专题复习圆中辅助线的作法课件华东师大版九年数学专题复习

专题复习

圆中辅助线的作法核心素养目标1、核心价值：几何想象和逻辑推理2、专题素养目标①知识目标：能根据不同的条件作出适当的辅助线，让学生理解圆并能转化为三角形知识求解；②能力目标：转化思想、数形结合能力；③情感目标：体验圆中作辅助线解决问题的乐趣，感受圆中逻辑推理的魅力和圆的美。题型一：利用直径构造直角三角形题型二：利用垂径定理构造直角三角形题型三：构造直角三角形证切线题型一：利用直径构造直角三角形ABCO理由：半圆或直径所对的圆周角等于90°中考再现1、（2025年中考数学湖南省长沙市卷）如图1，点O是以AB为直径的半圆的圆心，AD与BC均为该半圆的切线，C，D均为直径AB上方的动点，连接CD，且始终满足CD=AD+BC。(1)求证:CD与该半圆相切;CBDAO

CBDAOE

中考再现

CBDAO【分析】(1)问考查等腰三角形的性质。E

CBDAO例1、如图，△𝐴𝐵𝐶内接于⊙𝑂，𝐶𝐷是⊙𝑂的直径，∠A𝐶𝐷=60°，则∠B的度数是（

）A.35° B．33°

C．30°

D．27°【分析】本题考查圆周角定理的性质，直径所对的圆周角为90°，解决本题的关键是利用同弧所对的圆周角相等这一性质来求解．解：连接𝐷A，如图，因为𝐶𝐷是⊙𝑂的直径，所以∠𝐶A𝐷=90°．在△A𝐶𝐷中，∠A𝐶𝐷=60°，∠𝐶A𝐷=90°，所以∠𝐷=180°−∠A𝐶𝐷−∠𝐶A𝐷=180°−60°−90°=30°．因为∠B和∠𝐷都是弧𝐵𝐶所对的圆周角，所以∠B=∠𝐷=30°．所以答案选C反馈练习11、（25-26九年级上·北京·期中）如图，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，C，D是⊙𝑂上的两点，∠D=130°，则∠B𝐴𝐶的度数为（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，

半圆(或直径)所对的圆周角是直角，掌握相关知识是解决问题的关键．解：如图，连接𝐵𝐶，∵∠𝐵+∠𝐴𝐷𝐶=180°，∴∠B=180°−130°=50°．∵𝐴𝐵为⊙𝑂的直径，∴∠𝐴𝐶𝐵=90°，∴∠CAB=90°−∠𝐵=90°−50°=40°，故选：B．反馈练习12、（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，点𝐶，𝐷是圆上两点，连接𝐴𝐶，𝐴𝐷，𝐶𝐷．若∠𝐶=13°，则∠𝐵𝐴𝐷的度数为（

）A．80° B．85° C．86° D．87°【分析】本题考查了圆周角定理，连接𝐵𝐷，根据直径所对的圆周角是直角可得∠𝐴𝐷𝐵=90°，从而可得∠𝐴𝐵𝐷=13°，然后利用直角三角形两锐角互余，即可解答．解：连接𝐵𝐷，∵𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，∴∠𝐴𝐷𝐵=90°，∵∠𝐴𝐶𝐷=13°，∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐷=13°，∴∠𝐵𝐴𝐷=90°−∠𝐴𝐵𝐷=77°，故选：D．

【分析】先根据弧中点的意义得出𝐵𝐶=𝐵𝐷，再根据直径所对的圆周角是直角得出∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐶𝐵𝐷=90°，从而可利用勾股定理得出𝐵𝐶2+𝐵𝐷2=𝐶𝐷2，进而得到𝐶𝐷2=2𝐵𝐶2，再利用圆周角定理得出∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐵𝐶=30°，从而可求得2𝐴𝐶=𝐶𝐷=2，从中可求得A𝐶．解：连接𝐴𝐷，

反馈练习21．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AC=2，BC=1，∠ACD=60°，连接BD，则BD的长为(

)

