初中七年级下册数学第五章“生活中的轴对称”核心复习知识清单

初中七年级下册数学第五章“生活中的轴对称”核心复习知识清单

一、轴对称的基本概念与核心定义辨析

（一）轴对称图形与成轴对称【基础】【必考】

1、轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。理解这一概念时需抓住三个关键要素：一个图形、一条直线（即对称轴）、两部分完全重合。需特别注意，对称轴是一条直线，而非线段或射线。常见的轴对称图形举例：线段、角、等腰三角形、等边三角形、长方形、正方形、菱形、圆等。其中，圆的对称轴有无数条，角平分线所在的直线是角的对称轴。【易错点】角是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在的直线，而不是角平分线本身（角平分线是射线，其所在的直线才是对称轴）。

2、成轴对称的定义：对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。也可以表述为：这两个图形关于某条直线对称。

3、两者的区别与联系：【难点】

区别：轴对称图形研究的是一个具有特殊形状的图形，指的是这个图形的特征；而成轴对称研究的是两个图形之间的位置关系和形状关系，指的是两个图形能够完全重合。

联系：如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，如果把一个轴对称图形沿着对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称。两者的共同点都是沿着一条直线折叠后能够互相重合。

（二）对称轴与垂直平分线【重要】

1、垂直平分线的定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。垂直平分线必须具备两个条件：垂直（经过线段中点且与该线段垂直）和平分（经过线段的中点）。

2、对称轴的实质：在轴对称图形或成轴对称的两个图形中，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。这是轴对称最根本的性质，也是解决作图、计算等问题的重要依据。

二、轴对称图形的性质与判定

（一）轴对称的基本性质【核心】【高频考点】

1、对应点与对应线段：在轴对称图形或成轴对称的两个图形中，沿对称轴折叠后能够重合的点叫做对应点，能够重合的线段叫做对应线段，能够重合的角叫做对应角。

2、性质定理：关于某条直线对称的两个图形是全等形。这意味着它们的对应线段相等，对应角相等。

3、对应点连线性质：对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。即：如果两点关于某直线对称，那么这条直线垂直且平分这两点所连的线段。

（二）垂直平分线的性质与判定【重要】【必考点】

1、性质定理（线段垂直平分线上的点的性质）：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。【用法】用于证明两条线段相等，或用于在几何图形中寻找等腰三角形。

2、判定定理（点的位置判定）：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。【用法】用于证明点在直线上，或用于判断某条直线是否为线段的垂直平分线。

3、应用：常利用垂直平分线的性质解决实际生活中的选址问题，如“到两个村庄距离相等的供水点”等问题。

三、几种简单的轴对称图形及其特性【核心知识】

（一）线段的轴对称性

1、对称轴：线段是轴对称图形，它有两条对称轴。一条是它的垂直平分线（将线段垂直平分），另一条是线段本身所在的直线（沿着这条直线对折，线段两侧重合）。

2、核心性质：垂直平分线的性质是本节的灵魂。

（二）角的轴对称性

1、对称轴：角是轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线。

2、核心性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。【重要】【基础】这一性质在后续学习三角形全等和几何证明中有着广泛应用。

（三）等腰三角形的轴对称性【重中之重】【高频考点】

1、定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。

2、对称轴：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线（或者说是底边上的中线、底边上的高所在的直线，三线合一）。

3、性质一（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。【用法】这是证明两个角相等最重要的依据之一。

4、性质二（三线合一）：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。【重要】注意，只有顶角的平分线、底边的中线、底边的高才重合，腰上的对应线不满足此性质。

5、等腰三角形的判定（等角对等边）：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。【用法】这是判定一个三角形是等腰三角形，或者证明线段相等的重要方法。

（四）等边三角形的轴对称性【拓展】

1、定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）。它是特殊的等腰三角形。

2、对称轴：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是每条边上的中线（或高线，或内角的平分线）所在的直线。

3、性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。

4、判定：【方法一】三个角都相等的三角形是等边三角形；【方法二】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

四、轴对称的作图方法与步骤【技能】【必考点】

（一）画轴对称图形的依据

依据轴对称的基本性质：连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。

（二）画一个点关于某直线的对称点【解题步骤】

1、作垂线：过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O。

2、截等长：在所作垂线上，截取OA′=OA，使得点O是线段AA′的中点。

3、确定点：点A′即为点A关于直线l的对称点。

（三）画一个图形关于某直线的对称图形【解题步骤】

1、找点：在原图形上找出确定图形形状的关键点（如线段的端点、三角形的顶点、圆的圆心等）。

2、作点：分别作出这些关键点关于对称轴的对称点。

3、连线：按照原图形的顺序，将所作出的各个对称点依次连接起来，得到的图形即为所求的轴对称图形。

（四）网格中的轴对称作图【常见题型】

1、在网格中作图，通常需要借助网格的垂直、平行关系以及格点间的距离，利用数格子的方法或坐标变换的方法来确定对称点。

2、常与平面直角坐标系结合，考查关于坐标轴对称的点的坐标变化规律：【重要】点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，－y）；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y）。

