的。需求速度如果增大，订货量就要相应增加;订购费增加时，企业会相应地减少订货次数，从而增加每次的订货量;存贮费增加时，企业为尽量减少库存量，换之以多增加订货次数，减少每次的订货量。另外，由于Q*与价格无关，所以式(9-1)中可省略kλ,改写为式(9-4)的形式。这在以后各节中也同样适用，如无特殊需要可不再考虑货物费用。上一页下一页返回9.2确定型存贮模型将(9-2)代入(9-4)得到例9.1某产品年需求量为D，需求连续均匀，采用订购方式进行补充，且不允许缺货。若每次订购费为A，年单位存贮费为h，问全年应分几次订货?

解设全年分n次订货(全年分n个周期)，每批订货量Q=D/n，则每周期平均存贮量为Q/2，每周期存贮费用为 ,全年存贮费为,全年订购费为n，则全年总费用为:上一页下一页返回9.2确定型存贮模型对上式求导，得则所以，全年应分 次订货。上一页下一页返回9.2确定型存贮模型例9.2当实际订货量Q与最优经济批量Q*不符时，存贮费和订购费之和会怎样变化?解因为Q=λt，所以可将式(9-4)表示为订货量Q的函数同样，(9-5)可表示为令 则二是实际订货量为Q与最优经济批量为Q*时两者的费用之比，且有上一页下一页返回9.2确定型存贮模型显然，由于Q与Q*始终不为负，所以ε不会小于1。若取即如果以最优经济批量的1.5倍进货的话，会多花费8.3%的成本。若取即如果以最优经济批量一半进货的话，会多花费25%的成本。例9.3某汽车制造厂每月需某种零部件100件，不允许缺货。已知该厂向其上游供货商订购这种零部件，每次订购的开支为400元。若这种零部件在厂内仓库存放时，每月单位产品需付出的存贮费为2元，求汽车制造厂的最优订货批量及订货周期。上一页下一页返回9.2确定型存贮模型

解由分析可知，这是一个不允许缺货的批量订货问题。其中，λ=100件/月，A=400元/次，h=2元/件/月，直接代入式(9-2}和式(9-3)可得即该厂每隔两个月订购一次，每次订购200件最为合算。上一页下一页返回9.2确定型存贮模型9.2.2不允许缺货的批量生产问题

9.2.2.1问题特征对上节问题的假设“存贮量为零时，可立即得到补充”作一些改变，不是采取订购的方式，而是以一定生产速度均匀补充，这样得到的存贮问题就是不允许缺货的批量生产问题。相应的“每次订购量不变”要变为“每次生产批量不变”，“订购费不变”要变为“装配费不变”。这种问题的特征是:货物的补充供应不是成批进行的，而是以一定速率均匀连续完成，边供应边消耗。生产过程中的在制品存贮问题可看做这种不允许缺货的批量生产问题，其假设是:上一页下一页返回9.2确定型存贮模型(1)需求是连续均匀的，需求速度几为已知常数。(2)以一定周期循环生产，每次生产批量不变。(3)存贮量为零时，可立即得到补充，补充均匀，速度为P。(4)不允许缺货。(5)仅需考虑两种费用:生产费、存贮费已知，每次装配费不变，单位时间内的存贮费不变。根据假设，此模型的存贮量对时间的函数关系可分为两段，如图9-2所示。第一段:存贮量为零时，立即开始生产进行补充，补充均匀且速度为P。在此段，存贮量对时间是线性函数关系，但是由于边生产边消耗，所以斜率为P-λ(P>λ)

