初中数学七年级下册（北师大版）核心知识清单：简单的轴对称图形

初中数学七年级下册（北师大版）核心知识清单：简单的轴对称图形

一、轴对称现象的核心概念辨析与基础判断

【基础】本部分是整个章节的逻辑起点，准确理解概念是解决复杂问题的前提。

（一）轴对称图形与成轴对称的区别与联系

1.轴对称图形的定义：对于一个特定的平面图形而言，如果存在一条直线，将该图形沿着这条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。【易错点】对称轴是一条直线，而不是线段或射线。例如，等腰三角形底边上的高所在的直线是其对称轴，但“高”本身作为线段并不是对称轴。

2.成轴对称的定义：对于两个图形来说，如果沿着一条直线对折，它们能够完全重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴。

3.辩证关系：【难点】把成轴对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个整体就是一个轴对称图形；反之，如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个部分就成轴对称。根本区别在于涉及的是“一个图形”还是“两个图形”。

（二）轴对称的性质

【非常重要】这是进行推理、作图、计算的根本依据。

4.全等性：关于某条直线对称的两个图形是全等形。即对应线段相等，对应角相等。

5.垂直平分性：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。同理，轴对称图形的对称轴，也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

6.距离相等：对应点到对称轴的距离相等。

二、简单的轴对称图形之一：线段

（一）线段的轴对称性

线段是轴对称图形，它有两条对称轴。【高频考点】一条是这条线段所在的直线（这是一条容易被忽略的对称轴，因为它无限延伸，折叠时两旁部分可以重合）；另一条是它的垂直平分线。

（二）垂直平分线的定义

垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。

（三）线段垂直平分线的性质定理

【核心考点】线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

几何语言表述：如图，若直线l是线段AB的垂直平分线，点P在直线l上，则PA=PB。

（四）性质定理的逆定理

【判定】到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

（五）尺规作图

1.作线段的垂直平分线：分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段一半的长度为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线，即为所求。

2.找对称轴：对于任意图形，找对应点，作对应点连线的垂直平分线，即得对称轴。

三、简单的轴对称图形之二：角

（一）角的轴对称性

角是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在的直线。

（二）角平分线的性质定理

【核心考点】角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

【特别注意】这里的“距离”指的是点到直线的距离，即垂线段的长度。

几何语言表述：如图，若OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，则PD=PE。

（三）性质定理的逆定理

【判定】在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

（四）尺规作图

作一个角的平分线：以角的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交角的两边于两点；分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在角内部交于一点；连接角的顶点和这个交点，所得射线即为所求。

四、简单的轴对称图形之三：等腰三角形

（一）等腰三角形的定义

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。

（二）等腰三角形的性质

1.轴对称性：【基础】等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是底边上的中线、底边上的高、顶角的角平分线所在的直线。注意：是“所在的直线”。

2.等边对等角：【高频考点】等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。这是证明角相等的重要依据。

3.三线合一：【非常重要】等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合（简称“三线合一”）。【解题思路】遇到等腰三角形的问题时，常通过作底边上的高（或中线、或顶角平分线）来构造辅助线，从而利用这一性质解题。注意：必须是底边上的这三条线，腰上的不具备此性质。

（三）等腰三角形的判定

4.定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。

5.等角对等边：【核心考点】如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。这是证明线段相等的重要方法。

（四）等边三角形

6.定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。它是特殊的等腰三角形（底边和腰相等的等腰三角形）。

7.性质：【重要】等边三角形的三条边相等，三个内角都相等，且每个内角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴（分别是三边上的中线、高线或角平分线所在的直线）。

8.判定：【高频考点】

（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形。

（2）三角相等法：三个角都相等的三角形是等边三角形（或有两个角是60°的三角形是等边三角形）。

（3）等腰三角形法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。这个判定方法非常灵活，若已知等腰三角形，只需再找一个60°角即可。

