2025年高起专山东数学（理科）真题试卷及答案

2025年高起专山东数学（理科）练习题试卷及答案一、选择题（每题4分，共40分）

1.若函数f(x)=(x2)^23在区间(1,+∞)上是减函数，则实数a的取值范围是（）

A.a≤3

B.a≤2

C.a≤1

D.a≤0

答案：C

解析：函数f(x)=(x2)^23的对称轴为x=2。在区间(1,+∞)上，当x<2时，函数值随x的增大而减小。所以a的取值范围应小于2，即a≤1。

2.设函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c，若f(1)=0，f'(1)=0，f(2)=0，则a+b的值为（）

A.3

B.2

C.2

D.3

答案：D

解析：由f(1)=0得ab+c=0；由f'(1)=0得3+2a+b=0；由f(2)=0得8+4a+2b+c=0。联立解得a=3，b=6，c=3。所以a+b=3+(6)=3。

3.若直线y=kx+m与圆x^2+y^2=1相切，则k^2+m^2的最小值为（）

A.1

B.2

C.1/2

D.0

答案：C

解析：圆心到直线的距离等于圆的半径，即|k0+m0|/√(k^2+1)=1。化简得k^2+m^2=2。因此，k^2+m^2的最小值为1/2。

4.已知函数f(x)=(x1)^2+2(x1)+1，求f(x)的单调递减区间是（）

A.(∞,1]

B.[1,+∞)

C.(∞,0]

D.[0,+∞)

答案：A

解析：f(x)=(x1)^2+2(x1)+1=(x+1)^2。函数在x=1处取得最小值0，因此在(∞,1]上递减，在[1,+∞)上递增。所以单调递减区间为(∞,1]。

5.若等差数列{an}的前n项和为S_n=2n^2+n，求该数列的通项公式an（）

A.an=4n3

B.an=2n1

C.an=4n1

D.an=2n+1

答案：C

解析：由S_n=2n^2+n，得S_{n1}=2(n1)^2+(n1)=2n^23n+1。所以an=S_nS_{n1}=2n^2+n(2n^23n+1)=4n1。

6.设函数f(x)=x^2+ax+b（a≠0），若f(x)在区间(∞,1)上单调递减，在区间(1,+∞)上单调递增，则a的取值范围是（）

A.a>1

B.a<1

C.a≥1

D.a≤1

答案：D

解析：函数f(x)在x=b/(2a)处取得最小值，因为f(x)在(∞,1)上单调递减，所以b/(2a)≤1，即a≤1。

7.若sinθ=3/5，且0<θ<π/2，求cosθ的值（）

A.4/5

B.3/4

C.2/3

D.1/2

答案：A

解析：sin^2θ+cos^2θ=1，所以cos^2θ=1sin^2θ=1(3/5)^2=16/25。因为0<θ<π/2，所以cosθ>0，即cosθ=4/5。

8.设直线l1：x2y+3=0，直线l2：x2y+1=0，则l1与l2的夹角为（）

A.45°

B.30°

C.60°

D.90°

答案：D

解析：两直线斜率相同，所以夹角为90°。

9.已知函数f(x)=x^33x+1，求f(x)的极值（）

A.极大值2，极小值2

B.极大值2，极小值0

C.极大值0，极小值2

D.极大值2，极小值0

答案：A

解析：f'(x)=3x^23。令f'(x)=0得x=±1。当x>1时，f'(x)>0；当1<x<1时，f'(x)<0；当x<1时，f'(x)>0。所以x=1时，f(x)取得极大值2；x=1时，f(x)取得极小值2。

10.若等比数列{an}的首项为1，公比为q，且q>0，求{an}的前n项和S_n的取值范围（）

A.S_n≥1

B.S_n≤1

C.S_n≥0

D.S_n≤0

答案：A

解析：等比数列的前n项和公式为S_n=a1(1q^n)/(1q)。因为q>0且a1=1，所以S_n≥1。

二、填空题（每题4分，共40分）

11.若函数f(x)=(x1)^24在区间(1,+∞)上是减函数，则实数a的取值范围是______。

答案：a≤1

解析：函数f(x)=(x1)^24的对称轴为x=1。在区间(1,+∞)上，当x<1时，函数值随x的增大而减小。所以a的取值范围应小于1，即a≤1。

12.设函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c，若f(1)=0，f'(1)=0，f(2)=0，则a+b的值为______。

答案：3

解析：由f(1)=0得ab+c=0；由f'(1)=0得3+2a+b=0；由f(2)=0得8+4a+2b+c=0。联立解得a=3，b=0，c=3。所以a+b=3。

13.若直线y=kx+m与圆x^2+y^2=1相切，则k^2+m^2的最小值为______。

答案：1/2

解析：圆心到直线的距离等于圆的半径，即|k0+m0|/√(k^2+1)=1。化简得k^2+m^2=2。因此，k^2+m^2的最小值为1/2。

14.已知函数f(x)=(x1)^2+2(x1)+1，求f(x)的单调递减区间是______。

答案：(∞,1]

解析：f(x)=(x1)^2+2(x1)+1=(x+1)^2。函数在x=1处取得最小值0，因此在(∞,1]上递减，在[1,+∞)上递增。所以单调递减区间为(∞,1]。

15.若等差数列{an}的前n项和为S_n=2n^2+n，求该数列的通项公式an______。

答案：an=4n3

解析：由S_n=2n^2+n，得S_{n1}=2(n1)^2+(n1)=2n^23n+1。所以an=S_nS_{n1}=2n^2+n(2n^23n+1)=4n3。

16.设函数f(x)=x^2+ax+b（a≠0），若f(x)在区间(∞,1)上单调递减，在区间(1,+∞)上单调递增，则a的取值范围是______。

答案：a≤1

解析：函数f(x)在x=b/(2a)处取得最小值，因为f(x)在(∞,1)上单调递减，所以b/(2a)≤1，即a≤1。

17.若sinθ=3/5，且0<θ<π/2，求cosθ的值______。

答案：4/5

解析：sin^2θ+cos^2θ=1，所以cos^2θ=1sin^2θ=1(3/5)^2=16/25。因为0<θ<π/2，所以cosθ>0，即cosθ=4/5。

18.设直线l1：x2y+3=0，直线l2：x2y+1=0，则l1与l2的夹角为______。

答案：90°

解析：两直线斜率相同，所以夹角为90°。

19.已知函数f(x)=x^33x+1，求f(x)的极值______。

答案：极大值2，极小值2

解析：f'(x)=3x^23。令f'(x)=0得x=±1。当x>1时，f'(x)>0；当1<x<1时，f'(x)<0；当x<1时，f'(x)>0。所以x=1时，f(x)取得极大值2；x=1时，f(x)取得极小值2。

20.若等比数列{an}的首项为1，公比为q，且q>0，求{an}的前n项和S_n的取值范围______。

答案：S_n≥1

解析：等比数列的前n项和公式为S_n=a1(1q^n)/(1q)。因为q>0且a1=1，所以S_n≥1。

三、解答题（共20分）

21.（10分）已知函数f(x)=x^22x+1，求f(x)的单调递增区间及单调递减区间。

答案：单调递增区间为[1,+∞)，单调递减区间为(∞,1)。

解析：f(x)=(x1)^2。函数在x=1处取得最小值0，因此在(∞,1)上递减，在[1,+∞)上递增。

22.