五、轴对称的实际应用与模型建构

（一）最短路径问题【难点】【高频考点】

1、基本模型（两点一线）：在直线l上找一点P，使得点P到直线同侧两点A、B的距离之和（PA+PB）最小。【解题思路】作其中一点（如A）关于直线l的对称点A′，连接A′B，与直线l的交点即为所求的点P。依据是“两点之间线段最短”及“轴对称的性质”（将同侧线段转化为异侧）。

2、变式模型：包括“两线一点”（在两条相交直线上各找一点，使路径最短，即“将军饮马问题”的扩展）、“造桥选址”等，核心思想都是利用轴对称进行线段转移，化折为直。

3、解题步骤归纳：

（1）明确动点所在的直线（即对称轴）；

（2）将定点之一关于动点所在直线对称过去；

（3）连接对称点与另一定点，所得线段与直线的交点即为动点位置；

（4）此时路径长度即为该线段的长度。

（二）折叠问题【易错点】

1、折叠的本质：折叠是一种轴对称变换，折痕所在的直线就是对称轴。

2、折叠的性质：

（1）折叠前后的两个图形全等，即对应边相等，对应角相等。

（2）折痕（对称轴）垂直平分对应点所连的线段。

（3）折叠后，往往会产生等腰三角形或直角三角形，可利用勾股定理或等腰三角形的性质来求解线段长度或角度大小。

3、解题思路：在矩形、正方形或三角形折叠问题中，要善于找出折叠前后不变的量（边、角），设出未知数，利用勾股定理建立方程求解。【重点掌握】

（三）图案设计【综合实践】

利用轴对称可以进行美丽的图案设计。设计时，可以先画出一半的图形，再通过对称变换得到完整的图案。这也是中考中常见的开放型试题，考查学生的想象能力和应用意识。

（四）镜面对称问题

1、镜子中的像与现实中的物体关于镜面成轴对称。

2、解决时钟或车牌在镜子中的成像问题，可以采用“反面看”或“求对称”的方法。例如，从镜子中看到的时间，其实际时间通常可以用12:00减去镜中时间（或将试卷翻过面来从背面透视看）。

六、易错点与考点透析【冲刺提分】

（一）概念混淆型

1、混淆轴对称图形与成轴对称：误以为“全等的两个三角形一定关于某直线对称”。实际上，全等只是保证形状大小相同，但不保证位置关系满足轴对称（即对应点连线不一定被同一直线垂直平分）。

2、误判对称轴：认为矩形的对称轴是对角线所在的直线。实际上，矩形的对角线所在的直线不是矩形的对称轴（沿此线折叠两边不重合），矩形的对称轴是经过对边中点的直线。

（二）性质理解偏差型

1、对“三线合一”的误用：误认为等腰三角形底边上的任意一条线（如任意中线）都具有三线合一的性质。“三线合一”特指顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高这三条特定的线。

2、忽视对称轴是直线：在描述对称轴时，常常漏掉“直线”二字，或者说成“对称轴是垂直平分线”，不够严谨，必须说“直线”或“所在的直线”。

（三）作图与计算易错点

1、作对称点时未作垂线：画一个点的对称点时，只取了等长，但没有保证连线与对称轴垂直。

2、最短路径问题中找错点：在没有将问题转化为数学模型时，直接连接两点与直线相交，忽略了“同侧”和“异侧”的区别。

3、折叠问题中对应关系混乱：折叠后图形较复杂时，无法准确找出折叠前后相等的边和角，导致列方程出错。建议在图上用相同符号标记对应元素。

（四）高频题型归纳

1、选择题：判断常见的汉字、字母、交通标志、银行符号是否是轴对称图形，并数出对称轴的条数。【基础】

2、填空题：给出三角形或四边形折叠后的图形，求角度或线段长度；给出镜子中的影像，求实际时间或车牌号。【热点】

3、解答题：在网格中画出已知图形关于某直线的对称图形；利用轴对称的性质设计图案；综合三角形全等或勾股定理，证明线段相等或角度相等；构建最短路径模型解决实际问题。【压轴】

七、跨学科视野与思维拓展【素养提升】

1、与物理的结合：光在平面镜上的反射原理，即入射光线、反射光线与法线在同一平面内，且反射角等于入射角，本质上就是轴对称中的对应关系。台球的