2025年绵阳市绵中初升高自主招生考试数学考试试卷及答案

2025年绵阳市绵中初升高自主招生考试数学考试试卷及答案一、选择题（每题5分，共25分）

1.下列选项中，有理数的平方根一定是有理数的是（）

A.4

B.9

C.16

D.25

答案：D

解析：有理数的平方根一定是有理数，当且仅当这个有理数是一个完全平方数。选项A、B、C分别为2、3、4的平方，但只有选项D的平方根是有理数，即5。

2.已知函数f(x)=x²2x+1，下列选项中，f(x)的单调递增区间是（）

A.(∞,1)

B.(1,+∞)

C.(∞,1]

D.[1,+∞)

答案：C

解析：f(x)=x²2x+1，可以写成f(x)=(x1)²。这是一个开口向上的抛物线，顶点坐标为(1,0)。因此，函数在(∞,1]区间内单调递减，在[1,+∞)区间内单调递增。故选C。

3.下列关于三角形ABC的说法正确的是（）

A.若a=b，则三角形ABC是等腰三角形

B.若a²+b²=c²，则三角形ABC是直角三角形

C.若sinA=sinB，则三角形ABC是等腰三角形

D.若cosA=cosB，则三角形ABC是等腰三角形

答案：B

解析：选项A、C、D描述的只是三角形的一些性质，但不足以判断三角形ABC的类型。选项B符合勾股定理，因此三角形ABC是直角三角形。

4.若关于x的方程2x²+5x3=0的根为α和β，则αβ的值等于（）

A.3

B.5/2

C.3

D.5/2

答案：A

解析：根据韦达定理，方程2x²+5x3=0的两根α和β满足α+β=5/2，αβ=3/2。故选A。

5.若函数g(x)=|x3|+|x+1|的最小值为4，则x的取值范围是（）

A.[3,1]

B.[1,3]

C.(∞,3]

D.(∞,1]

答案：B

解析：函数g(x)=|x3|+|x+1|表示数轴上点x到点3和点1的距离之和。当x在1和3之间时，g(x)的值最小，即为4。因此，x的取值范围是[1,3]。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.已知a²+b²=25，且a>0，b<0，求a+b的值。

答案：5

解析：由题意，a和b是方程x²+y²=25的一组解，且a>0，b<0。因此，a和b分别是5和3。所以a+b=53=2。

7.若函数f(x)=x²+2x+1的值域为[0,+∞)，求实数x的取值范围。

答案：(∞,+∞)

解析：f(x)=x²+2x+1可以写成f(x)=(x+1)²。因为平方的最小值为0，所以f(x)的值域为[0,+∞)。实数x的取值范围为(∞,+∞)。

8.若三角形ABC的三个角分别为A、B、C，且A:B:C=3:4:5，求三角形ABC的面积。

答案：10

解析：由A:B:C=3:4:5，可以设A=3x，B=4x，C=5x。由三角形内角和定理得3x+4x+5x=180°，解得x=12°。所以A=36°，B=48°，C=60°。设三角形ABC的边长为a，b，c，根据正弦定理，得a:b:c=sinA:sinB:sinC=3:4:5。设a=3k，b=4k，c=5k，由余弦定理得25k²=9k²+16k²2×3k×4k×cos60°，解得k=1。所以a=3，b=4，c=5。三角形ABC的面积为1/2×3×4×sin60°=10。

9.已知函数h(x)=(x1)/(x+2)，求h(x)的值域。

答案：(∞,1)

解析：函数h(x)=(x1)/(x+2)可以变形为h(x)=13/(x+2)。因为分母x+2不为0，所以h(x)的值域为(∞,1)。

10.若a、b、c是等差数列，且a+b+c=12，求abc的值。

答案：27

解析：因为a、b、c是等差数列，所以2b=a+c。又因为a+b+c=12，所以3b=12，解得b=4。由等差数列的性质，得a+c=2b=8，所以ac=(a+c)²/4b²=27。

三、解答题（每题10分，共30分）

11.解方程组：

\[

\begin{cases}

2x+3y=7\\

4xy=1

\end{cases}

\]

答案：x=1，y=2

解析：将第二个方程乘以3，得12x3y=3。将这个方程与第一个方程相加，得14x=10，解得x=1。将x=1代入第一个方程，得2+3y=7，解得y=2。

12.已知函数g(x)=|x2||x+1|，求函数g(x)的单调区间。

答案：(∞,1]和[2,+∞)单调递增，[1,2]单调递减

解析：当x<1时，g(x)=(x2)(x+1)=2x3，单调递增；当1≤x<2时，g(x)=(x2)+(x+1)=3，单调递减；当x≥2时，g(x)=(x2)+(x+1)=2x1，单调递增。所以g(x)的单调递增区间为(∞,1]和[2,+∞)，单调递减区间为[1,2]。

13.若a、b、c是等比数列，且a+b+c=14，abc=27，求a²+b²+c²的值。

答案：91

解析：由等比数列的性质，得b²=ac。由题意，得a+b+c=14，abc=27。所以(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=196。又因为a²+b²+c²=(a+b+c)²2(ab+ac+bc)=1962×27=19