2026中考数学高频考点一轮复习：图形的对称（含解析）

中考数学一轮复习图形的对称一．选择题（共10小题）1．（2025春•凤阳县）如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝3，AB＝9，点E，F分别在边AB，CD上．将矩形纸片沿直线EF折叠，使点B落在边CD上，记为点M，点C落在点N处，连接MB交EF于点P，连接BF．下列结论：①四边形MFBE是菱形；②点M与点D重合时，EF=10；③△MPF面积的最小值是94；④BP＝A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④2．（2025春•南宁）如图a，四边形ABCD是长方形纸带，∠DEF＝23°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（）A．97° B．105° C．110° D．111°3．（2025春•郑州）三星堆文化是古蜀文明的实证，揭示了中华文明多元一体的格局，并展现了独特的艺术成就与文化交流，在下面三星堆出土文物图片中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．4．（2025春•郑州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，BC边上的高AD＝7，E是AD边上的一个动点，F是边AB的中点，则EB+EF的最小值是（）A．3.5 B．5 C．7 D．105．（2025•正阳县三模）下面是一张正方形彩纸，现要交叉裁剪两刀，使其分成面积相等的四部分，则裁剪方案有（）A．1种 B．2种 C．4种 D．无数种6．（2025•惠山区三模）如图，抛物线y＝2（x﹣2）2﹣2与x轴交于点A，B，顶点为M，点P为对称轴上一动点，PA+5A．455 B．255 C．57．（2025•金东区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P、Q分别是边AB和AC上的动点，且始终保持AQ＝BP，连结CP，BQ，则BQ+CP的最小值是（）A．11 B．97 C．311 D．8．（2025春•番禺区）如图，菱形ABCD周长为16，∠DAC＝30°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是（）A．25 B．3 C．23 D9．（2025•金平区一模）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，BC=13，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AEA．73 B．94 C．136 10．（2025•临川区二模）如图，点A，B，C都在正方形网格的格点上，图中5个点D均在格点上，则能与点A，B，C组成轴对称图形的点D的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2二．填空题（共5小题）11．（2025•永寿县模拟）如图，已知矩形ABCD，AB＝2，AD＝4，E，F分别是AD，BC边上的动点，且CF＝2AE，将四边形ABFE沿EF翻折到四边形GHFE，则CH的最小值为．12．（2025•南岗区三模）如图，正方形ABCD的边长为8，点M是边CD上一点，且DM＝2，点E、H分别在AD、BC上，AE＝3，点P是EH上一动点，tan∠DEH＝2，则DP+MP的最小值为．13．（2025•孝感模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝9．点D在AB上，且AD＝2BD，点E在AC上，将△ABC沿直线DE折叠，点A落在点F处，若EF∥BC，则：（1）∠DEC＝；（2）EF的长为．14．（2025春•崇明区）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P是边AB上一动点，联结CP，将△BCP沿着CP翻折后得到△ECP，若EP、EC与边AD分别交于点F、G，且AF＝EF，则AP的长为．15．（2025春•泰州）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝5，AC＝12，BC＝13，EF垂直平分AB，点P是EF上一动点，过P作PH⊥BC，垂足为点H，连接BP，则BP+PH的最小值为．三．解答题（共5小题）16．（2025春•连江县）阅读下列材料：材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为2×12，其边长2就是原边长为1小正方形的对角线长．把两个边长为2的小正方形用同样方法剪拼，所得到的大正方形面积为2×22，其边长为22就是原边长为2小正方形的对角线长，…，以此类推，若把两个边长为a的小正方形用同样方法剪拼，所得到的大正方形面积为2a2，其边长就是原边长为a的小正方形的对角线长；材料二：按照国际标准，A系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸…，如图2．