2025年绵阳市绵阳中学自主招生考试数学试卷带答案

2025年绵阳市绵阳中学自主招生考试数学试卷带答案一、选择题（每题5分，共25分）

1.设集合A={x|2≤x≤5}，集合B={x|x＜3或x＞6}，则A∩B为（）

A.空集

B.{x|2≤x＜3}

C.{x|3＜x≤5}

D.{x|2≤x≤5}

答案：B

解析：集合A和B的交集是同时满足集合A和B中条件的元素集合。A中的条件是2≤x≤5，B中的条件是x＜3或x＞6。因此，只有2≤x＜3的元素同时满足这两个条件。

2.已知函数f(x)=x²2x+1，求不等式f(x)＜0的解集。（）

A.(∞,0)

B.(0,1)

C.(1,2)

D.(1,+∞)

答案：B

解析：f(x)=x²2x+1可以写成(x1)²。当x在0和1之间时，(x1)²是小于0的，所以解集是(0,1)。

3.在三角形ABC中，a=3，b=4，cosA=3/5，则三角形ABC的面积为（）

A.3

B.4

C.6

D.8

答案：C

解析：利用余弦定理求出边c的长度，c²=a²+b²2abcosA=9+162343/5=25，所以c=5。利用海伦公式求面积，S=√[s(sa)(sb)(sc)]，其中s=(a+b+c)/2=6。代入公式得S=√[6(63)(64)(65)]=√[6321]=√36=6。

4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=15，S10=30，则该数列的公差d为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

解析：等差数列前n项和的公式为Sn=n/2(2a1+(n1)d)，其中a1是首项，d是公差。由S5=15得5/2(2a1+4d)=15，即a1+2d=3。由S10=30得10/2(2a1+9d)=30，即a1+4.5d=3。解这个方程组得d=2。

5.已知函数f(x)=2x3/(x1)，求不等式f(x)＞0的解集。（）

A.(∞,1)∪(1,3/2)

B.(∞,1)∪(3/2,+∞)

C.(1,3/2)

D.(3/2,1)

答案：B

解析：不等式f(x)＞0转化为2x3/(x1)＞0。考虑分母和分子的符号，当x>1时，分子和分母同号，不等式成立；当x<1时，分子和分母异号，不等式也成立。所以解集是(∞,1)∪(3/2,+∞)。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.已知函数f(x)=x²4x+c在x=2时取得最小值，则c的值为______。

答案：4

解析：函数f(x)=x²4x+c可以写成f(x)=(x2)²+c4。当x=2时，f(x)取得最小值，此时f(x)=c4。因为最小值为0，所以c4=0，解得c=4。

7.若两个平行线的斜率为2，且它们之间的距离为2，则这两条平行线的方程为y=2x+b1和y=2x+b2，其中b1和b2的差值为______。

答案：2

解析：两条平行线的斜率相同，所以它们的方程可以表示为y=2x+b1和y=2x+b2。两条平行线之间的距离公式为|b2b1|/√(1+2²)=2，解得|b2b1|=2√5。因为b1和b2的差值是绝对值，所以答案为2。

8.已知函数f(x)=√(x²4x+3)，求f(x)的定义域为______。

答案：[1,3]

解析：函数f(x)的定义域是使得根号内的表达式非负的所有x值。所以需要解不等式x²4x+3≥0，因式分解得(x1)(x3)≥0。解得x在1和3之间时，不等式成立，所以定义域为[1,3]。

9.已知等比数列{an}的通项公式为an=3^n，求该数列的前10项和______。

答案：34103

解析：等比数列的前n项和公式为Sn=a1(1q^n)/(1q)，其中a1是首项，q是公比。首项a1=3，公比q=3，代入公式得S10=3(13^10)/(13)=3(159049)/(2)=34103。

10.若直线y=kx+3与圆x²+y²=4相切，则k的值为______。

答案：±√3/3

解析：圆的半径为2，圆心在原点(0,0)。直线y=kx+3与圆相切，说明直线到圆心的距离等于圆的半径。直线到点(0,0)的距离公式为|k00+3|/√(k²+1)=2，解得k=±√3/3。

三、解答题（共50分）

11.（本题10分）已知函数f(x)=x³6x²+9x1，求f(x)的极值。

解：首先求f(x)的导数f'(x)=3x²12x+9。令f'(x)=0，解得x=1和x=3。计算f(1)和f(3)的值，f(1)=16+91=3，f(3)=2754+271=1。所以f(x)在x=1时取得极大值3，在x=3时取得极小值1。

12.（本题10分）在三角形ABC中，a=5，b=7，C=120°，求三角形ABC的面积。

解：利用余弦定理求边c的长度，c²=5²+7²257cos120°=25+49+70=144，所以c=12。利用海伦公式求面积，S=√[s(sa)(sb)(sc)]，其中s=(a+b+c)/2=11.5。代入公式得S=√[11.5(11.55)(11.57)(11.512)]=√[11.56.54.5(0.5)]=√(170.0625)=13。

13.（本题15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=2an11（n≥2），a1=1，求{an}的通项公式。

解：由an=2an11得an1=2an21，两式相减得anan1=2(an1an2)。因为a1=1，a2=2a11=1，所以数列{an}是一个等差数列，公差为1。所以通项公式为an=a1+(n1)d=1+(n1)1=n。

14.（本题15分）已知函数f(x)=x²+2kx+k²1，求k的取值范围，使得f(x)在区间(0,