2026届新高考数学三轮热点复习 二项分布、超几何分布与正态分布

2026届新高考数学三轮热点复习

二项分布、超几何分布与正态分布知识清单1.二项分布(1)伯努利试验只包含________可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为_________________．(2)二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝______________，k＝0，1，2，…，n.两个n重伯努利试验

知识清单如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作__________．(3)两点分布与二项分布的均值、方差①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝______，D(X)＝________．②若X～B(n，p)，则E(X)＝________，D(X)＝__________．X～B(n，p)pp(1－p)npnp(1－p)知识清单2．超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝____________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．

知识清单

X～N(μ，σ2)x＝μx＝μ知识清单(3)3σ原则①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.(4)正态分布的均值与方差若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝________，D(X)＝________．μσ2知识清单

热点命题——1.二项分布

热点命题——1.二项分布(2)若3位购物的顾客，没有获奖的人数记为X，求X的分布列与数学期望．

热点命题——1.二项分布

热点命题——1.二项分布1已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有n门大炮同时对某一目标各射击一次．(1)当n＝5时，求恰好击中目标2次的概率(精确到0.01)；(2)如果使目标至少被击中一次的概率超过80%，至少需要多少门大炮？(lg2≈0.301)

热点命题——1.二项分布(2)如果使目标至少被击中一次的概率超过80%，至少需要多少门大炮？(lg2≈0.301)

热点命题——2.超几何分布例2北方某市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核，记考核成绩不小于80分的为优秀，为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了60名学生的考核成绩，如下表(1)从参加培训的学生中随机选取1人，请根据表中数据，估计这名学生考核优秀的概率；(2)用分层抽样的方法，在考核成绩为[70，90)的学生中任取8人，再从这8人中随机选取4人，记取到考核成绩在[80，90)的学生为X，求X的分布列和数学期望．成绩[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]人数55152510热点命题——2.超几何分布

热点命题——2.超几何分布

X1234P热点命题——2.超几何分布方法归纳：(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．热点命题——2.超几何分布2袋中有6个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为X.(1)求X的分布列和数学期望；(2)若摸出一个黑球得10分，摸出一个白球得5分，总分为Y分，求P(Y>15)的值．

X012P热点命题——2.超几何分布2袋中有6个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为X.(1)求X的分布列和数学期望；(2)若摸出一个黑球得10分，摸出一个白球得5分，总分为Y分，求P(Y>15)的值．

热点命题——3.正态分布例3(1)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是(

)A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9，10.1)的概率越大B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10，10.3)的概率相等解析：在正态分布中，利用正态分布密度曲线研究概率问题，当正态分布的σ越小时，正态分布密度曲线呈现越矮胖；σ越大时，正态分布密度曲线呈现越高瘦，且正态分布密度曲线关于直线x＝μ对称，故D选项描述错误.D热点命题——3.正态分布

解析：由题可得X～N(1.8，0.12)，Y～N(2.1，0.12)，所以P(X>2)＝P(X>μ＋2σ)<P(X>μ＋σ)≈1－0.8413＝0.1587<0.2，故A错误，B正确；P(Y>2)＝P(Y>μ1－σ1)≈0.8413>0.5，故C正确，D错误．BC热点命题——3.正态分布方法归纳：(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]中的哪一个．热点命题——3.正态分布32022届高校毕业生规模首次超过千万，是近几年增长人数最多的一年，就业压力暴增，毕业生的就业动向成为各界人士关注的焦点话题．某地从2022年毕业的大学生中随机抽取1500名，对他们的就业去向及就业月薪(单位：千元)进行统计，得到如下表格．1500名毕业生就业去向统计表900名毕业生就业第一个月的月薪统计表就业去向考研深造企业事业单位其他情况人数/百人64.531.5月薪/千元[3，4)[4，5)[5，6)[6，7)[7，8]人数/百人12321热点命题——3.正态分布

热点命题——3.正态分布

热点命题——3.正态分布

综合提升——二项分布与超几何分布的辨别例4写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？(1)X1表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数；(2)有一批产品共有N件，其中次品有M件(N>M>0)，采用有放回抽取方法抽取n次(n>N)，抽出的次品件数为X2；(3)有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法抽取n件，出现次品的件数为X3(N－M>n>0)．综合提升——二项分布与超几何分布的辨别方法归纳：二项分布与超几何分布区别和联系1.区别：超几何分布的模型是“取次品”是不放回抽样,而二项分布的模型是“独立重复试验”对于抽样,则是有放回抽样.超几何分布二项分布不放回抽取(一次性抽取)有放回抽取(n重伯努利试验)抽取过程事件A概率发生改变抽取