。第二段:存贮达到最高数量后停止生产，存贮量对时间也是线性函数关系，斜率为-λ

。又由于“以一定周期循环生产，每次生产批量不变”，因此每一周期这两段函数重复出现。上一页下一页返回9.2确定型存贮模型9.2.2.2分析求解设生产批量为Q，所需生产时间为T，则生产速度为P=Q/T。在[0,T]区间内，边生产边满足需求，存贮量以P-λ速度增长，直至最高存贮量H停止;在[T,t]区间内，生产已结束，存贮量以需求速度λ减少。由图(9-2)易知, ,即 ，时间内的平均存贮量为若单位存贮费用仍为h，则t时间内存贮费为上一页下一页返回9.2确定型存贮模型又t时间内所需装配费为A，所以t时间平均总费用(C(t)为设 ，利用微积分方法可求得需求是连续均匀的，所以生产批量与补充周期之间的关系仍为Q=λt，于是相应的生产批量为上一页下一页返回9.2确定型存贮模型同样可求出最佳生产时间为式(9-8)是存贮论中另一个比较著名的结论，叫做经济生产批量(EconomicManufactoringQuantity)公式，简称为EMQ公式。分析该式我们同样会发现，经济生产批量和需求速度、生产速度、装配费及存贮费有关，与价格k无关。需求速度增加时，生产量要相应增加;装配费增加时，要减少生产次数，增加每次的生产量;存贮费增加时，为尽量减少库存量，应多增加生产次数。另外，由于生产速度大于需求速度，最佳生产时间T*总比最佳生产周期t*要短一些。上一页下一页返回9.2确定型存贮模型

若令P-λ→P。则式(9-7)，式(9-8)，式(9-9)与式(9-2)，式(9-3)，式(9-5)分别合为同一公式，即在进货时间内若没有货物出库，则不允许缺货的批量生产模型就变成了不允许缺货的批量订购模型。例9.4某厂生产一种产品，生产率为P=200个/月，且装配费为A=50元。若产品需求均匀连续，且需求率为几=100个/月，月单位库存存贮费用h=2元，求该厂的最优生产量，最优生产周期以及总费用。解由已知条件可知，该问题适用经济生产批量公式。最优生产量为:最优生产周期为:上一页下一页返回9.2确定型存贮模型即每月仅需生产一次。总费用为:上一页下一页返回9.2确定型存贮模型9.2.3允许缺货的批量订购问题

9.2.3.1问题特征以上两节讨论的是不允许缺货的确定型库存问题，在实际生活中，暂时缺货现象是存在的。这种存贮策略有得有失，需要进行详细分析。一方面，因为缺货而耽误需求会造成缺货损失，需付出一定的缺货费用;另一方面，允许缺货延长了单个周期时间，可以减少订货(生产)的次数，从而节约一定的订购(装配)费用。在9.2节问题的假设中，我们将不允许缺货改为允许缺货，并将缺货损失定量化，就得到允许缺货的批量订购问题的假设条件。缺货损失不是很大，而存贮费及订购费用很大时，允许缺货对企业是有利的。该问题的具体假设条件如下。上一页下一页返回9.2确定型存贮模型(1)需求是连续均匀的，需求速度几为已知常数。

(2)以一定周期循环订货，每次订货批量不变;存贮量为最大缺货量时，可立即得到补充。

(3)允许缺货。

(4)需考虑三种费用:生产费、存贮费与缺货费。每次订购费不变，单位时间内的存贮费不变，单位缺货费用也不变。该问题存贮量与时间的函数关系如图9-3所示。它与不允许缺货的批量订购存贮问题的示意图类似，但由于“允许缺货”，所以要在存贮量纵轴上向下平移一个最大缺货量。上一页下一页返回9.2确定型存贮模型9.2.3.2分析求解记单位存贮费用为h，每次订购费为A，单位货物缺货费为b，最高存贮量为H，可以满足t1时间的需求，最大缺货量为B(B>0)，则有t1时间的平均存贮量为在(t-t1)时间的存贮为零，平均缺货量为上一页下一页返回9.2确定型存贮模型由于H仅能满足t1时间的需求，所以则t时间内所需存贮费为t时间内的缺货费若订购费仍为A，则t时间内的平均总费用为上一页下一页返回9.2确定型存贮模型式中有两个变量，可利用多元函数求极值的方法求(C(t,H)的最小值令可求出最优订货周期为最高存贮量为上一页下一页返回9.2确定型存贮模型代入式(9-11)得又由于Q=λt，所以经济订货批量与需求速度、订购费和存贮费相关外，还与缺货费有关。比较式(9-3)与式(9-15)，我们发现上一页下一页返回9.2确定型存贮模型也就是说，允许缺货的订购批量要大于不允许缺货的经济订购批量。

