2026中考数学高频考点一轮复习：整式（含解析）

中考数学一轮复习整式一．选择题（共10小题）1．（2025春•扬州期末）下列运算正确的是（）A．a3•b3＝（ab）3 B．a2•b3＝a6 C．a6÷b3＝a2 D．（a2）3＝a52．（2025春•新郑市期末）若a，b是正整数，且满足4a+4a+⋯+A．2a＝b16 B．2a＝16b C．2+a＝b16 D．2+a＝16b3．（2024秋•辛集市期末）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a（a+b）＝a2+ab C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b24．（2025春•高青县期末）如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（）A．10 B．20 C．30 D．405．（2025春•宜兴市期末）若M＝（x﹣3）（x﹣4），N＝（x﹣1）（x﹣6）+4，则M与N的大小关系是（）A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．由x的取值而定6．（2025春•睢宁县期中）若a、b是正整数，且满足3a+3a+3a＝3b×3b×3b，则a与b的关系是（）A．a＝b B．a＝3b C．a＝3b﹣1 D．a＝b2﹣17．（2025春•渭城区校级期末）若（x+2）（x﹣3）＝x2+mx﹣n，则mn的值为（）A．1 B．﹣1 C．6 D．﹣68．（2025春•沭阳县校级期末）已知（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）＝63，则代数式a+b的值（）A．4 B．8 C．±4 D．±89．（2024秋•天河区期末）一个大正方形和四个全等的小正方形按图①，②两种方式摆放（图②是小正方形在大正方形内部）．则下列说法不正确的是（）A．小正方形的边长为a-b4B．大正方形的边长为a+b4C．图②的大正方形中未被4个小正方形覆盖部分的面积为ab D．若把图②的4个小正方形剪掉，剩余部分折成一个无盖长方体，则该长方体的体积为a10．（2025春•新昌县期末）换元是一种重要的数学方法，通过引入新的字母（称为元）替换原式中的部分表达式，简化问题结构．若y＝3x﹣2，则代数式（3x﹣2）2﹣6x+7可以表示为（）A．y2﹣2y﹣3 B．y2﹣2y+3 C．y2﹣2y+11 D．y2﹣2y+5二．填空题（共5小题）11．（2025春•两江新区期末）对于一个三位正整数M=abc，如果M的各个数位的数字均不相等且都不为零，满足a+b+c＝16，那么称这个数M为“四方数”．例如：对于286，∵2+8+6＝16，∴286是“四方数”；对于567，∵5+6+7＝18≠16，∴567不是“四方数”．那么最大的“四方数”为．若M、N都是“四方数”，M的百位数字是4，N的个位数字是5，M、N各自去掉个位数字后得到的两位数之和能被13整除，规定F（M，N）＝M+N，则F（M，N）的最大值为12．（2024秋•西陵区期末）如图，将一张正方形纸片分割成三个长方形①，②，④，以及一个正方形③．其中，长方形②，④的周长之和为10，则正方形纸片与正方形③的周长之和为．13．（2025春•鼓楼区期末）把4a2﹣2a+1加上一个单项式成为一个多项式的平方（写出一个即可）．14．（2025春•仪征市期末）观察下列各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；…根据规律计算：﹣22025+22024﹣22023+22022﹣⋯+24﹣23+22﹣2+1的值是．15．（2025春•新昌县期末）图1是某月日历，平移图2所示不透明“十字星”硬纸板去覆盖日历的日期部分，日历中的五个数字恰好被完全遮住．若a，b，c，d，e代表对应被遮住的数字，则代数式ab﹣cd的值为．三．解答题（共5小题）16．（2025春•余姚市期末）如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题．如：求代数式的最大值或最小值等．求代数式x2+2x+2的最小值，同学们经过探究、合作、交流，最后得到如下解法：解；x2+2x+2＝（x2+2x+12﹣12）+2＝（x+1）2+1．因为（x+1）2是非负数，所以当（x+1）2＝0时，（x+1）2+1的值最小，最小值为1，所以x2+2x+2的最小值是1．（1）求代数式y2﹣5y﹣4的最小值．（2）求代数式k217．（2025春•平陆县期中）阅读与思考下面是小颖同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．