五、轴对称在运动变化中的综合应用

（一）关于坐标轴对称的点的坐标规律

【重要】在平面直角坐标系中（常结合点的坐标变换考查）：

1.点P(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)。记忆口诀：横相同，纵相反。

2.点P(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y)。记忆口诀：横相反，纵相同。

（二）轴对称作图

【基本步骤】

3.找点：找出原图形中的关键点（如多边形的顶点、线段的端点等）。

4.作垂线：过关键点分别作对称轴的垂线，并延长。

5.截等距：在另一侧截取与关键点到对称轴距离相等的点，得到其对称点。

6.连线：按照原图形的顺序，依次连接这些对称点。

（三）折叠问题（轴对称变换）

【热点与难点】折叠问题本质上就是轴对称变换，折叠前后的两部分图形关于折痕所在直线成轴对称。

7.核心性质：折叠前后的对应边相等，对应角相等；折痕所在的直线是对应点连线的垂直平分线。

8.解题策略：在矩形、三角形等图形中，折叠后往往会产生等腰三角形（如将矩形的一个角折叠，折痕与边交点构成的三角形常常是等腰三角形）或全等三角形，要善于从折叠的等量关系中建立方程求解线段长度或角度大小。

（四）最短路径问题（将军饮马模型）

【核心素养考点】利用轴对称解决路径极值问题，体现转化思想。

9.模型一（两定点在直线异侧）：如图，直线l同侧有A、B两点，在l上求作一点P，使PA+PB最小。解法：作点A关于直线l的对称点A，连接AB与直线l的交点即为点P。【数学原理】两点之间，线段最短；轴对称的性质将同侧线段转化为异侧线段。

10.模型二（两定点在直线同侧）：如果A、B在直线l两侧，直接连接AB与l的交点即为所求。

11.拓展模型：包括“将军饮马”的变式，如三角形或四边形周长最小问题，常通过作两次对称点来解决。

六、数学思想方法与易错点深度剖析

（一）分类讨论思想

【难点与必考点】在等腰三角形问题中，由于顶角和底角、腰和底边的不确定性，常常需要分类讨论。

1.角度讨论：已知等腰三角形的一个角，求另外两个角时，必须讨论这个已知角是顶角还是底角。特别注意：当已知角为钝角或直角时，它只能作为顶角，因为底角必须是锐角。

2.边长讨论：已知等腰三角形的两边长，求周长或第三边长时，必须讨论哪条边是腰，哪条边是底边。最后还需要用三角形三边关系定理（两边之和大于第三边）进行检验，排除不能构成三角形的情况。

（二）方程思想

在涉及等腰三角形的角度或边长计算时，常通过设未知数，利用内角和定理或等量关系建立方程求解。

（三）转化思想

3.利用轴对称的性质，将线段或角进行转移，将分散的条件集中到一个图形中解决问题。

4.在最短路径问题中，将同侧的两条线段之和转化为一条直线异侧的两点之间的线段。

（四）易错点清单

5.对称轴是一条直线，不是线段。表述时要说“底边上的高所在的直线”而不是“底边上的高”。

6.“三线合一”指的是底边上的三线，且这三线指的是线段所在直线，在解题书写时要注意前提条件（已知等腰和其中一线，推另外两线）。

7.角平分线的性质定理和线段垂直平分线的性质定理中，都有“距离”一词，但角平分线中的距离是点到线的垂线段长，而垂直平分线中的距离是点到点的距离。

8.在判定等腰三角形时，“等角对等边”必须在同一个三角形中使用。

七、常见题型与考向预测

（一）基础识图题

给出不同的数字、字母、汉字或生活图案，判断是否为轴对称图形，并指出对称轴条数。

（二）性质应用题

1.角平分线与垂直平分线的综合应用：例如，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为30，△ABD的周长为20，求AC的长。

2.等腰三角形“三线合一”的应用：例如，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，若∠BAD=30°，求∠C的度数。

3.等边三角形性质的应用：常结合三角形的全等进行角度或线段的证明与计算。

（三）折叠与拼接问题

以矩形、三角形或正方形为背景，通过折叠产生新的