【分析】此题考查了圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质．连接𝐴𝐷，根据题意得出∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐷𝐵=90°，再根据30°角的直角三角形的性质即可得解．解：如图，连接𝐴𝐷，

2．如图，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，𝐶、𝐷是⊙𝑂上的两点，且𝐷𝐵=𝐷𝐶，𝐷𝐸交𝐴𝐶的延长线于点𝐸,∠𝑂𝐷𝐸=90°．

（1）解：∵𝐷𝐵=𝐷𝐶，∴∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐵𝐴𝐷，∴∠𝐶𝐴𝐵=2∠𝐵𝐴𝐷，∵∠𝐷𝑂𝐵=2∠𝐵𝐴𝐷，∴∠𝐷𝑂𝐵=∠𝐶𝐴𝐵，∴𝐴𝐶∥𝑂𝐷，∴∠𝐸+∠𝑂𝐷𝐸=180°，又∵∠𝑂𝐷𝐸=90°∴∠𝐸=90°（2）解：如下图所示，过点𝐷作𝐷𝐹⊥𝐴𝐵，连接𝐷𝐵，

F

题型二：利用垂径定理构造直角三角形OACDB（弧中点）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）或弧的直径垂直弦；中考再现

BAODCFE

BAODCFENM根据等腰三角形三线合一的性质，可得OM平分∠AOB，ON平分∠AOB，所以OM与ON重合，垂直于同一直线的两直线互相平行。类型一、利用垂径定理求线段长问题

BAO【分析】本题主要考查了垂径定理、三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用垂径定理成为解题的关键．

BAEO

OECBAD

即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．

【变式训练2】如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC.CBOADFE

CBOADFE

CDBAFEO

CDBAFEO

EE(1)证明:过O作OE⊥AB于点E，如图由垂径定理可得AE=BE，CE=DE，AE-CE=BE-DE,AC=BD;(2)解:连接OC、OA，如图,∵AC=3，BC=5,∴AB=3+5=8,∴AE=4，∴CE=AE-AC=4-3=1,在Rt△AOE中，OE2=OA2-AE2=52-42=9Rt△COE中，OC2=CE2+OE2=1+9=10∴OC=3，即小圆的半径r为3;题型三：构造直角三角形证切线切线的判定定理：垂直于半径外端的直线是圆的切线；切线的性质定理：过切点的半径垂直切线.OCDB

CBOA中考再现【分析】本题是考查切线性质定理的经典题型。连结OC，则∠BCO=90°。(2)易得∠B=30°，即可证AC=BC。此题容易，是湖南省第一年实现全省联考，用于观摩考情。由∠ACB=120°，可得∠ACO=30°，即∠A=30°。CBOA

BPOA中考再现【分析】本题是考查切线性质定理的经典题型。连结OB，则∠PBO=90°，∠POB=40°，故∠PAB=20°。3、（2025年中考数学四川省自贡市卷）如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AB，作直径AC，延长OB2到点D，使DB=O2B，连接DC。求证:DC为⊙O2的切线;中考再现O1O2BACD【分析】本题是考查切线判定定理的经典题型。证明半径O2C⊥DC，则可证DC为⊙O2的切线。O1O2BACD

