2025年高起专山西数学考试试题及答案

2025年高起专山西数学考试试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）

1.已知函数f(x)=x^22x+1，那么函数f(x)的最小值是（）

A.0

B.1

C.1

D.2

答案：B

解析：f(x)=(x1)^2，由于平方项非负，最小值为0，当且仅当x=1时取得。故最小值为1。

2.若等差数列{an}的前n项和为Sn=2n^2+n，则该数列的通项公式an为（）

A.4n3

B.4n+1

C.2n+1

D.2n1

答案：A

解析：当n=1时，a1=S1=3。当n≥2时，an=SnSn1=(2n^2+n)[2(n1)^2+(n1)]=4n3。故选A。

3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=3^n1，那么数列的公比q为（）

A.3

B.1/3

C.2

D.1/2

答案：A

解析：当n=1时，a1=S1=2。当n≥2时，an=SnSn1=(3^n1)(3^(n1)1)=23^(n1)。由于a2/a1=3，故公比q=3。

4.已知函数f(x)=|x2|+|x+1|，那么函数f(x)的最小值是（）

A.3

B.4

C.5

D.6

答案：A

解析：分段讨论，当x<1时，f(x)=2x1；当1≤x<2时，f(x)=3；当x≥2时，f(x)=2x+1。所以f(x)的最小值为3。故选A。

5.若直线y=kx+b与圆(x2)^2+(y+3)^2=16相切，那么斜率k的取值范围是（）

A.k≤1

B.k≤2

C.k≤3

D.k≤4

答案：B

解析：圆心为(2,3)，半径r=4。直线与圆相切，圆心到直线的距离d=|k23+b|/√(k^2+1)=4。解得k≤2。

6.已知函数f(x)=2x^33x^2+4x5，那么f(x)的单调递增区间为（）

A.(∞,1)

B.(1,+∞)

C.(∞,2)

D.(2,+∞)

答案：C

解析：求导得f'(x)=6x^26x+4。令f'(x)>0，解得x<2或x>1。故单调递增区间为(∞,2)。

7.若sinθ+cosθ=a，则sinθcosθ的取值范围是（）

A.[√2,√2]

B.[√2,√2]

C.[2√2,2√2]

D.[√2,√2]

答案：D

解析：平方相加得2=a^2+2sinθcosθ，解得sinθcosθ=(1a^2)/2。由于sinθcosθ≤1/2，所以sinθcosθ的取值范围是[√2,√2]。

8.若三角形ABC的面积为S，且a^2+b^2=2c^2，那么三角形ABC的面积为（）

A.S/2

B.2S

C.3S

D.S

答案：B

解析：由余弦定理得cosC=(a^2+b^2c^2)/(2ab)=1/2，所以C=60°。三角形ABC的面积S=(1/2)absin60°。由于a^2+b^2=2c^2，所以2S=(1/2)absin120°=S。

9.若数列{an}满足an=a1+(n1)d，且S10=100，a5=10，那么首项a1为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

答案：A

解析：由等差数列求和公式得S10=10/2(2a1+9d)=100。又a5=a1+4d=10。解得a1=2。

10.已知函数f(x)=log2(x1)，那么函数f(x)的反函数为（）

A.y=2^(x1)

B.y=2^(x+1)

C.y=2^(x2)

D.y=2^(x+2)

答案：C

解析：将f(x)=log2(x1)转化为y=log2(x1)，交换x、y得x=2^y+1。解得y=2^(x2)。

二、填空题（每题4分，共40分）

11.若a=2^3，b=3^2，c=4^1，则a、b、c的大小关系为______。

答案：c<a<b

12.已知函数f(x)=x^24x+3，那么函数f(x)的顶点坐标为______。

答案：(2,1)

13.若等差数列{an}的前n项和为Sn=n^2+n，那么该数列的通项公式an为______。

答案：an=2n+1

14.若直线y=kx+b与圆(x2)^2+(y+3)^2=16相切，那么k、b满足的关系式为______。

答案：4k+b+3=0

15.若sinθ+cosθ=a，那么sinθcosθ的取值范围是______。

答案：[√2,√2]

16.若三角形ABC的面积为S，且a^2+b^2=2c^2，那么三角形ABC的面积为______。

答案：2S

17.若数列{an}满足an=a1+(n1)d，且S10=100，a5=10，那么公差d为______。

答案：1

18.已知函数f(x)=log2(x1)，那么函数f(x)的定义域为______。

答案：(1,+∞)

19.若a、b是方程x^22x+1=0的两根，那么a^2+b^2的值为______。

答案：2

20.若函数f(x)=x^22x+1在区间(0,1)上的最大值为M，那么M的值为______。

答案：0

三、解答题（共20分）

21.（10分）已知数列{an}满足an=2an1+1（n≥2），且a1=1。求该数列的通项公式。

答案：an=2^n1

解析：an1=2(an11)，所以数列{an1}是首项为1，公比为2的等比数列。故an1=2^(n1)。所以an=2^n1。

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