小学数学五年级上册“除数是整数的小数除法”知识清单

小学数学五年级上册“除数是整数的小数除法”知识清单

一、核心概念与算理溯源

（一）小数除法的本质意义【基础】

小数除法的意义与整数除法相同，同样是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。当这个积是小数，而除数是整数时，就是我们研究的“除数是整数的小数除法”。其本质是将一个整体（单位“1”）平均分成若干份，求每份是多少，或者求一个数里面包含多少个另一个数（整数倍）。例如，9.6除以3，既表示把9.6平均分成3份，每份是多少；也表示9.6里面有多少个3。理解这一本质，是后续所有计算和应用的基石。

（二）核心算理：计数单位的细分与重组【非常重要】

小数除法的核心算理建立在“计数单位”的细分与重组之上。当整数部分除完有余数时，这个余数实际上是以当前最低位的计数单位表示的，我们需要将其转化为更小的、下一级的计数单位，以便继续除下去。

1.整数部分除尽，小数部分继续：例如计算4.2÷2，我们将其看作42个0.1除以2，得到21个0.1，即2.1。

2.整数部分除后有余数，与小数部分合并：例如计算3.6÷3，整数部分3除以3得1，余数为0，然后将十分位上的6个0.1拉下来继续除，得到2个0.1，商为1.2。

3.整数部分不够除，商0占位：例如计算1.8÷12，整数部分1小于除数12，不够商1，此时应在个位商0占位，表示商是一个小于1的数。然后将1看成10个0.1，与十分位的8个0.1合并成18个0.1，再除以12，得到1个0.1（商在十分位）和余数6个0.1，再将余数6个0.1细化为60个0.01，继续除下去。

（三）与整数除法的内在联系【基础】

除数是整数的小数除法，其计算步骤、试商方法与整数除法完全一致，唯一的区别在于商的小数点位置的确定。可以说，它是整数除法的自然延伸和扩展。掌握了整数除法的算理和算法，就掌握了小数除法的一半。教学中应强调两者之间的“同构性”，帮助学生构建完整的除法知识体系。

二、计算方法与规范步骤

（一）基本计算法则【非常重要】

按照整数除法的法则去除，商的小数点要与被除数的小数点对齐。

1.列竖式：除数是整数的小数除法，列竖式时，除数和被除数的书写位置与整数除法相同。被除数的小数点要明确点出。

2.【高频考点】商的小数点定位：这是计算的灵魂步骤。在计算出商的最高位后，在点商的小数点时，必须确保它与被除数的小数点对齐。也就是说，在被除数的小数点上方，商的小数点也要点在相同的位置。

3.逐位计算：从被除数的最高位除起，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。

4.处理余数：每一次除完后，如果有余数，就在余数的末尾添上0（实际上是将余数转化为更小的计数单位），再继续除。

（二）几种典型情况的处理

5.【难点】被除数整数部分小于除数，商小于1的情况

1.6.【解题步骤】先看被除数的整数部分，如果整数部分比除数小，个位不够商1，就在商的个位上写0占位，并在0的后面点上小数点。然后，将被除数整数部分和十分位上的数合起来（即看作几个十分之一）继续除。

2.7.例如：计算0.48÷4，整数部分0小于4，个位商0，点上小数点后，将十分位上的4拉下来，用4个0.1除以4，商1个0.1，写在十分位；再将百分位上的8拉下来，用8个0.01除以4，商2个0.01，写在百分位。最终商为0.12。

8.【难点】除到被除数末尾仍有剩余，需要补0继续除的情况

1.9.【解题步骤】按照整数除法法则计算，当除到被除数的末位还有余数时，就在余数后面添0（相当于将被除数视为小数，其末尾有无数个0），再继续除。

2.10.例如：计算12.5÷5，个位商2，余2，落下十分位5，组成25个0.1，除以5商5个0.1，得到2.5，除尽。若计算13÷4，整数部分13除以4商3余1，此时我们应将被除数13看作13.0，将余数1个一转化为10个0.1，继续除以4，商2个0.1，余2个0.1，再将2个0.1转化为20个0.01，继续除以4，商5个0.01，最终商为3.25。