如果b→∞，即已知缺货费用无穷大时，可得 ,此时

允许缺货问题与经济批量订购问题结论相同，都为 。例9.5某商店订购一批货物，每次订购费为A=40元，由缺货造成的损失为h=0.5元/个。若货物需求均匀连续，且需求率为λ=100个/月，月单位库存存贮费用h=1元，求该厂的最优订货量，最优订货周期以及总费用。解由已知条件可知，该问题是允许缺货的批量订货问题，则可直接求出其最优订货量为上一页下一页返回9.2确定型存贮模型最优订货周期为即每隔1.5个月订货一次，每次订购155个。而总费用为:上一页下一页返回9.2确定型存贮模型9.2.4允许缺货的批量生产问题

9.2.4.1问题特征在第三节的模型中，变假设“不允许缺货”为“允许缺货”，相应的多考虑缺货费用后，则得到允许缺货的批量生产存贮问题。当缺货费用远远小于存贮费和装配费，且存贮补充采用生产的方式时，用此模型近似是成功的。具体假设是:(1)需求是连续均匀的，需求速度几为已知常数。

(2)以一定周期循环生产，每次生产批量不变。

(3)存贮量为最大缺货量时，可立即得到补充，补充均匀、速度为P。

(4)允许缺货。

(5)需考虑三种费用:生产费、存贮费与缺货费。每次订购费不变，单位时间内的存贮费不变，单位缺货费用也不变。上一页下一页返回9.2确定型存贮模型

它的存贮量与时间的变化图与不允许缺货的批量生产存贮问题类似，但要在存贮量纵轴上向下平移一个最大缺货量。

9.2.4.2分析求解参考图9-4可知，[O,t]为一个周期，O时刻存贮量为0，保持缺货状态到t1。t1时刻面临最大缺货量B，于是开始生产。在[t1,t3]

时间内边生产边满足需求，其中，[t1,t2]时间内存贮量为零，[t2,t3]时间内满足需求后的产品进入存贮，存贮量以P-λ速度增加。t3时刻达到最大存贮量H后，停止生产。[t3,t]

时间内存贮量以需求速度λ减少，直至t时刻存贮量再次降为0，则最大缺货量为B=λt或B=(P-λ)(t2-t1)。所以t1与t2的关系为上一页下一页返回9.2确定型存贮模型最大存贮量为H=(P-λ)(t3-t2),或者H=λ(t-t3)，则t3与t2,t的关系为[O,t]时间内存贮量为若[O,t]时间内单位存贮费仍为h，则存贮费为上一页下一页返回9.2确定型存贮模型[O,t]时间内平均缺货量若[O,t]时间单位缺货费为h，则[O,t]时间缺货费为在装配费仍为A的情况下，代入式(9-16)和式(9-17)可知[O,t]时间内总平均费用为取偏导数为上一页下一页返回9.2确定型存贮模型得到关系式且有最优生产周期为同样由于Q=λt，所以最优生产批量为最高存贮量为上一页下一页返回9.2确定型存贮模型最大缺货量为那么，由上可知，允许缺货的生产批量与需求速度、生产速度、装配费、存贮费和缺货费有关。比较式(9-8)与式(9-21)得允许缺货生产批量与EMQ之间的关系为上一页下一页返回9.2确定型存贮模型即允许缺货的生产批量要大于不允许缺货的经济生产批量。同时，如

