基本初等函数的导数2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.2.1基本初等函数的导数5.2导数的运算复习回顾利用导数的几何意义判断函数的变化.导数的概念与几何意义分别是什么？定义式记法实质

由导函数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的.对于求复杂函数的导数，有时候利用定义进行化简运算时会相对复杂.在必修第一册中我们学过基本初等函数，并且知道，很多复杂的函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的.问题：我们能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数.本节我们就来研究这些问题.情境引入前面我们学习了导数的定义，并且会用定义求函数在某一点处的导数，那么由导数定义求函数y=f(x)的导数的步骤是：①求平均变化率：

②取极限，得导数：下面我们根据定义来求一些常见函数的导数.情境引入常见的简单函数有：幂函数(一次函数、二次函数等）、指数函数、对数函数、三角函数这四类基本初等函数。1.幂函数的导数公式我们先来看一下以下几个基本幂函数的导函数结果，归纳出幂函数的导数公式。问题探究

物理意义：若y=x(如图示)表示路程关于时间的函数，则y′=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.问题探究即xyy=xO

问题探究即xyy=x2O几何意义：y′=2x表示函数y=x2的图象上点(x,y)处切线的斜率为2x,说明随着x的变化,切线的斜率也在变化.

y′=2x表明:当x<0时，随着x的增加，|y′|越来越小，y=x2减少得越来越慢；

当x>0时，随着x的增加，|y′|越来越大，y=x2增加得越来越快.物理意义：若y=x2表示路程关于时间的函数，则y′=2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x.

几何意义：y′=3x2表示函数y=x3的图象上点(x,y)处切线的斜率为3x2，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数.

解:问题探究即xyy=x3O

问题探究即xyO探究画出函数的图象，根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.

问题探究即1.幂函数的导数公式我们先来看一下以下几个基本幂函数的导函数结果，归纳出幂函数的导数公式。问题探究

物理意义：若y=c(如图示)表示路程关于时间的函数，则y′=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态.

问题探究即也就是说任意一个常数的导数是0.2.常数函数的导数公式xyy=cO正余弦导数公式特别的好记，接下来我们看一下复杂的证明过程，感兴趣同学可以了解一下。问题探究3.正余弦函数的导数公式

指数函数的导函数的推导过程远远超出了高中知识，我们现在在课堂上推不了，所以就看特殊情况，当a=e时的推导过程。问题探究4.指对数函数的导数公式

对数函数的导函数的推导过程也远远超出了高中知识，我们现在在课堂上都推不了，所以就看特殊情况，当a=e时的推导过程。问题探究4.指对数函数的导数公式基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝f(x)＝sinxf′(x)＝f(x)＝cosxf′(x)＝f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝f(x)＝exf′(x)＝f′(x)＝f′(x)＝αxα－1cosx－sinxaxlnaex公式归纳例1求下列函数的导数:解：典例分析1.求下列函数的导数:解：课本P751.求下列函数的导数:解：课本P75小结：利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式．若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行先化简或变形后再求导，如根式要化成指数幂的形式求导.2.求下列函数在给定点处的导数:解：课本P75小结：应用导数的定义求导，是求导数的基本方法，但运算较繁琐，而利用导数公式求导数，可以简化求导过程，降低运算难度，是常用的求导方法．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导.解：课本P75解：课本P75例2假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位:元)与时间t(单位:年)之间的关系为

其中p0为t=0时的物价.假定某种商品的p0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01元/年)?解：典例分析思考：如果某种商品的p0=5,那么在第10个年头这种商品的价格上涨的速度大约是多少？1．应用导数的定义求导，是求导数的基本方法，但运算较繁琐，而利用导数公式求导数，可以简化求导过程，降低运算难度，是常用的求导方法．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导.课堂小结2．利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式