×年×月×日星期三用纸片研究完全平方公式今天我学习了完全平方公式，并尝试用正方形纸片和长方形纸片进行验证，方法如下：第一步：如图1，我准备了边长为a+b的正方形纸片，正方形纸片的面积为（a+b）2．第二步：将正方形纸片沿虚线剪裁，得到两个小正方形和两个矩形，它们的面积之和为a2+2ab+b2．由此验证了完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2．任务（1）这种利用几何图形解释代数恒等式的数学思想是．（2）观察图2，若a+b+c＝10，a2+b2+c2＝40，求图中阴影部分的面积．（3）请结合小颖的方法构造一个可以验证等式（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2的几何图形．18．（2025春•扬州期末）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b）⊗（c，d）＝a2+d2﹣bc．例如：（1，2）⊗（3，4）＝12+42﹣2×3＝11．（1）若（x，kx）⊗（2y，﹣y）是一个完全平方式，求常数k的值；（2）若2x+y＝8，且（3x+y，2x2+3y2）⊗（3，x﹣3y）＝48，求xy的值；（3）在（2）的条件下，将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E、G分别在边CD、BC上，连接BD、BF、DF、EG．若AB＝2x，BC＝8x，CE＝y，CG＝4y，求图中阴影部分的面积．19．（2025春•高青县期末）根据图形，回答下列问题：（1）图中的①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形、用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是．（2）利用等量关系解决下面的问题：①a﹣b＝5，ab＝﹣6，求（a+b）2和a2+b2的值；②已知x2+120．（2025春•昭平县期中）把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，可以得到有用的等式．（1）如图1是用4块完全相同的长方形拼成的正方形，由此图直接写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab它们三者之间的一个等量关系；（2）根据（1）中的结论，解决下列问题：2x+3y＝8，xy＝2，求2x﹣3y的值；（3）如图2，两个正方形的边长分别为a和b，其中B，C，G三点在同一直线上，若a+b＝18，ab＝80，请结合图形，试求阴影部分的面积．

中考数学一轮复习整式参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2025春•扬州期末）下列运算正确的是（）A．a3•b3＝（ab）3 B．a2•b3＝a6 C．a6÷b3＝a2 D．（a2）3＝a5【考点】整式的混合运算．【专题】整式；运算能力．【答案】A【分析】根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法运算法则求解即可．【解答】解：A．a3•b3＝（ab）3，故选项A正确；B．最简单项式，不需要化简，故选项B错误；C．底数不同，不能化简，故选项C错误；D．（a2）3＝a6，故选项D错误．故选：A．【点评】此题考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．2．（2025春•新郑市期末）若a，b是正整数，且满足4a+4a+⋯+A．2a＝b16 B．2a＝16b C．2+a＝b16 D．2+a＝16b【考点】同底数幂的乘法；合并同类项．【专题】整式；运算能力．【答案】D【分析】将题目中的加法与乘法表达式转化为指数形式后，通过底数相同指数相等的性质建立方程求解．【解答】解：将左边变形：16×4a＝42×4a＝4a+2，右边变形为：（4b）16＝416b，∴方程可化简为：4a+2＝416b，由于底数相同，指数相等，得：a+2＝16b，故选：D．【点评】本题考查幂的运算性质，包括同底数幂相乘和幂的乘方，熟练掌握以上知识点是关键．3．（2024秋•辛集市期末）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a（a+b）＝a2+ab C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2【考点】平方差公式的几何背景；单项式乘多项式．【专题】常规题型；推理能力．【答案】D【分析】根据面积相等，列出关系式即可．【解答】解：由题意这两个图形的面积相等，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：D．