2025年高起专安徽省数学真题试卷及答案

2025年高起专安徽省数学练习题试卷及答案一、选择题（每题5分，共40分）

1.若函数f(x)=2x3在区间[1,5]上是增函数，则实数a的取值范围是（）

A.a>3

B.a<3

C.a≥3

D.a≤3

解析：由于f(x)=2x3在区间[1,5]上是增函数，所以f'(x)=2>0，即斜率为正。因此，f(x)的图像是上升的直线。在此情况下，a的取值不影响函数的单调性。故选C。

2.下列函数中，奇函数是（）

A.f(x)=x^3

B.f(x)=x^2

C.f(x)=|x|

D.f(x)=2x

解析：奇函数的定义是f(x)=f(x)。对于选项A，f(x)=(x)^3=x^3=f(x)，符合奇函数的定义。选项B、C和D不满足奇函数的定义。故选A。

3.已知等差数列{an}的前n项和为S_n，若S_5=25，a_3=7，则公差d等于（）

A.2

B.3

C.4

D.5

解析：由等差数列的前n项和公式S_n=n/2(a_1+a_n)可得，S_5=5/2(a_1+a_5)=25。又已知a_3=7，故a_1+a_5=10。由等差数列的性质，a_5=a_3+2d，代入可得a_1+a_3+2d=10。解得d=2。故选A。

4.若函数g(x)=x^24x+3在区间(2,3)上的最大值是8，则最小值是（）

A.1

B.0

C.1

D.2

解析：g(x)=x^24x+3可以写成g(x)=(x2)^21。在区间(2,3)上，g(x)随x增大而增大。由于g(2)=0，g(3)=8，所以最小值为0。故选B。

5.设函数h(x)=x^33x，则h(x)在区间(∞,2)上是（）

A.单调递增

B.单调递减

C.先增后减

D.先减后增

解析：求导得h'(x)=3x^23。令h'(x)=0，解得x=±1。在区间(∞,1)上，h'(x)<0，h(x)单调递减；在区间(1,1)上，h'(x)>0，h(x)单调递增；在区间(1,2)上，h'(x)<0，h(x)单调递减。因此，h(x)在区间(∞,2)上先增后减。故选C。

6.已知等比数列{bn}的公比q=2，首项b_1=3，则b_8等于（）

A.192

B.256

C.384

D.512

解析：等比数列的通项公式为b_n=b_1q^(n1)。代入得b_8=32^7=384。故选C。

7.若直线y=kx+1与抛物线y=x^2相切，则实数k的取值范围是（）

A.k>0

B.k<0

C.k≥0

D.k≤0

解析：设直线y=kx+1与抛物线y=x^2相切于点(x_0,y_0)，则有y_0=kx_0+1，y_0=x_0^2。联立得x_0^2=kx_0+1。由于直线与抛物线相切，所以判别式Δ=0，即k^24=0。解得k=±2。因此，k的取值范围是k≤0。故选D。

8.若函数f(x)=|x2|+|x+3|的最小值是5，则x的取值范围是（）

A.x≤3

B.x≥2

C.x≤3或x≥2

D.3<x<2

解析：f(x)=|x2|+|x+3|表示x到点2和3的距离之和。当x在3和2之间时，距离之和最小。因为2和3的距离为5，所以f(x)的最小值为5。故选D。

二、填空题（每题5分，共30分）

9.已知函数f(x)=x^22x+1，则f(x)的顶点坐标是（）

答案：(1,0)

解析：f(x)=(x1)^2，顶点坐标为(1,0)。

10.已知等差数列{an}的前n项和为S_n=2n^2+n，则a_5等于（）

答案：11

解析：S_5=25^2+5=50+5=55。a_5=S_5S_4=55(24^2+4)=5536=11。

11.若直线y=2x+1与圆(x1)^2+(y+2)^2=16相切，则切点坐标是（）

答案：(3,7)

解析：圆心坐标为(1,2)，半径为4。直线与圆相切，所以切点与圆心的连线斜率为1/2。设切点为(x_0,y_0)，则斜率k=(y_0+2)/(x_01)=1/2。解得x_0=3，y_0=7。

12.已知函数g(x)=x^33x^2+2x+5，则g(x)的极值点是（）

答案：x=1和x=2

解析：g'(x)=3x^26x+2。令g'(x)=0，解得x=1和x=2。在x=1处，g(x)取得极大值；在x=2处，g(x)取得极小值。

13.若函数h(x)=|x1||x+1|在区间(∞,0)上是减函数，则x的取值范围是（）

答案：x≤1

解析：当x<1时，h(x)=(x1)(x+1)=2x，h(x)是减函数。

三、解答题（共30分）

14.（10分）已知函数f(x)=x^22ax+a^2+1，求f(x)的最小值。

解：f(x)=(xa)^2+1。因为(xa)^2≥0，所以f(x)的最小值为1。

15.（10分）已知等差数列{an}的前n项和为S_n=3n^2+n，求首项a_1和公差d。

解：S_n=n/2(2a_1+(n1)d)。联立S_n=3n^2+n，得a_1=4，d=