小学六年级数学（下册）《比例》单元 图形的放大与缩小 精讲·培优知识清单

小学六年级数学（下册）《比例》单元图形的放大与缩小精讲·培优知识清单

一、【核心素养导向】知识全景图：理解图形变换的“变”与“不变”

本部分知识是“数与代数”领域中“比和比例”在“图形与几何”领域的具体应用，是连接算术倍比关系与初中相似形判定之间的桥梁。学习的终极目标并非仅仅是掌握画图技巧，而是通过图形的放大与缩小，深刻理解“变中不变”的数学思想——即图形的形状不变，大小改变。这要求我们具备跨学科的视野：在美术中，这叫“比例透视”；在摄影中，这叫“缩放构图”；在建筑中，这叫“模型制作”。【非常重要】【学科融合】

二、【本质解密】图形放缩的“黄金法则”：对应边等比

（一）核心定义

图形的放大与缩小是指按一定的比，把一个图形的各条边同时进行长度的变换，从而得到一个与原图形形状完全相同，但大小不同的新图形。【基础】

（二）【难点辨析】生活概念与数学概念的严格区分

生活中，我们常把“由小变大”叫放大，“由大变小”叫缩小。但在数学中，放大与缩小的判定标准是“比”的数值。【高频考点】

1、放大的数学定义：当把图形按（）的比放大时，表示变化后的图形与原图形对应边的比是（）。这个比的前项大于后项（比值大于1）。例如，按2:1放大，意味着新图形的边长是原图形边长的2倍。【重要】

2、缩小的数学定义：当把图形按（）的比缩小时，表示变化后的图形与原图形对应边的比是（）。这个比的前项小于后项（比值小于1）。例如，按1:3缩小，意味着新图形的边长是原图形边长的三分之一。【重要】

（三）【易错警示】比的顺序陷阱

在写比描述图形缩放时，务必注意：比的前项表示“变化后的新图形”，比的后项表示“原来的图形”。【极易错】命题者常在此设置干扰项，如问“按1:2放大”是否正确？答案是否定的，因为1:2意味着新图比原图小，应称为缩小。

三、【操作指南】方格纸上的“三步绘图法”

这是本部分最基本的技能考查，要求能在方格纸上精确绘制。【基础】【必考】

第一步：看（察形）

仔细观察原图形（通常是长方形、三角形、平行四边形等）在方格纸上所占的格数，即各条边的长度（底和高）。

第二步：算（定尺）

根据给定的比，计算出新图形各条边的长度。

计算法则：新边长的格数=原边长的格数×对应边的比（将比转化为倍数）。

1.例如：原长方形长4格，宽2格，按3:1放大。则新长=4×3=12格，新宽=2×3=6格。

2.例如：原三角形底6格，高3格，按1:3缩小。则新底=6×(1/3)=2格，新高=3×(1/3)=1格。

第三步：画（落笔）

根据计算出的数据，在方格纸上确定顶点位置，再连线成图。

【操作要点】

1、对于直角三角形，只需将两条直角边按比例放大或缩小，然后连接斜边即可。斜边的长度自然随之变化，无需单独计算。

2、对于平行四边形或梯形，除了考虑底边和高，还需要注意倾斜的角度（即对应边的平行关系）。放大或缩小后，对应边的倾斜程度（夹角）不变。【难点】

四、【高阶思维】“量变”与“质变”：周长与面积的变化规律

这是选拔性考试（如小升初）中最青睐的考点，考查学生的推理能力和对“平方”关系的敏感度。【热点】【非常重要】

规律总结：

1、周长变化规律：把一个图形按n:1放大（或按1:n缩小），新图形的周长变为原图形周长的n倍（或n分之一）。即周长变化的倍数等于边长变化的倍数。【高频考点】

2、面积变化规律：把一个图形按n:1放大（或按1:n缩小），新图形的面积变为原图形面积的n²倍（或n²分之一）。即面积变化的倍数是边长变化倍数的平方。【超高频考点】【重难点】