【点评】本题主要考查对平方差公式的知识点的理解和掌握，能根据在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形是解此题的关键．4．（2025春•高青县期末）如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（）A．10 B．20 C．30 D．40【考点】完全平方公式的几何背景．【专题】计算题；综合题；数形结合；几何变换；几何直观．【答案】C【分析】观察图形，阴影部分除了在正方形中，还以正方形边长为直角边构造三角形，因此阴影部分可看作由不同三角形组成，每个阴影部分都与其所在三角形有关系，由此可逐个分析：首先令直线BF与直线CD的交点为O（如图），则可看出△BDO与△EFO、△BGF有关，用△BCD与▱ECGF的面积和减去△BGF的面积可得阴影部分△BDO与△EFO的面积，阴影部分△DEF和△CGF的面积可依据正方形的边长a与b各自求出．至此，阴影部分面积可计和求出，然后利用已知条件进行完全平方公式再代入计算数值．【解答】解：首先令直线BF与直线CD的交点为O；则S△BDO+S△EFO＝S△BDC+S▱ECGF﹣S△BGF＝a•a÷2+b•b﹣（a+b）•b÷2；①S△DEF＝底EF•高DE÷2＝b•（a﹣b）÷2；②S△CGF＝底CG•高GF÷2＝b•b÷2；③∴阴影部分面积＝①+②+③＝a2÷2+b2﹣（ab+b2）÷2+（ab﹣b2）÷2+b2÷2＝{a2+2b2﹣（ab+b2）+（ab﹣b2）+b2}÷2＝（a2+b2）÷2，④由已知a+b＝10，ab＝20，构造完全平方公式：（a+b）2＝102，解得a2+b2+2ab＝100，a2+b2＝100﹣2•20，化简＝60代入④式，得60÷2＝30，∴S阴影部分＝30．方法2：∵CF∥BD，∴△BDF的面积＝△BCD的面积，∴阴影部分的面积＝△BCD的面积+△CGF的面积=12（a2+b∵a+b＝10，ab＝20，∴12（a2+b2）=12（a+b）2﹣ab＝50﹣20故选：C．【点评】本题考查了几何图形关系，即阴影部分面积与三角形面积和正方形面积的关系，同时考查了完全平方公式的运用和符号计算变化．5．（2025春•宜兴市期末）若M＝（x﹣3）（x﹣4），N＝（x﹣1）（x﹣6）+4，则M与N的大小关系是（）A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．由x的取值而定【考点】多项式乘多项式．【专题】整式；运算能力．【答案】A【分析】先根据多项式与多项式的乘法法则化简，再用作差法比较即可．【解答】解：M﹣N＝（x﹣3）（x﹣4）﹣[（x﹣1）（x﹣6）+4]＝x2﹣7x+12﹣（x2﹣7x+10）＝x2﹣7x+12﹣x2+7x﹣10，＝2＞0，∴M＞N．故选：A．【点评】本题考查了多项式与多项式的乘法，以及整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．6．（2025春•睢宁县期中）若a、b是正整数，且满足3a+3a+3a＝3b×3b×3b，则a与b的关系是（）A．a＝b B．a＝3b C．a＝3b﹣1 D．a＝b2﹣1【考点】同底数幂的乘法．【专题】实数；运算能力．【答案】C【分析】根据同底数幂的乘法运算法则计算即可．【解答】解：∵3a+3a+3a＝3×3a＝3a+1，3b×3b×3b＝33b，∴3a+1＝33b，∴a+1＝3b，∴a＝3b﹣1．故选：C．【点评】本题考查同底数幂的乘法，掌握其运算法则是解题的关键．7．（2025春•渭城区校级期末）若（x+2）（x﹣3）＝x2+mx﹣n，则mn的值为（）A．1 B．﹣1 C．6 D．﹣6【考点】多项式乘多项式．【专题】整式；运算能力．【答案】A【分析】先通过展开左边多项式并与右边比较系数，确定m和n的值，再计算m的n次方，即可作答．【解答】解：（x+2）（x﹣3）＝x•x+x•（﹣3）+2•x+2•（﹣3）＝x2﹣3x+2x﹣6＝x2﹣x﹣6，∴x2+mx﹣n＝x2﹣x﹣6，∴m＝﹣1，n＝6，得mn＝（﹣1）6＝1，故选：A．【点评】本题考查了多项式乘多项式，已知字母的值求代数式的值，熟练掌握以上知识点是关键．8．（2025春•沭阳县校级期末）已知（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）＝63，则代数式a+b的值（）A．4 B．8 C．±4 D．±8【考点】平方差公式；代数式求值；完全平方公式．【专题】计算题；运算能力．【答案】C【分析】先对原式的左边进行变形，进而得出答案．