余弦定理、正弦定理（第1课时+余弦定理）2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章平面向量及其应用6.4.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理学习目标1.掌握余弦定理及其推论.2.借助向量的运算,探索余弦定理的证明过程.3.能够利用余弦定理解决有关问题.基础落实·必备知识一遍过知识点

余弦定理与解三角形1.文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和

这两边与它们夹角的

的两倍.

2.符号语言:在△ABC中,a2=

,b2=

,c2=

.

3.在△ABC中,cosA=

,cosB=

,cosC=

.

4.一般地,三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.减去

余弦的积

b2+c2-2bccosAc2+a2-2cacosB

a2+b2-2abcosC思考辨析1.结合三角形全等的判定定理,如果已知三角形的两边及它们的夹角,那么三角形的其他元素唯一确定吗?提示

唯一确定,因为三角形的两边及它们的夹角确定,满足三角形全等的判定定理,三角形的六个元素都唯一确定.2.在△ABC中,已知三边长分别为a,b,c,如何判断三角形的形状?提示

不妨设a<b<c,则当a2+b2<c2时,△ABC为钝角三角形;当a2+b2=c2时,△ABC为直角三角形;当a2+b2>c2时,△ABC为锐角三角形.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)勾股定理就是余弦定理中夹角为直角时的特例.(

)(2)已知三角形的三边求三个内角时,解是唯一的.(

)(3)在△ABC中,若a2>b2+c2,则△ABC一定为钝角三角形.(

)(4)在△ABC中,若a2<b2+c2,则△ABC一定为锐角三角形.(

)√√√×2.(北师大版教材习题)在△ABC中,已知b=1,c=2,A=60°,则a=

.

解析

由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos

A=12+22-2×1×2cos

60°=3,故a=.

重难探究·能力素养速提升探究点一已知两边及一角解三角形【例1】

(1)在△ABC中,已知b=3,c=2,A=30°,求a;(2)在△ABC中,已知b=3,c=3,B=30°,求角A、角C和边a.变式探究1(改条件)在本例(2)中,将“b=3”改为“b=1”,求边a.

★★变式探究3在本例(2)中,去掉条件“b=3”,问:若满足条件的三角形有两个,求b的取值范围.

规律方法

已知三角形的两边及一角解三角形的方法已知三角形的两边及一角解三角形,必须先判断该角是给出两边中一边的对角,还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角,可以由余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的对角,可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边.本质是方程思想的应用,四个量中“知三求一”.变式训练1(1)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若a=3,b=2,cos(A+B)=,则c=(

)D(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知B探究点二已知三边解三角形

(2)在△ABC中,已知a∶b∶c=2∶

+1),求各内角的度数.变式探究本例(2)中,将条件变为“三角形的三条边长分别为”,求其最大角与最小角之和.规律方法

已知三角形的三边解三角形的方法

探究点三利用余弦定理判断三角形形状【例3】

(1)在△ABC中,(a+b+c)(a+b-c)=3ab且2cosAsinB=sinC,试判断三角形的形状;解

∵A+B+C=180°,∴sin

C=sin(A+B).∵2cos

Asin

B=sin

C,∴2cos

Asin

B=sin

Acos

B+cos

Asin

B,∴sin

Acos

B-cos

Asin

B=0,∴sin(A-B)=0.∵0°<A<180°,0°<B<180°,∴-180°<A-B<180°,∴A-B=0°,即A=B.又(a+b+c)(a+b-c)=3ab,∴a2+b2-c2=ab,∴cos

C=.∵0°<C<180°,∴C=60°,∴△ABC为等边三角形.(2)在△ABC中,若acosB+acosC=b+c,试判断该三角形的形状.规律方法

三角形形状的判断方法(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需要从“统一”入手,即使用转化思想解决问题.一般有两条思考路线:①先化边为角,再进行三角恒等变换,求出三角之间的数量关系.②先化角为边,再进行代数恒等变换,求出三边之间的数量关系.(2)判断三角形的形状时,经常用到以下结论:①△ABC为直角三角形⇔a2=b2+c2或c2=a2+b2或b2=a2+c2.②△ABC为锐角三角形⇔a2+b2>c2,且b2+c2>a2,且c2+a2>b2.③△ABC为钝角三角形⇔a2+b2<c2或b2+c2<a2或c2+a2<b2.④若sin

2A=sin

2B,则A=B或A+B=.变式训练2已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(a+b+c)(b+c-a)=3bc.(1)求A的大小;(2)若b+c=2a=2,试判断△ABC的形状.本节要点归纳1.知识清单:(1)余弦定理.(2)余弦定理解决的两类问题.(3)余弦定理的简单应用.2.方法归纳:化归转化、数形结合.3.常见误区:易忽略三角形中的隐含条件.学以致用·随堂检测促达标1234567

B

123452.在△ABC中,a=1,b=,c=2,则B等于(

)A.30° B.45°C.60° D.120°C671234567B解析

由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos

A,即AB2-4AB-5=0,解得AB=5(负值舍去).故选B.12345674.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=2acosC,则△ABC为(

)A.直角三角形

B.等边三角形C.等腰三角形

D.等腰直角三角形C12345675.设a+1,a+2,a+3是钝角三角形的三边长,则a的取值可能是(

)A.3 B.2C.1 D.0C