浙教版八年级数学上册基础训练：2.5-逆命题和逆定理

第第页浙教版八年级数学上册基础训练：2.5逆命题和逆定理

解答题

利用线段垂直平分线性质定理及其逆定理证明以下命题．

已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上．求证：EB＝EC.

【答案】证明见解析

【解析】试题分析：

由试题中的要求“利用线段垂直平分线性质定理及其逆定理证明以下命题”可知，我们需先证点E在BC的垂直平分线上，所以我们连接BC，由AB＝AC，DB＝DC可得点A、D均在BC的垂直平分线上，再由“两点确定一条直线”就可得AD是BC的垂直平分线，再由线段垂直平分线的性质就可得到结论.

试题解析：

连结BC.

∵AB＝AC，

∴点A在线段BC的垂直平分线上．

∵DB＝DC，

∴点D在线段BC的垂直平分线上．

∴AD是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线)．

又∵点E在AD上，

∴EB＝EC.

解答题

写出命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．若是假命题，请举出反例．

【答案】假命题，假命题

【解析】（1）逆命题：如果两个角相等，那么其中一个角的两边与另一个角的两边分别垂直．

（2）原命题是假命题.

反例：如图①，∠CAD的两边与∠EBF的两边分别垂直，此时若∠CAD＝45°，则∠EBF＝135°，即它们是互补的，但并不相等.

（3）逆命题是假命题．

反例：如图②，当∠CAD、∠EBF是对顶角时，∠CAD＝∠EBF，但显然它们的两边并不互相垂直.

解答题

下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请写出逆定理．

(1)同旁内角互补，两直线平行．

(2)三边对应相等的两个三角形全等．

【答案】（1）有（2）有

【解析】(1)定理“同旁内角互补，两直线平行”有逆定理，逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”．

(2)定理“三边对应相等的两个三角形全等”有逆定理，逆定理是“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的三边对应相等.”

选择题

下列命题中，其逆命题是假命题的是(?)

A.等腰三角形的两个底角相等

B.若两个数的差为正数，则这两个数都为正数

C.若ab＝1，则a与b互为倒数

D.如果|a|＝|b|，那么a2＝b2

【答案】B

【解析】A选项中，“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”是真命题；

B选项中，“若两个数的差为正数，则这两个数都为正数”的逆命题“若两个数都为正数，则它们的差也为正数”是假命题；

C选项中，“若ab=1，则a与b互为倒数”的逆命题“若a与b互为倒数，则ab=1”是真命题；

D选项中，“如果|a|＝|b|，那么a2＝b2”的逆命题是“如果a2＝b2，则|a|＝|b|”是真命题；

故选B.

选择题

下列定理中，有逆定理的是（）

A.对顶角相等B.同角的余角相等

C.全等三角形对应角相等D.在一个三角形中，等边对等角

【答案】D

【解析】试题分析：首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假即可．

A、逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，故本选项错误；

B、逆命题是余角相等的两个角是同一个角，是假命题，所以没有逆定理；

C、逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，所以没有逆定理；

D、逆命题是在一个三角形中，等角对等边，是真命题，所以有逆定理；

故选D．

选择题

下列说法中，正确的是（）

A.每一个命题都有逆命题B.假命题的逆命题一定是假命题

C.每一个定理都有逆定理D.假命题没有逆命题

【答案】A

【解析】试题分析：利用命题的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．

解：A、每一个命题都有逆命题，正确；

B、假命题的逆命题不一定是假命题，故错误；

C、定理的逆命题不一定正确，故错误；

D、所有的命题都有逆命题，故错误．

故选A．

解答题

写出命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题，并证明该逆命题是真命题．

【答案】证明见解析

【解析】试题分析：

读懂“原命题”，分清“原命题的题设和结论”，交换“题设”和“结论”，并用通顺、简洁的语句写出“逆命题”；然后画出符合“逆命题”题意的图形，改写出“已知”和“求证”事项，最后完成证明.

试题解析：

逆命题：如果一个三角形一边上的中点到另两边的距离相等，那么这个三角形是等腰三角形．

已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE＝DF.

求证：△ABC为等腰三角形．

证明：连结AD.

∵D是BC的中点，

∴S△ABD＝S△ACD.

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴S△ABD＝AB?DE，S△ACD＝AC?DF.

又∵DE＝DF，

∴AB＝AC，

∴△ABC为等腰三角形．

选择题

下列命题的逆命题为真命题的是(?)

A.直角都相等

B.钝角都小于180°

C.若x2＋y2＝0，则x＝y＝0

D.同位角相等

【答案】C

【解析】A选项中，“直角都相等”的逆命题“相等的角都是直角”是假命题；

B选项中，“钝角都小于180°”的逆命题“小于180°的角都是直角”是假命题；

C选项中，“若，则”的逆命题“若，则”是真命题；

D选项中，“同位角相等”的逆命题“相等的角是同位角”是假命题；

故选C.

解答题

已知命题“等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线重合”，写出它的逆命题，判断该逆命题的真假，并证明．

【答案】证明见解析

【解析】逆命题：一边上的中线与它所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形，是真命题．

已知：如图，在△ABC中，BD＝CD，AD平分∠BAC.

求证：△ABC是等腰三角形．

证明：延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE，CE.

∵BD＝CD，DE＝DA，∠BDE＝∠CDA，

∴△BDE≌△CDA(SAS)．

∴BE＝CA，∠BED＝∠CAD.

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD＝∠BAD.

∴∠BAD＝∠BED.

∴AB＝BE.

∴AB＝AC.

∴△ABC是等腰三角形．

解答题

举反例说明定理“全等三角形的面积相等”没有逆定理．

【答案】没有逆定理

【解析】逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．

反例：如图所示，l1∥l2，△ABC和△BCD同底等高，

∴△ABC的面积等于△BCD的面积，但△ABC和△BCD不全等．

故此定理没有逆定理．

解答题

写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假，若是假命题，请举出反例．

(1)若x＝y＝0，则x＋y＝0.

(2)等腰三角形的两个底角相等．

【答案】（1）假命题（2）真命题

【解析】(1)逆命题：若x＋y＝0，则x＝y＝0.这个逆命题是假命题．反例：当x＝－1，y＝1时，x＋y＝0，但x≠0，y≠0.

(2)逆命题：有两角相等的三角形是等腰三角