【解答】解：（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）＝（2a+2b）2﹣1＝4（a+b）2﹣1，由已知可得，4（a+b）2﹣1＝63，a+b＝±4．故选：C．【点评】本题主要考查平方差公式、代数式求值、完全平方公式，对原式的左边进行变形是解题的关键．9．（2024秋•天河区期末）一个大正方形和四个全等的小正方形按图①，②两种方式摆放（图②是小正方形在大正方形内部）．则下列说法不正确的是（）A．小正方形的边长为a-b4B．大正方形的边长为a+b4C．图②的大正方形中未被4个小正方形覆盖部分的面积为ab D．若把图②的4个小正方形剪掉，剩余部分折成一个无盖长方体，则该长方体的体积为a【考点】整式的混合运算；展开图折叠成几何体；完全平方公式的几何背景．【专题】整式；运算能力．【答案】B【分析】结合图形列出相应算式，再计算即可．【解答】解：A．小正方形的边长为a-b4B．大正方形的边长为b+2×a-bC．图②的大正方形中未被4个小正方形覆盖部分的面积为(a+b2)2-4（a-bD．若把图②的4个小正方形剪掉，剩余部分折成一个无盖长方体，则该长方体的体积为b2×a-b故选：B．【点评】本题考查了整式的混合运算，求得大正方形的边长和小正方形的边长是解题的关键．10．（2025春•新昌县期末）换元是一种重要的数学方法，通过引入新的字母（称为元）替换原式中的部分表达式，简化问题结构．若y＝3x﹣2，则代数式（3x﹣2）2﹣6x+7可以表示为（）A．y2﹣2y﹣3 B．y2﹣2y+3 C．y2﹣2y+11 D．y2﹣2y+5【考点】整式的混合运算．【专题】整式；运算能力．【答案】B【分析】先将代数式进行变形，再运用换元法解答．【解答】解：∵y＝3x﹣2，∴（3x﹣2）2﹣6x+7＝（3x﹣2）2﹣2（3x﹣2）+3＝y2﹣2y+3．故选：B．【点评】本题考查了整式的混合运算，解题的关键运用换元法来解答．二．填空题（共5小题）11．（2025春•两江新区期末）对于一个三位正整数M=abc，如果M的各个数位的数字均不相等且都不为零，满足a+b+c＝16，那么称这个数M为“四方数”．例如：对于286，∵2+8+6＝16，∴286是“四方数”；对于567，∵5+6+7＝18≠16，∴567不是“四方数”．那么最大的“四方数”为961．若M、N都是“四方数”，M的百位数字是4，N的个位数字是5，M、N各自去掉个位数字后得到的两位数之和能被13整除，规定F（M，N）＝M+N，则F（M，N）的最大值为1310【考点】整式的加减；列代数式．【专题】整式；运算能力．【答案】961；1310．【分析】要使“四方数”最大，则百位数字要最大，故可确定最大的“四方数”的百位数字为9，再确定十位数字，进而确定个位数字即可；设M的十位数字为x，N的百位数字为y，则M的个位数字为16﹣4﹣x＝12﹣x，N的十位数字为16﹣5﹣y＝11﹣y，根据题意可得40+x+10y+11﹣y＝x+9y+51能被13整除，则（x+9y﹣1）+52能被13整除，即x+9y﹣1能被13整除，根据1≤x，y≤9，9≤x+9y﹣1≤89，再根据x+9y﹣1是13的倍数讨论求解即可．【解答】解：由条件可知百位数字要最大，∴最大的“四方数”的百位数字为9，则最大的“四方数”的十位数字为6，∴最大的“四方数”的个位数字为1，即最大的“四方数”为961；设M的十位数字为x，N的百位数字为y，则M的个位数字为16﹣4﹣x＝12﹣x，N的十位数字为16﹣5﹣y＝11﹣y，由条件可知40+x+10y+11﹣y＝x+9y+51能被13整除，∴（x+9y﹣1）+52能被13整除，∴x+9y﹣1能被13整除，∵1≤x，y≤9，∴9≤x+9y﹣1≤89，当x+9y﹣1＝78时，则y=79-x当79﹣x＝72时，x＝7，y＝8，∴M＝475，N＝835，此时符合题意；∴此时F（M，N）＝475+835＝1310；∵79﹣9y＞0，∴y≤8，且y是正整数，∴此时x＝7，y＝8都满足是最大，∴F（M，N）的最大值即为1310．故答案为：961；1310．【点评】本题主要考查了新定义，熟练掌握新定义是关键．12．（2024秋•西陵区期末）如图，将一张正方形纸片分割成三个长方形①，②，④，以及一个正方形③．其中，长方形②，④的周长之和为10，则正方形纸片与正方形③的周长之和为20．【考点】整式的加减．【专题】整式；应用意识．【答案】20．【分析】设大正方形的边长是a，小正方形的边长是b，长方形②，④的周长之和为10，所以（a﹣b）×2+4b＝10，求出a+b＝5，正方形纸片与正方形③的周长之和为4a+4b，将a+b＝5代入求出结果即可．【解答】解：设大正方形的边长是a，小正方形的边长是b，（a﹣b）×2+4b＝10，即a+b＝5，4a+4b＝4（a+b）＝4×5＝20．故答案为：20．【点评】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是分别表示出长方形②，④的周长．