1.深度解析：这是因为面积是二维度量，由“长×宽”计算。当长和宽都放大n倍时，新面积=（n×原长）×（n×原宽）=n²×（原长×原宽）=n²×原面积。

2.举例验证：一个正方形边长是2，面积是4。按3:1放大后，边长是6，面积是36。36÷4=9，而3²=9。

3、体积变化规律：（初中物理渗透）对于立体图形（如长方体、圆柱），若按n:1放大，则新体积变为原体积的n³倍。

五、【题型题库】常见考题分类解析与解题模型

（一）基础概念辨析题【基础】

1、判定题型：给出一组比，如5:1，1:4，2:1，1:3，判断哪些是放大，哪些是缩小。

【解题模型】看前项和后项的大小。前项>后项→放大；前项<后项→缩小。

2、判断题：把一个三角形按2:1放大后，它的每个角的度数也扩大到原来的2倍。（×）

【解答要点】图形的放大与缩小只改变线段长度，不改变角的大小。角度保持不变是“形状不变”的核心内涵。【极易错】

（二）数值计算题【基础】

1、已知原图尺寸和缩放比，求新图尺寸。

1.例：一个长4cm，宽2cm的长方形按2:1放大，得到的图形面积是多少？【高频考点】

2.解：先求新长=4×2=8cm，新宽=2×2=4cm，新面积=8×4=32cm²。

3.【陷阱】切忌直接用原面积乘以2（4×2=8，8×2=16，得出错误答案16cm²）。必须先用比求出新边长，再求新面积。

2、已知原图面积和缩放比，求新图面积。

4.例：一个面积是72cm²的长方形按1:2缩小，缩小后的面积是多少？

5.解：按1:2缩小，面积缩小的倍数是(1/2)²=1/4。所以新面积=72×1/4=18cm²。【解题捷径】

（三）比例尺关联题【重要】

图形放大与缩小的比，本质就是一种“局部比例尺”。

6.例：一个长6cm，宽4cm的长方形照片，将其放大后，宽变为9cm，那么长应变为多少厘米？

7.【解题模型】先求缩放比例=新宽:原宽=9:4?等等，这里需要小心。先求缩放的倍数：9÷4=2.25（倍）。或者用比例式：新长/原长=新宽/原宽→新长/6=9/4→新长=6×9÷4=13.5cm。务必保证对应边成比例。【高频考点】

六、【易错点与难点】“捉虫”专项清理

1、对“：”的理解偏差：误认为按“2:1”放大就是把原图“加上”2份。必须明确，“2:1”是新图：原图，即新图是原图的2份，原图是1份。【严重易错】

2、非矩形作图失误：在缩放三角形或平行四边形时，只关注了底边，而忽略了高的位置或倾斜度。例如，按1:2缩小一个平行四边形，除了底边和高要减半，顶点水平方向的位置也要减半，确保图形“不变形”。【难点】

3、面积问题的惯性思维：在解决连续缩放问题时，容易忽略平方关系。例如，一个图形先按2:1放大，再按1:3缩小，问最终面积是原面积的几分之几？正确解法：最终倍数=2×(1/3)=2/3（这是边长的倍数），面积倍数=(2/3)²=4/9。【培优进阶】

4、圆形缩放：圆形的放大与缩小，是指半径（或直径）按比变化。面积变化遵循平方律。【基础】

5、实际应用题：如“把左边的图形各边放大到原来的2倍”。“放大到原来的2倍”即按“2:1”放大。【注意措辞】

七、【跨学科拓展】用数学的眼光看世界

1、摄影与设计：为什么手机拍照时，拉拽画面的一角图片会变形？因为只改变了长或宽中的一项，没有做到“对应边等比”。只有按住对角同时缩放，才能保证照片里的物体不变形。【生活应用】

2、地理与制图：比例尺1:1000000，其实就是将实际地形按1:1000000进行了缩小。地图上的1厘米，代表实际10千米。

3、建筑学：制作建筑模型（沙盘）时，需要将实际尺寸按1:100或1:50的比例缩小，模型的长宽高都要严格遵守这个比，否则楼房就会“东倒西歪”。【项目式学习】

4、生物学：显微镜下的细胞，是将微小的物体按1000:1等比例放大后呈现在我们眼前。

八、【思维导图式总结】复习要点一览

1、一个核心：形状不变（角度不变，对应边成比例）。

2、两种判定：比>1（放大）；比<1（缩小）。

3、三个步骤：看、算、画。

4、四大易错：比的顺序、面积平方倍、非规则图形画法、生活经验干扰。

5、五大考点：比的理解、画图操作、周长变化、面积变化、比例尺综合。

九、【终极挑战与测试】（模拟小升初压轴题）

题目：如图所示，在方格纸（每个小方格边长为1厘米）中有一个“L”型图形（类似于一个长方形缺了一角）。

要求：

（1）将这个“L”型图形按2:1放大，并画出放大后的图形。

（2）如果原“L”型图形的面积为7平方厘米，那么放大后的图形面积是多少平方厘米？

（3）你能否用两种方法证明你算出的面积？

【思路点拨】

第（1）问：将“L”型图形的每条水平和竖直线段长度都乘以2。关键在于定位内部凹进去的那个顶点，需要找到它在原图中距离左边和上边的格数，然后同比例放大距离。

第（2）问：根据面积变化规律，边长放大2