将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长：宽＝．请根据材料回答下列问题：（1）补全材料一、材料二探究过程中①②所缺内容；（2）按照图2的A系列纸生成过程，请求出A0纸的长与宽的比；（3）估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，2≈1.414，0.7072≈0.84117．（2025春•开鲁县）在平面直角坐标系xOy中，已知矩形AOCB．（1）如图1，若点C（0，5），A（13，0），点D在AB边上，将△CBD沿CD翻折，点B恰好落在OA边上的点E处．①点E的坐标为：；②线段DE的长为：；（2）如图2，若点C（0，3），∠AOB＝30°，点F是BC边上的动点，过点F作OB的垂线交直线OB于点H，交直线OA于点G，求OF+FG+GB的最小值．18．（2025春•临沭县）如图，连接A，B两城市的是一条东西走向的公路AB，C，D为两座工厂，且工厂C位于工厂D的北边，B市和工厂C之间有一大型水库．从工厂C修建了两条公路通往A市和工厂D，已知AC＝15km，CD＝12km，AD＝9km．（1）试通过计算说明CD长是工厂C到公路AB的最短距离；（2）若AB＝BC，求工厂C到B市的距离．19．（2025春•鼓楼区）如图，网格图中，△ABC在∠MON外，∠MON＝45°．（说明：必须用2B铅笔作图）（1）在网格图中，画出△ABC关于ON的轴对称图形△A1B1C1，再画出△A1B1C1关于OM的轴对称图形△A2B2C2；（2）在（1）的条件下，若△A2B2C2可以看作是由△ABC一次性运动变换得来的，试说明该如何进行运动变换？（3）在射线ON上找一点F，使∠BAF＝∠B1．20．（2025春•洛宁县）如图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的顶点叫格点，图①、图②、图③的△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．以下所画图形的顶点均在格点上，且用实线涂描．（1）在图①中画出△ABC的边AC上的中线BD．（2）在图②中，画出一个与△ABC关于直线BC成轴对称的格点三角形．（3）在图③中，请在格点上找一点E，作△ABE，使得△ABE中一个角等于∠1．

中考数学一轮复习图形的对称参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2025春•凤阳县）如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝3，AB＝9，点E，F分别在边AB，CD上．将矩形纸片沿直线EF折叠，使点B落在边CD上，记为点M，点C落在点N处，连接MB交EF于点P，连接BF．下列结论：①四边形MFBE是菱形；②点M与点D重合时，EF=10；③△MPF面积的最小值是94；④BP＝A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质．【专题】推理能力．【答案】A【分析】证明△MFP≌△BEP，MF＝BE，可判断①；点M与点D重合时，设AE＝x，则DE＝BE＝9﹣x，在Rt△ADE中，根据勾股定理可得BE＝5，再根据勾股定理以及菱形的性质可得EF的长，可判断②；根据题意可得当EF经过点C时，BE最短，此时四边形CBEM的面积最小，四边形CBEM为正方形，可判断③；无法判断△BCF和△BPF全等，故无法判断BP与BC相等，可判断④．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠BMF＝∠EBM，∠EFM＝∠FEB，有折叠的性质得：ME＝BE，MF＝BE，EF⊥BM，BP＝MP，在△MFP和△BEP中，MF=BE∠FMP=∠EBP∴△MFP≌△BEP（SAS），∴MF＝BE，∴四边形MFBE是菱形，故①正确；点M与点D重合时，设AE＝x，则DE＝BE＝9﹣x，在Rt△ADE中，AD2+AE2＝DE2，∴32+x2＝（9﹣x）2，解得：x＝4，∴BE＝5，∵BD=AD2∴BP=1∴EP=B∴EF=2×102=如图，当EF经过点C时，BE最短，此时四边形CBEM的面积最小，四边形CBEM为正方形，此时S△MPF=1在△BCF和△BPF中，∠C＝∠BPF＝90°，BF＝BF，根据题意找不到其他的条件相等，则无法判断△BCF和△BPF全等，故无法判断BP与BC相等，所以④错误；故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．2．（2025春•南宁）如图a，四边形ABCD是长方形纸带，∠DEF＝23°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（）A．97° B．105° C．110° D．