2025年绵阳市东城初升高自主招生考试数学试卷及答案

2025年绵阳市东城初升高自主招生考试数学试卷及答案一、选择题（每题5分，共25分）

1.已知函数f(x)=x^33x，则下列结论正确的是（）

A.函数在x=1处取得最大值

B.函数在x=1处取得最小值

C.函数在x=1处取得极小值

D.函数在x=1处取得极大值

答案：C

解析：f'(x)=3x^23，令f'(x)=0，得x=1或x=1。f''(x)=6x，f''(1)=6>0，故f(x)在x=1处取得极小值；f''(1)=6<0，故f(x)在x=1处取得极大值。

2.若a，b，c是三角形的三边长，且a=4，b=5，则c的取值范围是（）

A.1<c<9

B.3<c<7

C.4<c<9

D.1<c<13

答案：B

解析：根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得54<c<5+4，即1<c<9。又因为a，b，c是三角形的三边长，所以c必须大于ba，即c>54=1。因此，3<c<7。

3.已知等差数列的前5项和为25，第5项为15，则该等差数列的通项公式为（）

A.a_n=2n+3

B.a_n=2n3

C.a_n=3n+2

D.a_n=3n2

答案：B

解析：由等差数列的前5项和公式S_5=5/2(a_1+a_5)=25，得a_1+a_5=10。又因为第5项为15，即a_5=15，所以a_1=1015=5。设等差数列的公差为d，则a_5=a_1+4d，即15=5+4d，解得d=5。所以，a_n=a_1+(n1)d=5+(n1)5=2n3。

4.已知f(x)=x^2+kx+1，若f(x)在x=1处取得极值，则k的值为（）

A.2

B.2

C.0

D.1

答案：A

解析：f'(x)=2x+k，令f'(x)=0，得x=k/2。因为f(x)在x=1处取得极值，所以k/2=1，解得k=2。

5.在三角形ABC中，BC=6，AC=8，AB=10，且角A，B，C的对边分别为a，b，c，则cosB的值为（）

A.3/5

B.4/5

C.5/6

D.2/3

答案：A

解析：根据余弦定理，cosB=(a^2+c^2b^2)/(2ac)。代入a=6，b=8，c=10，得cosB=(6^2+10^28^2)/(2610)=3/5。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.若函数f(x)=x^22x+1在区间[0,+∞)上的最大值为M，则M=_______。

答案：1

解析：f(x)=(x1)^2，所以函数在x=1处取得最小值0，而在区间[0,+∞)上没有最大值，但可以取得最大值M=1。

2.若a，b，c成等比数列，且a=2，b=4，则c=_______。

答案：8

解析：因为a，b，c成等比数列，所以b^2=ac，代入a=2，b=4，得4^2=2c，解得c=8。

3.已知函数f(x)=x^33x+1，则f'(x)=_______。

答案：3x^23

解析：f'(x)=3x^23。

4.在三角形ABC中，BC=5，AC=7，AB=9，且角A，B，C的对边分别为a，b，c，则cosC的值为_______。

答案：2/5

解析：根据余弦定理，cosC=(a^2+b^2c^2)/(2ab)。代入a=5，b=7，c=9，得cosC=(5^2+7^29^2)/(257)=2/5。

5.若数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+2n，则数列{a_n}的通项公式为_______。

答案：a_n=2n+1

解析：当n=1时，a_1=S_1=3。当n≥2时，a_n=S_nS_{n1}=(n^2+2n)[(n1)^2+2(n1)]=2n+1。所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+1。

三、解答题（共50分）

1.（本题10分）解方程组：

\[

\begin{cases}

2x+3y4=0\\

xy+1=0

\end{cases}

\]

答案：

x=1，y=2

解析：

\[

\begin{cases}

2x+3y=4\\

xy=1

\end{cases}

\]

用第二个方程解出x，得x=y1。代入第一个方程，得2(y1)+3y=4，解得y=2。再将y=2代入x=y1，得x=1。

2.（本题15分）已知函数f(x)=x^36x^2+9x+1，求f(x)的极值。

答案：极大值f(1)=7，极小值f(2)=3

解析：f'(x)=3x^212x+9。令f'(x)=0，得x=1或x=3。f''(x)=6x12，f''(1)=6>0，f''(2)=6<0。所以f(x)在x=1处取得极大值f(1)=7，在x=2处取得极小值f(2)=3。

3.（本题15分）在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，cosC=3/5。求三角形ABC的面积。

答案：面积S=2.4

解析：根据余弦定理，c^2=a^2+b^22abcosC，代入a=3，b=4，cosC=3/5，得c^2=9+162343/5=25，所以c=5。根据正弦定理，sinC=4/5。三角形ABC的面积S=1/2absinC=1/2344/5=2.4。

4.（本题10分）已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+n