果b→∞，即已知缺货费用无穷大时，可得 ,此时允许

缺货问题与经济批量订购问题结论相同，都为 。例9.6企业生产某种产品，正常生产条件下每天可生产10件。根据供货合同，需按每天7件供货。存贮费每件每天0.13元，缺货费用每件每天0.5元，每次生产准备费用为80元，求最优存贮策略。上一页下一页返回9.2确定型存贮模型解根据题意知这是一个允许缺货的批量生产问题，于是有即每隔约27天生产批量193件。上一页下一页返回9.2确定型存贮模型9.2.5其他确定性模型9.2.5.1价格有拆扣的存贮问题在前面几节的确定型存贮问题中，我们看到这些问题的存贮策略都与货物价格无关。实际生活中，存贮策略与货物价格完全无关吗?答案是否定的。例如，我们去超级市场采购食品，如果商场促销，买得越多价格越便宜的话，我们也许会多买一些存贮起来。下面我们就来研究货物单价随订购数量而变化的存贮问题。我们假设其余条件皆与不允许缺货经济订购批量问题的相同。记货物单价为k(Q)，设k(Q)按三个数量等级变化(见图9-5)上一页下一页返回9.2确定型存贮模型当订购量为Q时，一个周期内所需费用为则平均每单位货物所需费用为上一页下一页返回9.2确定型存贮模型如果不考虑C1(Q),C2(Q)和C3(Q)的定义域，它们之间只差一个常数，因此它们的导函数相同。为求极小，令导数为零，解得Q0,,Q0落在哪一个区间，事先难以预计。假设Q1<Q0<Q2，这也不能肯定C2(Q)最小。设最佳订购批量为Q*，在给出价格有拆扣情况下，求解步骤如下。(1)对C1(Q),(明求得极值点为Q0

。(2)若Q1<Q0，计算:上一页下一页返回9.2确定型存贮模型由min{C1(Q)，C2(Q)，C3(Q)}得到单位货物最小费用的订购批量Q*。例如(3)若 ，计算 。由 决定Q*。(4)若 ，则取Q*=Q0。以上步骤易于推广到单价拆扣分m个等级的情况。例如，订购量为Q，其单价k(Q)：上一页下一页返回9.2确定型存贮模型对应的平均单位货物所需费用为①对C1(Q)求得极值点为Q0，若 ；②求 ，设从此式得到的最小值为 ，则 。例9.7工厂每周需零配件犯箱，存贮费每箱每周1元，每次订购费25元，不允许缺货。零配件供应商提供一定的价格拆扣:若订货量为1~9箱时，每箱12元;订货量为10~49箱时，每箱10元;订货量50~99箱时，每箱9.5元;订货量100箱以上时，每箱9元。求最优存贮策略。上一页下一页返回9.2确定型存贮模型解没有价格拆扣时该厂的最优订货量为分别计算每次订购40,50和100箱所需平均费用于是，min{311.25,10.78,10.81}=10.78=C3，所以最优订购批量为50箱。上一页下一页返回9.2确定型存贮模型9.2.5.2库容有限制的存贮问题例9.8一零售商店需要贮存和销售收音机。假设商店用于担负收音机存货的资金不能超过S元，收音机共有n个型号，j型号收音机的外包装体积为Vj立方米，仓库用于存贮收音机的部分，最大容积为V立方米。收音机为批量订货，每订购一批型号为j的收音机，需花费手续费aj元。每台j型号收音机的单价为cj元，每年对j型号收音机的需要量为dj台。aj，cj和dj通过对以前若干的情况进行统计分析得到确定值。假设j型号收音机单位库存费用为aj。求最优订货量。上一页下一页返回9.2确定型存贮模型解令xj表示一批j型号收音机的订货台数。首先建立目标函数，即订货及存贮的年平均费用。对j型号收音机，订货费用应是每批订购费aj同批数dj/xj的乘积，即ajdj/xj;存贮的年平均费用应是年平均存贮量xj/2同存贮费aj的乘积，即ajdj/2。于是得到目标函数我们再来看约束条件。库存总价值不能超过上限，即仓库容量的限制为上一页下一页返回9.2确定型存贮模型且每批订货量不可能为负，故有:那么，我们得到下面的非线性规划模型:上一页下一页返回9.2确定型存贮模型思考题(1)请试举一个不允许缺货批量订货问题的实例。(2)低于最优经济批量的订货是否比以同样批量高于最优经济批量的订货更耗费成本?请作适当解释。(3)请试举一个不允许缺货批量生产问题的实例。(4)当取P}。时，EMQ与EOQ结论有何关系?请作适当解释。(5)请试举一个允许缺货批量订购问题的实例。(6)该问题中的最高存贮量H与EOP中的()之间有何关系。请作适当解释。(7)请试举一个允许缺货批量生产问题的例子。(8)试分析本节模型与EOP模型的关系，并给出适当解释。(9)简要说明价格折扣问题的求解思路。上一页返回下一页9.3随机型存贮模型