111°【考点】翻折变换（折叠问题）；平行线的性质；多边形内角与外角．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】D【分析】根据平行的性质得到图a中∠EFB＝∠DEF＝23°，再根据翻折的性质得到图b中∠FEG＝23°，故可得∠FGD＝46°，再利用翻折和平行线的性质算出图c的∠CFG＝134°，即可解答．【解答】解：由长方形纸带可得AD∥BC，∴图a中∠EFB＝∠DEF＝23°，根据翻折的性质，可得到图b中∠FEG＝23°，∴∠FGD＝180°﹣∠EGF＝∠GEF+∠GFE＝46°，∵CD∥FC，∴∠GFC＝180°﹣∠FGD＝134°，根据翻折的性质，可得图c中∠CFG＝134°，∴∠EFC＝∠GFC﹣∠EFG＝134°﹣23°＝111°，故选：D．【点评】本题考查了翻折变换，平行线的性质，熟练掌握翻折变换，弄清各个角的关系是解题的关键．3．（2025春•郑州）三星堆文化是古蜀文明的实证，揭示了中华文明多元一体的格局，并展现了独特的艺术成就与文化交流，在下面三星堆出土文物图片中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】轴对称图形．【专题】平移、旋转与对称；应用意识．【答案】C【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：根据轴对称图形的概念逐项分析判断如下：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是轴对称图形的概念．沿一条直线对折，图形的两部分能够完全重合的图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．4．（2025春•郑州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，BC边上的高AD＝7，E是AD边上的一个动点，F是边AB的中点，则EB+EF的最小值是（）A．3.5 B．5 C．7 D．10【考点】轴对称﹣最短路线问题；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．【答案】C【分析】先连接CE，CF，再根据EB＝EC，将FE+EB转化为FE+CE，最后根据两点之间线段最短，求得CF的长，即为FE+EB的最小值．【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，如图，连接CE，CF，∴△ABC是等边三角形，∵AD是BC边上的高，∴AD是BC边上的中线，即AD垂直平分BC，∴EB＝EC，∴BE+EF＝CE+EF≥CF，∴当C、F、E三点共线时，EF+EC值最小，最小值为CF，∵等边△ABC中，F是AB边的中点，∴CF＝AD＝7，∴EF+BE的最小值为7，故选：C．【点评】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握和运用等边三角形的性质是解决本题的关键．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．5．（2025•正阳县三模）下面是一张正方形彩纸，现要交叉裁剪两刀，使其分成面积相等的四部分，则裁剪方案有（）A．1种 B．2种 C．4种 D．无数种【考点】剪纸问题；正方形的性质．【专题】矩形菱形正方形；展开与折叠；几何直观；推理能力．【答案】D【分析】它是中心对称图形，经过正方形的对称中心作互相垂直的两条线段，这两条线段把正方形分成的四部分面积相等．【解答】解：如图，连接AC，BD交于点O，则点O是正方形的对称中心；则沿AC，BD裁剪，分成面积相等的四部分；当EF，GH过点O，且EF⊥GH时，也分成面积相等的四部分；∴只要沿着过正方形中心O裁剪，且裁剪的两刀相互垂直，则可以分成面积相等的四部分，∴裁剪方案有无数种；故选：D．【点评】本题考查了剪纸问题，正方形性质，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质．6．（2025•惠山区三模）如图，抛物线y＝2（x﹣2）2﹣2与x轴交于点A，B，顶点为M，点P为对称轴上一动点，PA+5A．455 B．255 C．5【考点】胡不归问题；二次函数的性质；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点．【专题】二次函数图象及其性质；解直角三角形及其应用；几何直观．【答案】A【分析】先求出A，B，M的坐标，连接BM，作PQ⊥BM，通过三角函数将55PM转化为PQ【解答】解：∵M为顶点，∴M（2，2），令y＝0，则x＝1或3，∴A（1，0），B（3，0），连接BM，作PQ⊥BM于Q，对称轴与x轴交于点C，如图：∴C（2，0），∴BC＝1，CM＝2，AB＝2，∴BM=5∴sin∠CMB=55，sin∠CBM∵PQ⊥BM，∴PQ＝PMsin∠CMB=55∴PA+55PM＝PA+∴当P，A，Q共线时，PA+PQ最小，此时，AQ⊥BM，∴AQ＝ABsin∠CBM=4故选：A．