13．（2025春•鼓楼区期末）把4a2﹣2a+1加上一个单项式﹣2a成为一个多项式的平方（写出一个即可）．【考点】完全平方式；整式的加减．【专题】整式；运算能力．【答案】﹣2a．【分析】利用完全平方式的意义解答即可．【解答】解：∵4a2﹣4a+1＝（2a﹣1）2，∴把4a2﹣2a+1加上一个单项式﹣2a，成为一个多项式的平方．故答案为：﹣2a（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了完全平方式，整式的加减，熟练掌握完全平方式的特征是解题的关键．14．（2025春•仪征市期末）观察下列各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；…根据规律计算：﹣22025+22024﹣22023+22022﹣⋯+24﹣23+22﹣2+1的值是-22026-1【考点】平方差公式；规律型：数字的变化类；多项式乘多项式．【专题】计算题；运算能力．【答案】-2【分析】先对原式进行变形，再根据规律即可得出答案．【解答】解：原式=-13×（﹣2﹣1）×（﹣22025+22024﹣22023+22022﹣⋯+24﹣23+22=-13×[（﹣2）=-2故答案为：-2【点评】本题主要考查平方差公式、规律型：数字的变化类、多项式乘多项式，对原式进行变形是解题的关键．15．（2025春•新昌县期末）图1是某月日历，平移图2所示不透明“十字星”硬纸板去覆盖日历的日期部分，日历中的五个数字恰好被完全遮住．若a，b，c，d，e代表对应被遮住的数字，则代数式ab﹣cd的值为48．【考点】整式的混合运算．【专题】整式；运算能力．【答案】48．【分析】设中间字母e表示的数为x，则a＝x﹣1，b＝x+1，c＝x﹣7，d＝x+7，代入所求代数式计算即可．【解答】解：设中间字母e表示的数为x，则a＝x﹣1，b＝x+1，c＝x﹣7，d＝x+7，∴ab﹣cd＝（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣7）（x+7）＝x2﹣1﹣（x2﹣49）＝x2﹣1﹣x2+49＝48．故答案为：48．【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键．三．解答题（共5小题）16．（2025春•余姚市期末）如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题．如：求代数式的最大值或最小值等．求代数式x2+2x+2的最小值，同学们经过探究、合作、交流，最后得到如下解法：解；x2+2x+2＝（x2+2x+12﹣12）+2＝（x+1）2+1．因为（x+1）2是非负数，所以当（x+1）2＝0时，（x+1）2+1的值最小，最小值为1，所以x2+2x+2的最小值是1．（1）求代数式y2﹣5y﹣4的最小值．（2）求代数式k2【考点】整式的混合运算—化简求值；配方法的应用；解一元一次不等式；非负数的性质：偶次方．【专题】整式；运算能力；推理能力．【答案】（1）-41（2）3．【分析】（1）将所求代数式化为（y-52）2（2）将所求代数式化为（k+1k）2+3≥【解答】解：（1）y2﹣5y﹣4＝（y-52）2-254-4＝（y∴（y-52）2≥∴y2﹣5y﹣4≥-41∴y2﹣5y﹣4的最小值为-41（2）k2+1k2+5=（k+∴k2+1【点评】本题考查整式的运算，熟练掌握完全平方公式，偶次方的性质是解题的关键．17．（2025春•平陆县期中）阅读与思考下面是小颖同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．×年×月×日星期三用纸片研究完全平方公式今天我学习了完全平方公式，并尝试用正方形纸片和长方形纸片进行验证，方法如下：第一步：如图1，我准备了边长为a+b的正方形纸片，正方形纸片的面积为（a+b）2．第二步：将正方形纸片沿虚线剪裁，得到两个小正方形和两个矩形，它们的面积之和为a2+2ab+b2．由此验证了完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2．任务（1）这种利用几何图形解释代数恒等式的数学思想是数形结合．（2）观察图2，若a+b+c＝10，a2+b2+c2＝40，求图中阴影部分的面积．（3）请结合小颖的方法构造一个可以验证等式（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2的几何图形．【考点】完全平方公式的几何背景；一元一次方程的应用；多项式乘多项式．【专题】整式；运算能力．【答案】（1）数形结合；（2）30；（3）见详解．