从F.Harris在1915年首先对商业存贮问题建立了简单模型并求解开始，研究人员对存贮问题就开展了深入研究。以上介绍的是一些存贮问题的基本模型，在这些模型的基础上，适当放松或加强某些条件，就可形成另外一些存贮问题。就确定型存贮问题来讲，还有需求量不同的多时期存贮问题(Wagner-WhitinModel)，库容有限制的存贮问题(CapacitatedLotSizingProblem,CLSP)以及多产品的批量生产模型(EconomicLotSizingProblem,ELSP等。而随机型存贮问题，除了单周期报童问题外，还有多周期随机存贮问题(Multi-PeriodStochasticDemandProblem)，以及多级存贮问题(Multi-EchelonInventoryProblem)等。下面我们简单介绍一些常用的随机存贮问题。下一页返回上一页9.3随机型存贮模型

面对需求量为随机变量的存贮问题，可供选择的策略主要有以下三种。

(1)定期订货，但订货数量需要根据上一个周期末剩下货物的数量决定订货量。剩下的数量少，可以多订货。剩下的数量多，可以少订或不订货。这种策略可称为定期订货法。

(2)定点订货，存贮降到某一确定的数量时即订货，不再考虑间隔的时间。这一数量值称为订货点，每次订货的数量不变，这种策略可称之为定点订货法。

(3)把定期订货与定点订货综合起来的方法，隔一定时间检查一次存贮，如果存贮数量高于一个数值、，则不订货。小于、时则订货补充存贮，订货量要使存贮量达到S，这种策略可以简称为(s,S)型存贮策略。随机型存贮问题可分为单周期随机存贮问题和多周期随机存贮问题。上一页下一页返回9.3随机型存贮模型9.3.1需求为随机的单一周期进货问题典型的单一周期模型是“报童问题”(NewsvendorProblem)。报童问题由报童卖报的例子演变而来，在存贮论以及供应链的研究中应用广泛。此问题的特点是，需求量是随机变量，一次订购后如果本期产品没有售完，期末要进行降价处理，如果本期产品有缺货，则因失去销售机会而带来损失。无论是供大于求(Overstock)还是供不应求(Understock)都会造成损失，并伴有一定费用。研究的目的是确定该时期订货量使预期的总损失最少或总赢利最大。为了进一步介绍单周期随机存贮问题的解法，我们先来了解一下涉及的变量。上一页下一页返回9.3随机型存贮模型x:一个时期的需求量，是一个非负的随机变量，期望需求量是E(x)。Q:一个时期的订货批量。C:单位产品的获得成本(UnitAcquisitionCost),即产品购入价格。单位产品的售出价格(UnitSellingPrice)。单位产品的残值(UnitSalvageValue)，即未售出剩余产品的处理价格。B:单位产品的缺货成本(UnitShortageCost)。H：供过于求时单位产品一个时期内的持有成本，供不应求时等于零。C0:供过于求时单位产品总成本(UnitOverstockCost)，即C=C-S+H。Cu:供不应求时单位产品总成本(UnitUnderstockCost)，即口=P-C+B。上一页下一页返回9.3随机型存贮模型9.3.1.1需求为离散型变量的随机存贮问题如果一个时期内，需求量x是一个离散型随机变量，其取值为