【点评】本题主要考查了考查了胡不归问题，通过三角函数转化55PM7．（2025•金东区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P、Q分别是边AB和AC上的动点，且始终保持AQ＝BP，连结CP，BQ，则BQ+CP的最小值是（）A．11 B．97 C．311 D．【考点】轴对称﹣最短路线问题；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】过B作BD∥AC并截取BD＝AC，过A作AE⊥CB于E，过D作DF⊥BC于F，证明△BDP≌△ABQ，得出DP＝BQ，则BQ+CP＝DP+CP≥CD，故当C、P、D三点共线时，BQ+CP取最小值为CD，根据三线合一的性质求出CE=12BC=3根据勾股定理求出AE＝4，证明△BDF≌△CAE，得出DF＝AE＝4，BF＝CE＝3，最后在Rt【解答】解：过B作BD∥AC并截取BD＝AC，过A作AE⊥CB于E，过D作DF⊥BC于F，∴∠DBP＝∠BAQ，∵AB＝AC＝5，BD＝AC，∴BD＝AB，又BP＝AQ，∴△BDP≌△ABQ（SAS），∴DP＝BQ，∴BQ+CP＝DP+CP≥CD，当C、P、D三点共线时，BQ+CP取最小值为CD，∵AB＝AC＝5，AE⊥CB，BC＝6，若CE=12BC=3∵BD∥AC，∴∠DBF＝∠ACE，∵AE⊥CB，DF⊥BC，∴∠F＝∠AEC＝90°，又∵BD＝AC，∴△BDF≌△CAE（AAS），∴DF＝AE＝4，BF＝CE＝3，∴CF＝BF+BC＝9，∴CD=D即BQ+CP的最小值是97，故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，8．（2025春•番禺区）如图，菱形ABCD周长为16，∠DAC＝30°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是（）A．25 B．3 C．23 D【考点】轴对称﹣最短路线问题；菱形的性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】C【分析】连接BD，根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BAD=12∠ADC＝60°，然后判断出△ABD是等边三角形，连接DE，根据轴对称确定最短路线问题，DE与AC的交点即为所求的点P，PE+PB的最小值＝DE，然后根据等边三角形的性质求出【解答】解：如图，连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∠DAC＝30°，∴∠ADC＝120°，∴∠BAD=12∠ADC=12∵AB＝AD（菱形的邻边相等），∴△ABD是等边三角形，连接DE，∵B、D关于对角线AC对称，∴DE与AC的交点即为所求的点P，PE+PB的最小值＝DE，∵E是AB的中点，∴DE⊥AB，∵菱形ABCD周长为16，∴AD＝16÷4＝4，∴DE=32×4＝故选：C．【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质与最短路线的确定方法找出点P的位置是解题的关键．9．（2025•金平区一模）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，BC=13，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AEA．73 B．94 C．136 【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【答案】C【分析】先由折叠的性质得出AB＝AD＝2，ED＝EC，∠ADB＝∠B，∠EDC＝∠C，推出∠ADE＝90°，再由勾股定理求出AC＝3，设AE＝x，则CE＝ED＝3﹣x，然后由勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：由折叠的性质得：AB＝AD＝2，ED＝EC，∠ADB＝∠B，∠EDC＝∠C，∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∴∠ADB+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=BC设AE＝x，则CE＝ED＝3﹣x，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+ED2＝AE2，即22+（3﹣x）2＝x2，解得：x=13故选：C．【点评】本题考查了折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键．10．（2025•临川区二模）如图，点A，B，C都在正方形网格的格点上，图中5个点D均在格点上，则能与点A，B，C组成轴对称图形的点D的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】利用轴对称设计图案．