2025年高起专黑龙江省数学（文科）考试真题及参考答案

2025年高起专黑龙江省数学（文科）考试练习题及参考答案一、选择题（每小题5分，共40分）

1.若函数f(x)=x²+k在区间（∞，+∞）上单调递增，则实数k的取值范围是（）

A.k≤0

B.k<0

C.k=0

D.k≥0

答案：D

解析：函数f(x)=x²+k的导数为f'(x)=2x。要使f(x)在区间（∞，+∞）上单调递增，导数f'(x)需大于0。由于f'(x)=2x，故x>0时，f(x)单调递增；x<0时，f(x)单调递减。因此，k的取值范围不影响函数的单调性，故选D。

2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=9，a4=5，则该数列的首项a1为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

解析：由等差数列的性质可知，S3=3a2=9，得a2=3。又因为a4=a2+2d=5，得d=1。所以a1=a2d=31=2。故选B。

3.若函数f(x)=2x3在区间（0，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）

A.a≤1

B.a<1

C.a≥1

D.a>1

答案：C

解析：函数f(x)=2x3在区间（0，+∞）上是增函数，意味着导数f'(x)>0。由于f'(x)=2，导数恒大于0，因此a的取值范围不影响函数的单调性。但根据题意，a的取值范围应为a≥1，故选C。

4.已知函数f(x)=x²+bx+c（b²4c<0）的图像与x轴无交点，则下列结论正确的是（）

A.f(x)>0

B.f(x)<0

C.f(x)=0

D.f(x)≥0

答案：A

解析：由于b²4c<0，函数f(x)=x²+bx+c的图像与x轴无交点，说明函数在实数范围内恒大于0。故选A。

5.已知函数f(x)=3x2，求f(1)的值。

答案：5

解析：将x=1代入函数f(x)=3x2，得f(1)=3(1)2=5。

6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=12，a2=3，求公差d。

答案：1

解析：由等差数列的性质可知，S4=4a2+6d=12，得d=1。

7.解不等式2(x1)<3(x+2)。

答案：x>1

解析：将不等式2(x1)<3(x+2)展开，得2x2<3x+6。移项得x<8，两边同时乘以1，得x>1。

8.解方程组：

{

y=2x+1

3xy=4

}

答案：x=1，y=3

解析：将y=2x+1代入第二个方程3xy=4，得3x(2x+1)=4，解得x=1。将x=1代入y=2x+1，得y=3。

9.已知函数f(x)=x²2x+1，求f(x)的顶点坐标。

答案：(1,0)

解析：函数f(x)=x²2x+1可以写成完全平方形式f(x)=(x1)²。因此，顶点坐标为(1,0)。

10.已知函数f(x)=x²+4x+4，求f(x)的最小值。

答案：0

解析：函数f(x)=x²+4x+4可以写成完全平方形式f(x)=(x+2)²。因此，函数的最小值为0。

二、填空题（每小题5分，共30分）

1.若函数f(x)=x²2x+3在区间（0，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是______。

答案：a≤2

解析：函数f(x)=x²2x+3的导数为f'(x)=2x2。要使f(x)在区间（0，+∞）上单调递减，导数f'(x)需小于0。因此，2x2<0，得x<1。所以a≤2。

2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=15，a3=5，则该数列的首项a1为______。

答案：3

解析：由等差数列的性质可知，S5=5a3=15，得a3=3。又因为a3=a1+2d，得d=1。所以a1=a32d=32=1。

3.若函数f(x)=x²+k在区间（∞，+∞）上单调递增，则实数k的取值范围是______。

答案：k≥0

解析：函数f(x)=x²+k的导数为f'(x)=2x。要使f(x)在区间（∞，+∞）上单调递增，导数f'(x)需大于0。由于f'(x)=2x，故x>0时，f(x)单调递增；x<0时，f(x)单调递减。因此，k的取值范围不影响函数的单调性，故k≥0。

4.已知函数f(x)=2x3，求f(2)的值。

答案：1

解析：将x=2代入函数f(x)=2x3，得f(2)=223=1。

5.解不等式3(x2)>4(x+1)。

答案：x<7

解析：将不等式3(x2)>4(x+1)展开，得3x6>4x+4。移项得x>10，两边同时乘以1，得x<7。

6.解方程组：

{

2x+3y=7

3x2y=1

}

答案：x=1，y=2

解析：将第一个方程乘以2，第二个方程乘以3，得：

{

4x+6y=14

9x6y=3

}

将两个方程相加，得13x=17，解得x=1。将x=1代入第一个方程，得21+3y=7，解得y=2。

三、解答题（共30分）

1.（10分）已知函数f(x)=x²4x+3，求f(x)的单调区间。

解：函数f(x)的导数为f'(x)=2x4。令f'(x)=0，得x=2。当x>2时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x<2时，f'(x)<0，f(x)单调递减。因此，f(x)的单调递增区间为（2，+∞），单调递减区间为（∞，2）。

2.（10分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S7=35，a4=7，求该数列的通项公式。

解：由等差数列的性质可知，S7=7a4=35，得a4=5。又因为a4=a1+3d，得d=2。所以a1=a43d=56=1。因此，该数列的通项公式为an=a1+(n1)d=1+(n1)2=2n3。

3.（10分）已知函数f(x)=x²2x+1，求f(x)的顶点坐标及单调区间。

解：函数f(x)=x²2x+