xi(i=0，…，n)，相应的概率p(xi)已知，有 最优存贮策略是使在该时期内的总期望费用最小或总期望收益最大。不失一般性，本文主要讨论期望费用最小的问题(成本型问题)，对于期望收益最大的问题容易得到相应结论。当订货批量Q≥xi时供大于求发生存贮，总费用(成本)期望值为当订货批量Q<xi时供不应求发生缺货，总费用(成本)期望值为上一页下一页返回9.3随机型存贮模型综合式(9-25)、式(9-26)两种情况，则总费用(成本)的期望值为x是离散变量，所以不能用求导数的方法求极值，为方便起见，不妨假设二的取值为非负整数，由此式(9-27)取最小值Q的必要条件可设为由式(9-28)推导得上一页下一页返回9.3随机型存贮模型经化简后得即最佳订货数量应按下列不等式确定上一页下一页返回9.3随机型存贮模型例9.9报童每日售报数量是一个离散型随机变量。报童每售出一份报纸赚k元，如报纸未能售出，每份赔h元。每日售出报纸份数r的概率

P(r)根据以往的经验是已知的，且有 ，问报童每日最好准备多少份报纸?解设报童订购报纸数量为Q，则有(1)供过于求时(r≤Q)，这时报纸因不能售出而承担的损失，其期望值为(2)供不应求时(r<Q)，这时因缺货而少赚钱的损失，其期望值为上一页下一页返回9.3随机型存贮模型综合(1),(2)两种情况，当订货量为Q时，损失的期望值为根据求得报童应准备的报纸最佳数量应按下列不等式确定上一页下一页返回9.3随机型存贮模型9.3.1.2需求为连续型变量的随机存贮问题一个时期内的需求量x也可能是一个连续型随机变量，此时假设f(x)为需求量x的概率密度函数，F(x)为分布函数，则有最优存贮策略仍然是使该时期内的总期望费用最小或总期望收益最大。当订货批量Q≥x时，供大于求，发生存贮，总费用(成本)期望值为当订货批量Q<x时，供不应求，发生缺货，总费用(成本)期望值为上一页下一页返回9.3随机型存贮模型综合式(9-30)、式(9-31)两种情况，则总费用(成本)的期望值为x是连续变量，可以用求导数的方法求极值。根据Leibnitz法则得用于C(Q)对()的求导，得上一页下一页返回9.3随机型存贮模型令 ，则有即最优解Q*是满足式(9-33)的量。例9.10若货物单位成本为K，单位售价为P，单位存贮费为C1，需求x是连续的随机变量，密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，生产或订购的数量为Q，问:如何确定Q的数值，使费用期望值最小?

解根据上面的分析我们可以直接得出:供大于求时的总费用(成本)期望值为上一页下一页返回9.3随机型存贮模型供不应求时的总费用(成本)期望值为则总费用(成本)的期望值为则有最优订货量值应满足上一页下一页返回9.3随机型存贮模型

例9.11某商店计划订购一批夏季时装，进价是500元，预计售价为1000元。夏季未售完的要在季末进行削价处理，处理价为200元。根据以往的经验，该时装的销量服从[50,100]上的均匀分布，求最佳订货量。解根据题意可得:C0=500一200=300,Cu=1000一500=500，则最优订货批量Q*应满足又因为服装的销量服从[50,100]上的均匀分布，所以有得到Q=81.25，即订购81件最为合算。上一页下一页返回9.3随机型存贮模型9.3.2(s，S)型存贮策略问题我们在本节开头中提到过(s，S)型存贮策略。它是一种把定期订货与定点订货综合起来的方法。隔一定时间检查一次存贮，如果存贮数量高于一个数值s，则不订货;小于s时则订货补充存贮，订货量要使存贮量达到S。在报童问题的基础上，如果采用(s，S)型存贮策略会得出怎样的结果，我们通过例题来说明。例9.12设货物单位成本为C，单位存贮费为H，单位缺货费为B，每次订购费为A,期初存贮为I。需求x是连续的随机变量，密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，采用策略订购，问如何确定每次订货量口的数值，才能使费用期望值最小?设最大存贮量为S,S=I+Q，则本阶段各项费用构成为上一页下一页返回9.3随机型存贮模型汀货费:A+CQ;存贮费用期望值为: ;缺货费用期望值为:所以该阶段所需订货费及存贮费、缺货费期望值之和为Q可以连续取值，可通过求导得上一页下一页返回9.3随机型存贮模型令上式为0，有记 ，称N为临界值。根据式(9-35)可确定S的值，进而得出最优订货量值Q=S-I。该问题中有订购费A一项，如果本阶段不订货就可以节省订购费，因此我们设想是否存在一个数值s(s≤S)使下面的不等式成立。当s=S时，不等式显然成立。上一页下一页返回9.3随机型存贮模型