【专题】作图题；平移、旋转与对称．【答案】B【分析】利用轴对称的作图方法来作图，即可得到答案．【解答】解：图中5个点D均在格点上，则能与点A，B，C组成轴对称图形，如图所示：则点D的个数是4，故选：B．【点评】本题考查利用轴对称设计图案，解答本题的关键是熟练掌握轴对称的性质．二．填空题（共5小题）11．（2025•永寿县模拟）如图，已知矩形ABCD，AB＝2，AD＝4，E，F分别是AD，BC边上的动点，且CF＝2AE，将四边形ABFE沿EF翻折到四边形GHFE，则CH的最小值为435-【考点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；图形的相似；展开与折叠；几何直观；推理能力．【答案】43【分析】连接AC交EF于点O，连接OB、OH，由△AOE∽△COF得AOCO=AECF=12，可知EF始终经过定点O，又由折叠得OH＝OB，即可得点H在以点O为圆心，OB为半径的圆上，当点O、H、C三点共线时，CH的值最小，过点O作OM⊥BC【解答】解：连接AC交EF于点O，连接OB、OH，如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥CF，BC＝AB＝4，∠ABC＝90°，∴△AOE∽△COF，∴AOCO∴EF始终经过定点O，∵将四边形ABFE沿EF翻折到四边形GHFE，∴OH＝OB，∴点H在以点O为圆心，OB为半径的圆上，当点O、H、C三点共线时，CH的值最小，如图2，过点O作OM⊥BC于M，则OM∥AB，∴CMBM∵BM+CM＝BC＝4，∴BM=43，∵OM∥AB，∴△COM∽△CAB，∴OMAB∵AOCO∴COCA∴OM2∴OM=4在直角三角形BOM中，由勾股定理得：OH=OB=O在直角三角形ABC中，由勾股定理得：AC=A∴OC=2∴CH=OC-OH=4即CH的最小值为43故答案为：43【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键．12．（2025•南岗区三模）如图，正方形ABCD的边长为8，点M是边CD上一点，且DM＝2，点E、H分别在AD、BC上，AE＝3，点P是EH上一动点，tan∠DEH＝2，则DP+MP的最小值为217【考点】轴对称﹣最短路线问题；解直角三角形；勾股定理；正方形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．【答案】217【分析】在AB上取一点R使得AR＝4，连接ER，DR，PR，MR，解Rt△ADR得到tan∠ARD=ADAR=2，则∠DEH＝∠ARD，即可证明EH⊥DR；利用勾股定理可得ER＝ED＝5，则EH垂直平分RD，可得PD＝PR，即可得到当R、P、M三点共线时，RP+MP有最小值，即此时DP+MP有最小值，最小值为RM的长；过点R作RQ⊥CD于Q，则四边形ARQD是矩形，可得QR＝AD＝8，QD＝AR＝4，求出QM＝QD﹣DM＝2，则RM=QR2+Q【解答】解：正方形ABCD的边长为8，如图，在AB上取一点R使得AR＝4，连接ER，DR，PR，MR，∴∠A＝∠ADC＝90°，AD＝8，∵AE＝3，∴DE＝AD﹣AE＝5，在Rt△ADR中，tan∠ARD=AD∵tan∠DEH＝2，∴tan∠DEH＝tan∠ARD，∴∠DEH＝∠ARD，∴∠DEH+∠ADR＝∠ARD+∠ADR＝90°，∴EH⊥DR；在直角三角形AER中，由勾股定理得：ER=A∴ER＝ED，∴EH垂直平分RD，∴PD＝PR，∴DP+MP＝RP+MP，∴当R、P、M三点共线时，RP+MP有最小值，即此时DP+MP有最小值，最小值为RM的长，过点R作RQ⊥CD于Q，则四边形ARQD是矩形，∴QR＝AD＝8，QD＝AR＝4，∴QM＝QD﹣DM＝2，在直角三角形QRM中，由勾股定理得：RM=Q∴DP+MP的最小值为217故答案为：217【点评】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，正方形的性质，解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握轴对称的性质．13．（2025•孝感模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝9．点D在AB上，且AD＝2BD，点E在AC上，将△ABC沿直线DE折叠，点A落在点F处，若EF∥BC，则：（1）∠DEC＝45°；（2）EF的长为2．【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．【专题】平移、旋转与对称；运算能力．【答案】（1）45°，（2）2．【分析】（1）利用折叠性质（角平分线）、平行线性质（同位角相等），结合平角、直角的角度关系推导．（2）通过折叠性质转化线段（EF＝AE），作辅助线构造相似三角形，利用相似性质表示线段长度，再结合等腰直角三角形的边相等关系列方程求解．