【分析】（1）根据题意解答即可；（2）由图中大矩形的面积＝中间的各图形的面积和可得到公式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，根据公式解答即可；（3）根据题意可知边长为a的正方形使用2次，边长为b的正方形使用1次，边长为a、b的长方形使用3次，据此画出示意图即可．【解答】解：（1）利用几何图形解释代数恒等式的数学思想是数形结合；故答案为：数形结合；（2）由图可知（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，变形得：2ab+2ac+2bc＝（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2），∵a+b+c＝10，a2+b2+c2＝40，∴2ab+2ac+2bc＝102﹣40＝60，根据图示可知：ab+bc+ac＝30；（3）如图所示，即为所求．【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景、多项式乘多项式，熟练掌握以上知识点是关键．18．（2025春•扬州期末）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b）⊗（c，d）＝a2+d2﹣bc．例如：（1，2）⊗（3，4）＝12+42﹣2×3＝11．（1）若（x，kx）⊗（2y，﹣y）是一个完全平方式，求常数k的值；（2）若2x+y＝8，且（3x+y，2x2+3y2）⊗（3，x﹣3y）＝48，求xy的值；（3）在（2）的条件下，将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E、G分别在边CD、BC上，连接BD、BF、DF、EG．若AB＝2x，BC＝8x，CE＝y，CG＝4y，求图中阴影部分的面积．【考点】完全平方式；完全平方公式的几何背景．【专题】整式；运算能力．【答案】（1）k＝±1；（2）4；（3）64．【分析】（1）根据新定义，求出（x，kx）⊗（2y，﹣y），再根据完全平方式的特征，即可求出k；（2）根据新定义，求出（3x+y，2x2+3y2）⊗（3，x﹣3y）＝48的左边，从而得出4x2+y2＝48，再利用完全平方公式的变形即可求出xy；（3）根据阴影部分的面积等于S△EFG+S△DBF，S△DBF＝S△BCD﹣S△DEF﹣S△BGF﹣S长方形FGCE，把阴影部分的面积表示出来，从得到含有2x+y，xy的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可．【解答】解：（1）（x，kx）⊗（2y，﹣y）＝x2+（﹣y）2﹣2kxy，由题意可得：x2+（﹣y）2﹣2kxy＝x2±2xy+y2，∴k＝±1；（2）∵（a，b）⊗（c，d）＝a2+d2﹣bc，∴（3x+y，2x2+3y2）⊗（3，x﹣3y）＝（3x+y）2+（x﹣3y）2﹣（2x2+3y2）×3＝48，∴9x2+6xy+y2+x2﹣6xy+9y2﹣6x2﹣9y2＝48，4x2+y2＝48，∵2x+y＝8，∴（2x+y）2＝82，∴4x2+y2+4xy＝64，∴48+4xy＝64，∴xy＝4；（3）∵S△EFGS△BDCS△DEFS△BGFS▱FGCE∴S△DBF＝S△BCD﹣S△DEF﹣S△BGF﹣S长方形FGCE，∴S△DBF∴S△DBF∴阴影部分的面积为：8x2﹣8xy+2y2＝2（4x2+4xy+y2﹣8xy）＝2[（2x+y）2﹣8xy]，∵2x+y＝8，xy＝4，∴阴影部分的面积为：2×（82﹣8×4）＝64．【点评】本题考查了新定义公式，完全平方式，完全平方公变形应用，式整式的混合运算，熟练掌握新定义公式，完全平方式是解题的关键．19．（2025春•高青县期末）根据图形，回答下列问题：（1）图中的①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形、用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn．（2）利用等量关系解决下面的问题：①a﹣b＝5，ab＝﹣6，求（a+b）2和a2+b2的值；②已知x2+1【考点】完全平方公式的几何背景．【专题】整式；应用意识．【答案】（1）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn．（2）①1；13；②±3．【分析】（1）方法1，根据“S阴影＝图②中大正方形的面积一图①中长方形的面积”即可得出答案；根据图②中小正方形的边长为（m+n），S阴影＝小长方形的面积即可得出答案；（2）①由（1）中所得的等量关系得（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，将a﹣b＝5