当s≤S时，不等式右端存贮费用期望值大于左端存贮费用期望值，右端缺货费用期望值小于左端缺货费用期望值;一增一减后仍然使不等式成立的可能性是存在的。如有不止一个的s值使式(9-36)成立，则选其中最小者作为本问题的存贮策略。相应的存贮策略是:每阶段初期检查存贮，当库存小于s时，需订货，订货的数量为Q;当库存大于等于s时，本阶段不订货。这种存贮策略是:定期订货但订货量不确定，订货数量的多少视期末库存决定。对于不易清点数量的存贮，人们常把存贮分两堆存放，一堆的数量为s，其余的另放一堆。平时从另放的一堆中去提取，如果该堆被清空，便触发订货，新的订货到达之前从数量为、的一堆中提取，这种方法俗称两堆法。上一页下一页返回9.3随机型存贮模型例9.13当需求x为离散型随机变量，取值 ,且概率为 ,

时，上述问题的最优结论又如何呢?解本阶段所需各项费用的构成情况如下:订货费:A+CQ;存贮费期望值:缺货费期望值:上一页下一页返回9.3随机型存贮模型所以，本阶段所需订货费及存贮费、缺货费期望之和为其中I+Q表示存贮所达到的水平，记S=I+Q，上式可写为由于需求是离散变量，不能通过求导的办法寻找最优值，所有我们采用如下方法求出S值，使E(C(S))最小。(1)将需求x的随机值按大小顺序排列为:上一页下一页返回9.3随机型存贮模型(2)S只从x0,x1，…，xm中取值。当S取值为xi时，记为si，有(3)求S的值使E(C(S))最小。因为为选出使E(C(Si))最小的S值，Si应满足下列不等式:上一页下一页返回9.3随机型存贮模型定义 ,则由式(9-38)的第一个不等式，得到因为 ，即所以得到即 同理，由式(9-38)的第二个不等式可得上一页下一页返回9.3随机型存贮模型综合以上两式，得到为确定Si的不等式取满足式(9-41)的Si为S，即可得本阶段订货量Q。同理，考察不等式:使式(9-42)成立的 ,的值中最小者为s。上一页下一页返回9.3随机型存贮模型例9.14某厂对原料需求量的概率为:已知每次的订购费为2825元，货物价格为850元，存贮费为45元，缺货费为1250元，求该厂(s，S)存贮策略。解计算临界值N=(1250-850)/(1250+45)=0.309,由于可知S=100。再利用式(9-42)计算:S=100，式(9-42)右端为94255。s=80，式(9-42)左端为94250。因为94250<94255，所以s=80。即该厂存贮策略每当存贮小于等于80时补充存贮使存贮量达到100,当存贮大于80时不需补充。上一页下一页返回9.3随机型存贮模型9.3.3需求为随机变量的订货批量，再订货点模型在实践中，人们常遇到一种需求为随机变量的订货问题，这时要保证任何时候都不缺货，理论上是不可能的。一种思路是，考虑承担一定的缺货风险前提下的存贮，就是考虑缺货的概率限制在一定范围的存贮量。结合订货与到货时间，需要确定合理的订货量和订货时间。我们可以使用下列的近似方法求订货量Q、再订货点。

(1)根据平均需求(需求量的数学期望)，利用9.2节经济模型的处理方法求使全年的订