【解答】解：（1）∵EF∥BC，∠C＝90°，∴∠FEC＝∠C＝90°．由题意可得：∠AED＝∠FED．∴∠AEF＝180°，∴∠AEF＝180°﹣∠FEC＝90°．∴∠AED=∠FED=∴∠DEC＝180°﹣135°＝45°．故答案为：45°；（2）设AE＝EF＝x，则EC＝AC﹣AE＝9﹣x（AC＝9为已知条件）．过点D作DH⊥AC于点H．∵AD＝2BD，∴AD：AB＝2：（2+1）＝2：3．由于DH⊥AC，BC⊥AC，∴DH∥BC，∴△ADH∽△ABC∴DHBC∵BC＝6，AC＝9，∴DH=23×6=4∴EH＝AH﹣AE＝6﹣x∵∠DEC＝45°，且∠DHE＝90°，∴△DHE是等腰直角三角形，∴DH＝EH．即4＝6﹣x，∴x＝2，∴EF＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了折叠性质（对应边、角相等）、平行线性质（同位角相等）、相似三角形的判定与性质（平行判定相似、对应边成比例）、等腰直角三角形的判定与性质（角度判定、边的等量关系），综合考查几何图形的性质与逻辑推导．解题关键是抓住折叠产生的角平分线，结合平行线构造的直角，通过角的和差推导∠DEC．14．（2025春•崇明区）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P是边AB上一动点，联结CP，将△BCP沿着CP翻折后得到△ECP，若EP、EC与边AD分别交于点F、G，且AF＝EF，则AP的长为35【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质．【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；展开与折叠；几何直观；推理能力．【答案】35【分析】由矩形的性质可得∠A＝∠B＝∠D＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，由折叠的性质可得CE＝BC＝4，PB＝PE，∠E＝∠B＝90°，证明△AFP≌△EFG（ASA）得到EG＝AP，PF＝GF，则可证明AG＝PE，设AP＝EG＝x，则AG＝PE＝PB＝3﹣x，CG＝CE﹣EG＝4﹣x，DG＝AD﹣AG＝x+1，由勾股定理得（4﹣x）2＝32+（x+1）2，解方程即可得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝4；由折叠的性质可得CE＝BC＝4，PB＝PE，∠E＝∠B＝90°，∴∠E＝∠A，在△AFP和△EFG中，∠A=∠EAF=EF∴△AFP≌△EFG（ASA），∴EG＝AP，PF＝GF，∴AF+GF＝PF+EF，即AG＝PE，设AP＝EG＝x，则AG＝PE＝PB＝3﹣x，∴CG＝CE﹣EG＝4﹣x，DG＝AD﹣AG＝x+1，在Rt△CDG中，由勾股定理得CG2＝CD2+DG2，∴（4﹣x）2＝32+（x+1）2，解得x=3∴AP=3故答案为：35【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质．15．（2025春•泰州）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝5，AC＝12，BC＝13，EF垂直平分AB，点P是EF上一动点，过P作PH⊥BC，垂足为点H，连接BP，则BP+PH的最小值为6013【考点】轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质．【专题】平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．【答案】6013【分析】连接AP，根据垂直平分线的性质得到AP＝BP，则有BP+PH＝AP+PH≥AH，分析可知当A，P，H三点共线时，BP+PH有最小值，最小值为AH的长，此时AH是Rt△ABC的高，再利用等面积法即可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝5，AC＝12，BC＝13，如图，连接AP，∵EF垂直平分AB，点P是EF上一动点，∴AP＝BP，∴BP+PH＝AP+PH≥AH，∴当A，P，H三点共线时，BP+PH有最小值，最小值为AH的长，∵PH⊥BC，A，P，H三点共线，∴此时AH是Rt△ABC的高，∴AH=AB⋅AC∴BP+PH的最小值为6013故答案为：6013【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质，利用垂直平分线的性质转化BP是解题的关键．三．解答题（共5小题）16．（2025春•连江县）阅读下列材料：材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为2×12，其边长2就是原边长为1小正方形的对角线长．