11.【基础】被除数整数部分恰好除尽，商是整数的情况

1.12.例如：计算7.2÷2，个位商3，余1（个一），落下十分位2，组成12个0.1，除以2商6个0.1，得到3.6。这里商的小数点必须点出，尽管结果可能看起来像一个整数，但计算过程中小数部分参与了运算。

（三）验算方法【重要】

小数除法的验算与整数除法完全相同，用乘法进行验算：商×除数=被除数。

1.【易错点】验算时，如果商和除数都是小数，乘得的积的小数位数要准确，确保与原被除数相等。

2.例如：验算15.6÷12=1.3，用1.3×12，计算得到15.6，与原被除数相等，说明计算正确。

三、考点、考向与常见题型分析

（一）【高频考点】直接写得数（口算）

1.考查方式：给出几道简单的除数是整数的小数除法算式，要求学生直接写出得数。

2.考查要点：学生对基本算理和计算方法的熟练程度，特别是商的小数点定位和0的占位问题。

3.典型例题：2.4÷2=？3.6÷3=？0.8÷4=？6.3÷7=？4.8÷6=？0.25÷5=？

4.解题策略：强化“计数单位”的思考方式。如2.4是24个0.1，除以2得12个0.1，即1.2。

（二）【非常重要】列竖式计算

1.考查方式：提供一道或多道稍复杂的算式，要求学生列竖式进行计算，有时还会要求验算。

2.考查要点：全面考察计算过程的规范性、商的小数点定位、余数处理、补0继续除等核心技能。

3.常见题型及易错点：

1.4.整数部分不够除：如1.26÷18。

1.2.5.【易错点】个位忘记商0占位，直接写1.26÷18=0.7（错误，应商0.07）。

2.3.6.【正确解答要点】个位商0占位，点上小数点，将1.26看作126个0.01，除以18，商7个0.01，写在百分位上，结果为0.07。

4.7.除到末尾有余数：如3.9÷15。

1.5.8.【易错点】除到被除数末尾（9个0.1）除完，余数为9？实际上9个0.1除以15不够，应在十分位商0？不对。正确应是3除以15不够，看39个0.1，商2个0.1，余9个0.1，此时应在余数9后添0，变成90个0.01，再除以15，商6个0.01，结果是0.26。

2.6.9.【正确解答要点】计算过程中，只要有剩余，就要添0继续除，直到除尽或按要求保留小数位数为止。

7.10.商的中间有0：如6.09÷3。

1.8.11.【易错点】计算时，十位（整数部分）除尽，个位（十分位）是0，容易忘记商0占位，直接拉下百分位，导致商多一位。

2.9.12.【正确解答要点】个位6除以3，商2，没有余数。接下来看十分位，十分位上是0，0除以3得0，因此要在商的十分位上写0占位。然后再落下百分位上的9，继续除。最终商为2.03。

10.13.被除数整数部分为0：如0.036÷12。

1.11.14.【易错点】整数部分0除以12，商0，点上小数点后，十分位是0，百分位是3，容易忽略十分位的0占位，直接商3。

2.12.15.【正确解答要点】整数部分0，个位商0，点上小数点。十分位0除以12，商0（占位）。百分位3个0.01除以12不够，商0（占位）。千分位36个0.001除以12，商3个0.001。最终结果为0.003。

（三）【热点】解决实际问题（应用题）

1.考查方式：创设生活情境，如购物、平均分、行程、制作物品等，要求学生运用小数除法解决实际问题。

2.考查要点：培养学生的“四能”（发现和提出问题、分析和解决问题），以及将现实问题抽象为数学模型的能力。同时考察对“进一法”或“去尾法”取近似数的理解。

3.常见题型：

1.4.平均分问题：如“5千克苹果共32.5元，平均每千克多少元？”（总价÷数量=单价）

2.5.倍数问题：如“爸爸身高1.78米，是小明身高的2倍，小明身高多少米？”（已知一个数的几倍是多少，求这个数）

3.6.包含除问题：如“一根绳子长20.4米，每1.2米剪成一段，可以剪成多少段？”这里除数是小数，属于下一课时内容，但本课时可能会涉及除数是整数的包含除，如“每段长0.85米，可以剪成多少段？”