类型一、切线的证明：连半径，证垂直1．如图，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，𝐶是𝐴𝐵的中点，弦𝐶𝐷与𝐴𝐵交于点𝐸，𝑃是𝐴𝐵延长线上的一点，且𝑃𝐷=𝑃𝐸．求证：𝑃𝐷是⊙𝑂的切线．【分析】本题考查了圆的切线的判定定理、等腰三角形的性质，关键是“连半径，证垂直”的方法的使用；连接𝑂𝐷,𝑂𝐶，证∠𝑂𝐷𝑃=90°即可．证明：连接𝑂𝐷,𝑂𝐶，∵𝑂𝐶=𝑂𝐷，∴∠𝑂𝐶𝐷=∠𝑂𝐷𝐶，∵𝑃𝐸=𝑃𝐷，∴∠𝑃𝐸𝐷=∠𝑃𝐷𝐸，∵𝐶是𝐴𝐵的中点，∴∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐶𝑂𝐵，∵∠𝐴𝑂𝐶+∠𝐵𝑂𝐷=180°，∴∠𝐶𝑂𝐵=90°，∵∠𝑂𝐶𝐷+∠𝐶𝐸𝑂=90°，∴∠𝑂𝐷𝑃=∠𝑂𝐷𝐸+∠𝑃𝐷𝐸=90°，即：𝑃𝐷是⊙𝑂的切线．【变式训练1】．如图，在⊙𝑂中，𝐴𝐵是直径，𝐴𝐸是弦，F是𝐴𝐸上一点，𝐴𝐹=𝐵𝐸，𝐴𝐸,𝐵𝐹交于点C，D为𝐵𝐹延长线上一点，且∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐶𝐷A。求证：𝐴𝐷是⊙𝑂的切线．【分析】根据圆周角定理推出∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐴𝐵𝐹，根据∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐶𝐷𝐴，结合三角形得内角和定理，推出∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐶𝐴𝐷=90°，即可证明𝐴𝐷是⊙𝑂的切线．【详解】证明：∵𝐴𝐹=𝐵𝐸，∴∠𝐴𝐵𝐹=∠𝐵𝐴𝐸．又∵∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐶𝐷𝐴,∠𝐶𝐷𝐴+∠𝐴𝐵𝐹+∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐶𝐴𝐷=180°，∴∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐶𝐴𝐷=90°，即∠𝐵𝐴𝐷=90°，∴𝐴𝐷⊥𝐴𝐵，∴𝐴𝐷是⊙𝑂的切线．【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．【变式训练2】如图，𝐴𝐵是△𝐴𝐵𝐶的外接圆⊙𝑂的直径，点D为𝑂𝐵上一点，过点D作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点D，交𝐴𝐶的延长线于点E，点F为线段𝐷𝐸上一点，且𝐶𝐹=𝐸𝐹．求证：𝐶𝐹是⊙𝑂的切线；【分析】本题题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键；连结𝑂��，根据𝑂𝐴=𝑂𝐶，可得∠𝐴=∠𝑂𝐶𝐴，根据𝐶𝐹=𝐸𝐹，可得∠𝐸=∠𝐹𝐶𝐸，由𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，可得∠𝐴+∠𝐸=90°，进而得出∠𝑂𝐶𝐹=90°，即可得证．证明：连接𝑂𝐶，∵𝑂𝐴=𝑂𝐶，∴∠𝐴=∠𝑂𝐶��，∵𝐶𝐹=𝐸𝐹，∴∠𝐸=∠𝐹𝐶𝐸，∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点D，∴∠𝑂𝐷𝐸=90°，∴∠𝐴+∠𝐸=90°，∴∠𝑂𝐶𝐴+∠𝐹𝐶𝐸=90°，∵∠𝑂𝐶𝐴+∠𝑂𝐶𝐹+∠𝐹𝐶𝐸=180°，∴∠𝑂𝐶𝐹=90°，即𝑂𝐶⊥𝐶𝐹，∵𝑂𝐶是⊙𝑂的半径，∴𝐶𝐹是⊙𝑂的切线；类型一、切线的证明：作垂直，证半径

例题：如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切．【分析】利用正方形的性质得出AC平分角∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON，即可得出答案．证明：如图所示，连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC，又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴ON为⊙O的半径，∴CD与⊙O相切．N【变式训练1】如图，D是OC上任意一点，且D到OA和OB的距离相等，⊙D和OA相切于点E，连接CE．（1）求证：OB与⊙D相切；（2）若OE＝4，⊙D的半径为3，求CE的长．

（1）证明：连接DE，过点D作DF⊥OB于点F，如图所示：∵DF=DE,∴OB与⊙D相切；F

G

．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若BC＝6，AB＝10，求⊙O的半径长．【分析】（1）作OH⊥FA，垂足为点H，连接OE，证明AC是∠FAB的平分线，进而根据OH＝OE，OE⊥AB，可得AF是⊙O的切线；（2）勾股定理得出AC，设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，进而根据切线的性质，在Rt△OEA中，勾股定理即可求解．（1）证明：如图，作OH⊥FA，垂足为点