把两个边长为2的小正方形用同样方法剪拼，所得到的大正方形面积为2×22，其边长为22就是原边长为2小正方形的对角线长，…，以此类推，若把两个边长为a的小正方形用同样方法剪拼，所得到的大正方形面积为2a2，其边长2a就是原边长为a的小正方形的对角线长；材料二：按照国际标准，A系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸…，如图2．将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长：宽＝2：1．请根据材料回答下列问题：（1）补全材料一、材料二探究过程中①②所缺内容；（2）按照图2的A系列纸生成过程，请求出A0纸的长与宽的比；（3）估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，2≈1.414，0.7072≈0.841【考点】图形的剪拼．【专题】展开与折叠；运算能力；推理能力．【答案】（1）①2a，②2（2）2：1；（3）A0纸的长为1189mm，宽为841mm．【分析】（1）①理解题意解答即可；根据图中的折叠信息获取长和宽的值作比即可；（2）设A4纸的长为m，宽为n，则A44纸的长：宽=m：（3）设AO纸的宽为xm，则长为2xm，则x×【解答】解：（1）①解把两个边长为a的小正方形用同样方法剪接，所得到的大正方形面积为2a2，其边长为2a就是原边长为a②由图可得折叠上去的斜边正好与长方形的长相等，若折叠时正方形的边长为a，则斜边为2a因此这个矩形的长为2a宽为a则长：宽=2故答案为：①2a，②2（2）设A4纸的长为m，宽为n，则A4纸的长：宽=m：由A系列纸生成过程可知，A2纸长为2m，宽为2n，A0纸的长为4m，宽为4n．所以A0纸的长：宽＝4m：4n＝m：n＝2：1；（3）设A0纸的宽为xm，则长为2xm，依题意得x×2x=1x2=x2≈0.7072，x≈±0.7072∴x≈0.841m＝841mm，2x=1.414×841mm≈1189mm答：A0纸的长为1189mm，宽为841mm．【点评】本题考查了图形的剪拼，合理从题中获取相关信息是解题的关键．17．（2025春•开鲁县）在平面直角坐标系xOy中，已知矩形AOCB．（1）如图1，若点C（0，5），A（13，0），点D在AB边上，将△CBD沿CD翻折，点B恰好落在OA边上的点E处．①点E的坐标为：（12，0）；②线段DE的长为：2.6；（2）如图2，若点C（0，3），∠AOB＝30°，点F是BC边上的动点，过点F作OB的垂线交直线OB于点H，交直线OA于点G，求OF+FG+GB的最小值．【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的判定与性质；矩形的性质；坐标与图形变化﹣对称；轴对称﹣最短路线问题．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】（1）①（12，0）；②2.6；（2）6．【分析】（1）①根据矩形的性质和折叠得到BD＝DE，BC＝CE＝13，∠ABC＝∠CED＝90°，根据勾股定理可得OE＝12，即可求出点E的坐标；②设BD＝DE＝x，则AD＝5﹣x，在Rt△ADE中利用勾股定理列方程求解即可；（2）作O关于BC的对称点M，作B关于x轴的对称点N，连接FM，GN，MN，则OC=CM=3，AB=AN=3，FM＝OF，GB＝GN，OF+FG+GB＝MF+FG+GN≥MN，当G、F、H都在线段MN上时，OF+FG+GB＝MN最小，此时证明△MOH≌△NBH（AAS），得到OH=BH=12OB=3，HM＝HN，利用勾股定理求出【解答】解：（1）①∵矩形AOCB，C（0，5），A（13，0），∴OC＝AB＝5，BC＝OA＝13，∠ABC＝∠BAO＝90°，∵将△CBD沿CD翻折，点B恰好落在OA边上的点E处，∴BD＝DE，BC＝CE＝13，∠ABC＝∠CED＝90°，∴OE=C∴AE＝OA﹣OE＝13﹣12＝1，E（12，0），故答案为：（12，0）；②设BD＝DE＝x，则AD＝AB﹣BD＝5﹣x，在Rt△ADE中，AD2+AE2＝DE2，∴（5﹣x）2+12＝x2，解得x＝2.6，∴DE＝x＝2.6，故答案为：2.6；（2）∵矩形AOCB，点C(0，3)，∠AOB∴OC=AB=3，OB=2OC=23，∠AOB＝∠OBC＝30°，AB∥作O关于BC的对称点M，作B关于x轴的对称点N，连接FM，GN，MN，∴OC=CM=3，AB=AN=3，FM＝OF，GB＝∴OF+FG+GB＝MF+FG+GN≥MN，∴当G、F、H都在线段MN上时，OF+FG+GB＝MN最小，∵过点F作OB的垂线交直线OB于点H，∴MN⊥OB，∵AB∥OC，∴∠M＝∠N，∵OM=BN=23，∠MHO＝∠NHB∴△MOH≌△NBH（AAS），∴OH=BH=12OB=3，∴HM=HN=O∴OF+FG+GB最小值为MN＝MH+HN＝3+3＝6．【点评】本题考查矩形与折叠问题，勾股定理，轴对称的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．18．（2025春•临沭县）如图，连接A，B两城市的是一条东西