4.7.涉及近似数的实际问题：

1.5.8.【难点】“去尾法”：如“用一根25米长的红丝带包装礼盒，每个礼盒要用1.5米，这根红丝带可以包装多少个礼盒？”（25÷1.5≈16.666...，实际只能包装16个，因为剩下的不够一个礼盒）

2.6.9.【难点】“进一法”：如“有20.5吨货物，用一辆载重4.5吨的卡车一次运完，需要运几次？”（20.5÷4.5≈4.555...，实际需要5次，因为剩下的货物也需要一次运输）

3.7.10.【注意】在五年级上册学习小数除法时，近似数的取法常与生活情境结合，需要学生根据实际情况判断。

（四）【基础】填空、判断、选择题

1.考查方式：以填空、判断、选择的形式，考察对算理、算法、概念的理解和辨析能力。

2.常见考点：

1.3.商的小数点与被除数小数点对齐的原因。（对应计数单位）

2.4.在除法算式中，被除数不变，除数扩大或缩小，商如何变化。（商的变化规律）

3.5.判断商大于1还是小于1。（比较被除数整数部分与除数的大小）

4.6.根据乘法算式写出除法算式的得数。（利用乘除法互逆关系）

5.7.辨析“一个数除以小于1的数，商比原数大”等性质（此性质在除数是小数的除法中更常用，但本课时亦可做铺垫）。

6.8.在（）里填上适当的数，如：根据26×15=390，直接写出3.9÷15=()，3.9÷26=()。

四、易错点深度剖析与规避策略

（一）商的小数点漏点或点错位置

1.错误表现：竖式计算时，商的小数点没有点，或者点在了其他位置（如与被除数整数部分对齐）。

2.原因分析：对算理理解不透彻，只记住了整数除法的计算步骤，忽略了小数的特殊性。没有建立起“计数单位统一”的概念。

3.规避策略：

1.4.强化算理：多问“这个数表示什么？”“几个几除以几，得到几个几？”。例如计算9.6÷3，要引导学生思考：9.6是96个0.1，除以3得32个0.1，32个0.1就是3.2，所以小数点点在3的后面。

2.5.口诀记忆：牢记“商的小数点，要和被除数的小数点对齐”。

3.6.习惯培养：在列竖式时，先在被除数上方用一个小箭头轻轻点出小数点位置，商写一位，点就跟着移一位。

（二）整数部分不够除，商的个位忘记写0占位

1.错误表现：如计算4.5÷5，直接写成45÷5=9，结果是9。

2.原因分析：受整数除法负迁移影响，认为除法就是“大数除以小数”，忽略了个位商0的规则。对商0占位的作用不理解。

3.规避策略：

1.4.对比练习：将整数除法与小数除法对比。如45÷5=9，4.5÷5=0.9。为什么一个是9，一个是0.9？让学生理解被除数的计数单位不同，导致结果的意义不同。

2.5.估算意识：计算前先估算。4.5除以5，肯定小于1，所以商一定是一个小于1的数，整数部分必须有0。

3.6.专项训练：多练习被除数整数部分小于除数的情况，如0.72÷8，1.5÷25等，强化“整数部分不够，个位商0”的步骤。

（三）除到被除数末尾仍有余数，忘记添0继续除

1.错误表现：如计算7÷8，商0.8后余6，就不再除下去了，认为结果就是0.8余6。

2.原因分析：对小数的基本性质（小数的末尾可以添上或去掉0，大小不变）理解不深，没有意识到被除数可以看作7.000...来继续除。

3.规避策略：

1.4.数形结合：可以用线段图或面积模型，直观演示将余数进一步细分为更小的单位的过程。

2.5.强调性质：明确在小数除法中，根据需要可以在被除数末尾添0，添0后只是计数单位变小了，数的大小不变，因此可以继续除下去。

3.6.步骤固化：将计算步骤编成顺口溜：“一除二乘三减四落，有余末尾添零再继续”。

（四）商中间有0的情况处理不当

1.错误表现：如计算8.04÷4，在十分位上商0后，忘记落下百分位上的4，或者直接将4与0合并计算。

2.原因分析：对试商过程理解机械，没有按照“除到哪一位，商就写在哪一位上面”的规则执行。

3.规避策略：

1.4.明确数位：在竖式计算时，用尺子辅助，明确标出个位、十分位、百分位的位置，确保商写在正确的数位上。

2.5.分步提问：每一步都问学生“我们现在除到了哪一位？”“这一位上的数除以除数，够不够商1？不够怎么办？”通过提问强化每一步的逻辑。

五、思维拓展与跨学科融合

（一）与分数、比的初步联系

1.拓展点：小数除法可以转化为分数形式。例如a÷b=a/b(b≠0)。理解这个关系，可以帮助解决一些逆向思维问题。如已知商是0.25，除数是8，求被除数，就可以用0.25×8=2，也可以用分数思维：0.25=1/4，被除数=8×1/4=2。

2.深化理解：两个数相除的结果可以用小数、分数或比来表示，它们之间可以互相转化，这为学生后续学习比例和百分数打下基础。

（二）与科学学科的融合

1.情境应用：

1.2.物理（速度计算）：光速约30万千米/秒，太阳光到达地球需要约8.3分钟，求地球到太阳的距离。（涉及时间单位的换算和小数乘法）

2.3.化学（溶液浓度）：配置一种盐水，20克盐溶解在180克水中，盐占盐水的几分之几？用小数如何表示？（20÷200=0.1）

3.4.生物（单位换算）：一只蜂鸟约重2.1克，一只麻雀约重50克，麻雀的重量是蜂鸟的多少倍？（50÷2.1，这里除数是小数，可引导学生先转化单位或用商不变规律，初步感知后续学习内容）

（三）与生活实际的深度结合

1.项目式学习：设计一个“家庭水电费计算”的小项目。要求学生收集自家上个月的水表、电表读数，根据阶梯电价、水价标准，计算应缴费用。在这个过程中，他们会大量遇到小数除法（如总价÷单价=用量，总用量÷天数=平均每天用量等），将枯燥的计算变为有意义的探究。

（四）巧算与简便运算

1.拓展点：虽然本课时主要学习基本计算，但可以渗透一些巧算思想。

1.2.利用商不变规律：有时可以将被除数和除数同时扩大相同的倍数（如都变成整数），再进行计算，这实际上是除数是小数的除法的雏形。例如2.5÷5=25÷50=0.5。但需注意，本课时除数是整数，此方法主要用于检验或简便理解。

2.3.分解法：将被除数拆分成几个部分分别除以除数再相加。如12.6÷3=(12+0.6)÷3=12÷3+0.6÷3=4+0.2=4.2。这体现了除法分配律的性质（注意除法没有传统意义上的分配律，但(a+b)÷c是成立的，而a÷(b+c)不成立，需区分）。

六、知识整合与体系构建

（一）本课知识在小学阶段的位置

除数是整数的小数除法是学生从整数计算世界迈向小数计算世界的关键一步。它上承整数除法（四则运算）、小数的意义和性质，下启除数是小数的除法、小数四则混合运算、解决问题策略多样化，在整个小学数学计算体系中起着至关重要的承上启下作用。

（二）与前后知识的关联

1.前置知识：

1.2.整数除法的计算方法。

2.3.小数的意义（十分位、百分位、千分位及其计数单位）。

3.4.小数的基本性质（末尾添0或去0，大小不变）。

4.5.整数除以整数，商是小数（如3÷4）。

6.后续知识：

1.7.除数是小数的除法（核心转化思想：利用商不变规律，将除数转化为整数）。

2.8.小数四则混合运算（运算顺序、简便运算）。

3.9.循环小数（当除不尽时，认识循环小数）。

4.10.用小数除法解决复杂的实际问题（如相遇问题、工程问题）。

（三）构建知识网络

1.横向联系：将小数除法与小数的加减乘法进行对比。加减法强调小数点对齐（相同数位对齐），乘法强调末位对齐（先按整数乘，再点小数点），而除法则强调商的小数点与被除数对齐。通过对比，深化对“数位对齐”这一核心概念在不同运算中的具体表现的理解。

2.纵向联系：将小数除法纳入“除法”大概念之下。除法是乘法的逆运算，是平均分和包含除的数学模型。无论是整数除法还是小数除法，其核心思想都是“分”和“细分化”。当整数不够分时，我们就把它细化为更小的单位继续分。这种“化整为零，化大为小”的思想，是解决复杂问题的通用策略。

七、综合